СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013 СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ Система качества АлтГТУ
advertisement
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ
Система качества АлтГТУ
Образовательный стандарт
высшего профессионального образования АлтГТУ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Б.3.ДВ.22.1 «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ»
230100 «Информатика и вычислительная техника»
ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Предисловие
1) Разработан кафедрой «Системы автоматизированного проектирования»
АлтГТУ.
2) Стандарт дисциплины разработан на основании ФГОС ВПО направления
подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника», утверждённого
9 ноября 2009 г.
3) Стандарт дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» по своему назначению, структуре и содержанию полностью соответствует требованиям УМКД.
4) ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
II
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Содержание
1 Область применения................................................................................................ 1
2 Нормативные ссылки ............................................................................................... 1
3 Общие сведения о дисциплине. Паспорт дисциплины ......................................... 2
3.1 Выписка из рабочего учебного плана ООП ...................................................... 2
3.2 Цели и задачи освоения дисциплины ............................................................... 2
3.3 Место дисциплины в структуре ООП направления ......................................... 3
3.4 Требования к результатам освоения дисциплины .......................................... 3
3.5 Объем и виды занятий по дисциплине ............................................................. 4
4 Рабочая программа дисциплины ............................................................................ 5
4.1 Содержание дисциплины................................................................................... 5
4.1.1 Тематический план дисциплины ................................................................. 5
4.1.2 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ..... 7
4.1.3 Формы и содержание текущей аттестации и итоговой оценки по
дисциплине ................................................................................................................... 8
4.1.4 Учебно-методическая карта дисциплины ................................................... 9
4.2 Условия освоения и реализации дисциплины ............................................... 10
4.2.1 Методические рекомендации студентам по изучению дисциплины ....... 10
4.2.2 Организация самостоятельной работы студента по дисциплине .......... 11
4.2.3 Методические рекомендации преподавателю дисциплины.................... 11
4.2.4 Образовательные технологии ................................................................... 11
4.2.5 Особенности преподавания дисциплины ................................................. 11
4.2.6 Материально-техническое обеспечение дисциплины ............................. 12
5 Лист согласования рабочей программы дисциплины.......................................... 13
6 Лист изменений к стандарту дисциплины ............................................................ 14
Приложение А............................................................................................................ 15
Приложение Б............................................................................................................ 17
Приложение В............................................................................................................ 22
Приложение Г………………………………………………………………………………27
III
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ
Система качества АлтГТУ
Образовательный стандарт высшего
профессионального образования АлтГТУ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Введён впервые
УТВЕРЖДАЮ
Начальник УМУ
______________________Н.П. Щербаков____
(подпись)
(Ф. И. О)
Дата _____________________
(число, месяц, год)
1 Область применения
1.1Стандарт дисциплины устанавливает общие требования к содержанию,
структуре, объему дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» и условиям ее реализации в АлтГТУ.
1.2 Действие стандарта распространяется:
а) на студентов, обучающихся по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника»;
б) на преподавателей и сотрудников структурных подразделений, задействованных в образовательном процессе по дисциплине.
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие государственные
стандарты и стандарты АлтГТУ:
Федеральные государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования по указанному выше направлению подготовки.
СТО АлтГТУ 12 005–2012 Система менеджмента качества. Образовательный
стандарт высшего профессионального образования АлтГТУ. Самостоятельная работа студентов. Общие требования.
СТП 12 570–2006 Система менеджмента качества. Образовательный стандарт
высшего профессионального образования АлтГТУ. Общие требования к текстовым,
графическим и программным документам.
СТП 12 700–2007 Образовательный стандарт высшего профессионального
образования АлтГТУ. Лабораторные работы. Общие требования к содержанию, выполнению и оформлению.
СМК ОПД 01 – 19 - 2008 Система менеджмента качества модульнорейтинговой системе квалиметрии учебной деятельности студентов.
СТО 12 400–2009 Образовательный стандарт высшего профессионального
образования АлтГТУ. Курсовой проект (курсовая работа). Общие требования к содержанию, организации выполнения и оформлению.
