Тест по МАТЕМАТИКЕ № 03-14

Российский государственный гидрометеорологический университет
Тест по МАТЕМАТИКЕ № 03-14
для поступающих на дневное обучение
Шифр __________
Инструкция: Тест состоит из 30 заданий. На выполнение теста отводится не более 240 минут. Задания
рекомендуем выполнять по порядку. Если задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему.
Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям. В каждом задании может быть только один
правильный ответ.
Задание
Задание A1.
Вычислите значение дроби
7𝑎 − 3𝑏
,
5𝑎 − 6𝑏
если 2𝑎 − 5𝑏 = 0.
Задание 2.
В 2 коробки и 6 ящиков помещается 112 килограммов конфет, а
в 6 коробок и 2 ящика -- 96 килограммов. Сколько килограммов конфет
поместится в 2 коробки и 1 ящик?
Задание 3.
π
Найдите множество значений функции 𝑦 = 1 + 3sin (𝑥 + 3)
Задание 4.
Найдите наименьшее целое решение неравенства
(𝑥 + 4)(𝑥 2 − 18𝑥 + 45)
≥ 0.
𝑥 4 − 36𝑥 2
Задание 5.
Найдите количество целых решений неравенства
𝑥 2 + 8𝑥 + 16 ≤ 8|𝑥 + 4|.
Задание 6.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный,
уравнения √𝑥 4 − 5𝑥 + 3 = 1 − 𝑥 2 .
Задание 7.
После параллельного переноса графика функции 1 − 2sin(𝑥) на
π
вправо
и 2 единицы вверх получается график функции …
6
Ответ
29
13
37
[−2,4]
−5
17
1
= 0,5
2
5 − √3sin(𝑥) − cos(𝑥)
Задание 8.
Чему равно значение 𝑐𝑡𝑔(3α), если 𝑐𝑡𝑔α = 2.
2
11
Задание 9.
π
Вычислить 𝑠𝑖𝑛 (2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3) − 3).
√3
2
1
4
Задание 10.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный,
уравнения
1 + log 𝑥/4 (71 − 12𝑥) = log 𝑥/4 (5𝑥 + 3).
Задание 11.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный,
уравнения
−6−5𝑥
1
625(4 − √3)6+5𝑥 = ( (4 + √3))
65
Задание 12.
Найдите множество решений неравенства
log 3 (2𝑥 2 − 𝑥)
≤0
log 5 (√7)
−
2
5
1
1
[− ; 0) ∪ ( ; 1]
2
2
Задание 13.
Укажите все значения параметра 𝑎, при которых уравнение
|𝑥|
| 5 − 5| = 𝑎 + 6 имеет ровно 4 корня.
(−6; −1)
Задание 14.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,
равен 7. Найдите высоту этого треугольника.
21
Задание 15.
⃗⃗⃗⃗⃗ с началом в точке 𝐴(5; 2) имеет координаты (8; 7).
Вектор 𝐴𝐵
Найдите сумму координат точки 𝐵.
22
Задание 16.
Объем цилиндра равен 2 см3. Радиус основания увеличили в 3
раза, а высоту уменьшили в 4 раза. Найдите объем получившегося
цилиндра.
4,5
Задание 17.
Объем параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 равен 3. Найдите объем
треугольной пирамиды 𝐴𝐷𝐵𝐶1 .
0,5 =
Задание 18.
Прямая 𝑦 = 4𝑥 + 15 параллельна касательной к графику
функции 𝑦 = 𝑥 2 + 10𝑥 − 5 . Найдите абсциссу точки касания.
-3
Задание 19.
На интервале [1; 10] найдите точку, в которой функция
3
𝑦 = 𝑥 − 243𝑥 + 11 принимает наименьшее значение.
9
Задание 20.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) =
2
5𝑡 − 38𝑡 + 36 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —
время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость
(в м/с) в момент времени t = 14 с.
102
Задание 21.
Наибольший общий делитель чисел 𝑎 и 𝑏 равен 12, а их
наименьшее общее кратное -- 8256. Чему равно число 𝑏, если 𝑎 = 48.
1032
1
2
Задание 22.
Найдите сумму корней уравнения
3𝑥 − 7 2𝑥 + 1
=
.
2𝑥 − 1 3𝑥 − 7
Задание 23.
Найдите произведение корней уравнения 𝑥 2 |6𝑥 + 4| = 54𝑥 +
42
= 8,4
5
−2
36.
Задание 24.
2
2
Найдите сумму корней уравнения 4𝑥 −5𝑥+1 + 4𝑥 −5𝑥 = 20.
5
Задание 25.
Найдите сумму всех целых решений неравенства
1
𝑥−3
( 2
+
) √8𝑥 − 𝑥 2 ≤ 0.
𝑥 − 8𝑥 + 15 5 − 𝑥
7
Задание 26.
В арифметической прогрессии 𝑎8 = 6, 𝑎20 = 42. Найдите
количество положительных членов прогрессии, каждый из которых
меньше 50.
16
Задание 27.
Найдите корни уравнения
π(𝑥 − 7)
1
𝑠𝑖𝑛
=
.
4
√2
В ответ запишите наименьший положительный корень.
2
Задание 28.
Найдите значение выражения
log3 6
1
+ log 4 (24).
log 4
-1
Задание 29.
Найдите число целых решений системы неравенств
𝑥 2 +3𝑥
0,19
≤ (19𝑥+3 )𝑥
{𝑥 2 − 6𝑥 − 27 ≤ 0.
11
Задание 30.
Найдите площадь четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами в
точках 𝐴(4; 1), 𝐵(5; 5), 𝐶(1; 8), 𝐷(2; 2).
15
3