Методы решения логарифмических уравнений

Тема: Методы решения логарифмических уравнений
Учитель Туманова Н.М.
Цель: сформировать умения решать логарифмические уравнения.
Задачи:
Учебные (дидактические):
- углубить полученные теоретические знания решения логарифмических уравнений;
- систематизировать, обобщить знания, умения и навыки учащихся связанные с
применением методов решения логарифмических уравнений.
Развивающие:
-развивать умение применять знания на практике;
- формировать умение выделять существенное, главное, необходимое для
применения на практике;
- развивать стремление к расширению полученных знаний, умений и навыков
Воспитывающие:
- воспитывать у учащихся разнообразные интересы и способности;
- формировать навыки и потребности умственного труда,
- формировать чувство ответственности и инициативности.
Постановка цели урока.
Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин
Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со
святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в
кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы
она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня,
я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же
так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я
ушел, провожаемый общим неодобрением».
«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И
сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения логарифмических
уравнений.
Устная работа. Герберт Спенсер, английский философ, говорил: «Дороги не те знания,
которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в
умственные мышцы». Вот мы сейчас и потренируем свои умственные мышцы. Я хочу вам
предложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы
называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице.
Ответ: Джон Непер.
1
A
log416
2
3
4
Log327 log5125 log232
5
log39
6
7
log28 log381
B log25125 log4 8
log279
log816 log8127 log324 log168
C
log82
log49 7
log162
log273 log1255 log644 log322
D
log66
log55
lg10
E
lg0,01
lg0,1
log77
log99
lg0,001 lg1000 lg
log42
log24
7log73
2log25
-3
5
3
1/2
1/5
1
3/4
О
Ж
Д
Н
Р
П
Е
Историческая справка. Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который
он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на
континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику
и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее
логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако
опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли
под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
2) Альберт Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и
уравнениями. Однако политика существует только для данного момента, а уравнения
будут существовать вечно». Вот и сейчас в центре нашего внимания будут уравнения.
- Выберите среди предложенных выражений логарифмические уравнения.
1). log 5 (3х  2)  3
4). log 2 х2).(
 х5 3) 3  2( х  3)  0
3).х lg х 2  1000
5).7
х 5
 49
10). lg х  11  х
6). log 3 (5)  log 3 х  log 3 (2 х  5)
7).2 log 3 х  5 log 3 х  2  0
2
11). у  log 3 (3х  8)
8). log 1 х  log 1 5
12). log 4 (16  2х)  2 log 4 3
9).3х  6 х  8  0
2
- Какие уравнения называются логарифмическими? (В которых переменная находится
под знаком логарифма)
- Всегда ли логарифмическое уравнение решаемо, т.е. имеет смысл?
- Назовите номера логарифмических уравнений, которые не имеют смысла.
- Разбейте выбранные уравнения на несколько групп
1 метод. По определению логарифма.
Так решаются простейшие уравнения вида
.
Решить уравнение :
Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма).
Решение.
Ответ: 4.
, Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.
2 метод. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к
самому этому выражению).
Рассмотрим пример :
Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы
двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).
При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х,
для которых логарифмируемые выражение положительны.
Решение 1. ОДЗ:
Потенцируем исходное уравнение
, получим
уравнение 2x + 3 = х + 1.
Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное
уравнение корней не имеет.
3. Введение новой переменной.
Рассмотрим пример.
.
Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x).
Ваши предложения? (Ввести новую переменную)
Решение. ОДЗ: х > 0.
Пусть
, тогда уравнение примет вид:
D > 0. Корни по теореме Виета:
Вернемся к замене:
. Дискриминант
.
или
.
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
;
.
Ответ: 27;
Самостоятельная работа:
Вариант 1
1. Решить уравнение:
log2(x-3) = 4 (ответ: x=19).
2. Найти произведение корней:
lg2x - lgx=0 (ответ: x=10).
3. Решить уравнение:
log3(2x + 8) = log3(x - 2) (ответ:
решения нет).
Вариант 2
1. Решить уравнение:
log2(5 - x) = 2 (ответ: x=-4).
2. Найти произведение корней:
lg2x + lgx = 0 (ответ: x=0,1).
3. Решить уравнение:
log4(3x - 4) = log4(6 + x) (ответ: x=5).
Барометр настроения: Поставь крестик, как ты провел урок:
«примерз»
-100 
-50 
«равнодушен»
0
«закипел»
+50 
Домашнее задание: составить памятку, в которой отразить все методы
решения логарифмических уравнений, привести пример на каждый метод.
Хочется закончить урок такими словами:
Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей
американский математик Морис Клайн.
+100 