СТО АлтГТУ 12 310–2011 Система качества. Образовательный стандарт высшего профессионального образования АлтГТУ. Образовательный стандарт учебной
дисциплины. Общие требования к структуре, содержанию и оформлению
1
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
СТО АлтГТУ 12 560–2011 Система менеджмента качества. Образовательный
стандарт высшего профессионального образования АлтГТУ. Текущая и промежуточная аттестация студентов.
3 Общие сведения о дисциплине. Паспорт дисциплины
Трудоёмкость (ЗЕ)
Всего часов
Всего
Лекции
Лаб. работы
В семестре
Сессия
108
44
22
22
64
-
Кафедра
Компетенции
В интерактивной
ОК-1,10 ПК-2,4,6
17
СРС
САПР
Расч. задание
-
Аудиторные
занятия
3
Зачёты
8
Экзамен
Распределение по
семестрам
-
Б.3.ДВ.22.1
Код дисциплины
3.1 Выписка из рабочего учебного плана ООП
3.2 Цели и задачи освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» является:
теоретическая и практическая подготовка специалистов в области информатики и
вычислительной техники в направлении овладения ими современных технологий
компьютерного моделирования, позволяющих решать широкий круг задач исследования и проектирования различных технических объектов и организационнотехнических систем, включая автоматизированные системы (АС), автоматизированные информационные системы (АИС), системы автоматизированного проектирования (САПР), вычислительные системы (ВС), сети ЭВМ, средства вычислительной
техники (СВТ).
Задачами изучения данной дисциплины является комплексное изучение технологии компьютерного моделирования систем и объектов в различных предметных
областях, включающее:
1) изучение понятийного аппарата и методологии теории моделирования;
2) изучение различных видов моделирования (в первую очередь, математического и компьютерного);
3) изучение классификаций математических моделей и моделирования;
4) ознакомление с типовыми математическими схемами функциональных моделей;
5) изучение технологий имитационного и статистического моделирование систем;
6) моделирование физических процессов в сплошных средах;
7) изучение последовательности и средств реализации математического моделирования (включая обзор современных программных средств реализации различных видов моделирования на ЭВМ).
2
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
3.3 Место дисциплины в структуре ООП направления
Дисциплина «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» относится к дисциплинам по
выбору цикла профессиональных дисциплин рабочего учебного плана ООП
(Б.3.ДВ.22.1). Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108
часов.
Дисциплина «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» формирует у студентов по
направлению 230100 навыки по использованию методологии моделирования для
решения задач исследования и проектирования широкого круга систем и объектов, в
первую очередь, автоматизированных систем (АС) (включая САПР).
Изучение дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» базируется на знаниях дисциплин «Математика», «Информатика», «Физика».
3.4 Требования к результатам освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны обладать знаниями,
умениями и навыками, приведенными в таблице 3.1
Таблица 3.1
В результате изучения дисциплины
обучающиеся должны:
Код
компетенции
по ФГОС
ВПО или
ООП
Содержание
компетенции
(или ее части)
знать
уметь
владеть
ОК-1
Владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения.
способы обобщения информации,
выбора варианта
построения
алгоритма программирования
обобщить исходные данные, провести их анализ и
поставить цель с
последующим решением
ОК-10
Использует основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности,
применяет методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
способностью к
обобщению информации,
постановки
цели
исследования и
её достижению
на основе анализа
основные способы
сбора и анализа
научнотехнической
информации
использовать
в
профессиональной
деятельности достижения
отечественной и зарубежной науки, техники и технологий
ПК-2
Осваивать методики использования
программных средств для решения
практических задач.
основные понятия
и методики моделирования
методами анализа
научнотехнической информации, учитывая
современные тенденции
развития,
для
последующего их использования в профессиональной
деятельности
ПК-4
Разрабатывать
модели
компонентов информационных систем, включая
модели баз данных.
ПК-6
Обосновывать принимаемые проектные решения, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их
корректности и эффективности.
способы проведения исследований,
анализа данных и
способы обобщения информации
строить алгоритмы
проведения
экспериментов
и
обработки информации
методами
отладки программ
и способами исправления
выявленных ошибок
3
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
3.5 Объем и виды занятий по дисциплине
Объем и виды занятий по дисциплине представлены в Паспорте дисциплины.
Паспорт дисциплины
Кафедра
«Системы автоматизированного проектирования»
Дисциплина Б.3.ДВ.22.1 «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ»
Статус дисциплины по выбору
Направление 230100 «Информатика и вычислительная техника»
Форма обучения очная
Объем дисциплины 108 часа
Общая трудоёмкость дисциплины 3 зачётных единицы
Распределение по видам занятий
Наличие
Форма
курсовых
промежупроектов (КП),
Аудиторные занятия
точной аттекурсовых
стации (заработ (КР),
практиче- СРС
чёт,
лаборат.
расчетных
лекции
ские занятия
экзамен)
работы
заданий (РЗ)
(семинары)
Учебные занятия (часы)
Семестр
8
Всего
всего
аудиторных
занятий
108
44
22
22
-
64
-
ЗАЧЁТ
4
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
4. Рабочая программа дисциплины
4.1 Содержание дисциплины
4.1.1 Тематический план дисциплины
Лекции (22 часа, [1-9, 11-16])
Модуль 1. Общая характеристика моделирования.
Лекция 1. (2 часа). Основные понятия теории моделирования. Классификация
видов моделей и моделирования. Компьютерное моделирование. Геометрическое
моделирование. Информационное моделирование. Цели моделирования. Моделирование в инженерной деятельности. [1-4].
Модуль 2. Математическое моделирование.
Лекция 2. (1 час). Определения математического моделирования и математической модели (ММ). Преимущества ММ. Классификация ММ по уровням моделирования. Моделирование систем и сред. [1-4, 6].
Лекция 3. (2 часа). Математические модели систем (ММС). Классификации
ММС по характеру отображаемых свойств (структурные и функциональные модели).
Особенности функциональных ММС. Характеристики и параметры функциональных
моделей систем. Операторная форма записи процесса функционирования систем.
Состояние системы. Другие классификации функциональных ММС. [1-4, 6].
Модуль 3. Типовые математические схемы.
Лекция 4. (1 час). Понятие типовой математической схемы. Классификация
функциональных моделей с учетом свойств детерминированности, стохастичности,
непрерывности, дискретности (по Советову Б. Я. и Яковлеву С. А.). [1-3].
Лекция 5. (1 час). Характеристика непрерывно-детерминированных моделей.
Использование обыкновенных дифференциальных уравнений. Возможные приложения. [1-4].
Лекция 6. (1 час). Характеристика дискретно-детерминированных моделей.
Конечный автомат. [1-6].
Лекция 7. (1 час). Характеристика дискретно-стохастических моделей. Дискретные марковские цепи. [1-6].
Лекция 8. (1 час). Характеристика непрерывно-стохастических моделей. Непрерывные марковские цепи. [1-6].
Лекция 9. (2 часа). Системы массового обслуживания (СМО). Определение,
описание процессов функционирования, потоки событий, классификация СМО.
Аналитическое моделирование простейших СМО. [1-4].
Модуль 4. Методы получения математических моделей систем и требования, предъявляемые к ММ.
Лекция 10. (1 час). Теоретический и экспериментальный методы получения
ММ. Законы функционирования системы и проведение экспериментов с системой.
Требования к ММ. [1-4].
Модуль 5. Имитационное и статистическое моделирование.
Лекция 11. (1 час). Сущность имитационного моделирования. Машинный эксперимент с моделью системы. Способы организации модельного времени и квазипараллелизма имитационной модели. [1-3].
Лекция 12. (2 часа). Статистическое моделирование (СМ). Определение и
сущность СМ. Моделирование случайных величин с заданным законом распределе5
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
ния. Датчики случайных чисел. Моделирование случайных событий и случайных
процессов, потоков случайных событий. Статистическое моделирование систем
массового обслуживания. [1-3, 8].
Модуль 6. Моделирование на макроуровне.
Лекция 13. (2 часа). Физические процессы в сплошных непрерывных средах.
Примеры процессов (распределение температуры, распределение напряжений).
Модели с распределенными параметрами. Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). Классификация ДУЧП. Краевые задачи математической
физики (КЗМФ). Аналитическое решение КЗМФ. [4, 5, 11, 12].
Лекция 14. (2 часа). Использование численных методов для решения КЗМФ.
Примеры. Общая характеристика метода конечных разностей и метода конечных
элементов. [4, 5].
Модуль 7. Последовательность и средства реализации математического
моделирования.
Лекция 15. (2 часа).
Последовательность моделирования при использовании ММ, представляемых
в виде формул, уравнений и моделирующих алгоритмов. Использование численных
методов. Использование ЭВМ для решения задач моделирования. Компьютерные и
машинные модели. САЕ-моделирование.
Использование для моделирования универсальных языков программирования
(языков общего назначения). Использование специализированных языков моделирования. (Пример - язык имитационного моделирования GPSS).
Использование пакетов прикладных программ (ППП) и пакетов прикладных
программ моделирования (ППМ). Использование «математических» ППП. Инструментальные средства компьютерного имитационного моделирования. MATLAB –
инструментальное средство аналитического и имитационного моделирования.
Подсистема визуального моделирования Simulink. Пакет Stateflow. Интеграция
возможностей MATLAB, Simulink и Stateflow, LabView.
Специализированные ППП и их классификация. (Примеры - Micro-CAP и MultiSim, пакеты, осуществляющие моделирование линейных электрических цепей и
схемотехническое моделирование). Средства реализации численных методов решения краевых задач математической физики (ANSYS и др.). [1-4, 7-9].
Лабораторные работы (22 часа, [1-17])
Лабораторная работа 1. Моделирование систем с помощью обыкновенных
дифференциальных уравнений (2 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 2. Моделирование систем с помощью конечных автоматов. (2 часа, [1-4]).
Лабораторная работа 3. Моделирование систем с помощью математической
схемы “Дискретная однородная марковская цепь”. (2 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 4. Формирование значений случайной величины с заданным законом распределения (2 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 5. Моделирование статической стохастической системы. (2 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 6. Моделирование одноканальной системы массового
обслуживания. (4 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 7. Моделирование многоканальной системы массового
обслуживания. (4 часа, [1-17]).
Лабораторная работа 8. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
методом конечных разностей. (4 часа, [1-17]).
6
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Самостоятельная работа студентов (64 часа)
Самостоятельная работа студента включает:
– повторение и углубление материала лекций (11 часов);
– подготовка к выполнению и защите лабораторных работ (32 часа);
– подготовка к зачету (21 час).
Подготовка к защите лабораторных работ состоит из следующих частей:
1. подготовка к защите лабораторной работы № 1 (4 часа [1-17]);
2. подготовка к защите лабораторной работы № 2 (4 часа [1-17]);
3. подготовка к защите лабораторной работы № 3 (4 часа [1-17]);
4. подготовка к защите лабораторной работы № 4 (4 часа [1-17]);
5. подготовка к защите лабораторной работы № 5 (4 часа [1-17]);
6. подготовка к защите лабораторной работы № 6 (4 часа [1-17]);
7. подготовка к защите лабораторной работы № 7 (4 часа [1-17]);
8. подготовка к защите лабораторной работы № 8 (4 часа [1-17]).
4.1.2 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Советов Б. Я. Моделирование систем: [учеб. для вузов по направлениям
"Информатика и вычисл. техника" и "Информ. системы"] /Б. Я. Советов, С. А. Яковлев.- М. : Высш. шк., 2007 - 343 с. ил. - 25 экз.
2. Маликов, Р.Ф. Основы математического моделирования [Текст] : учеб. пособие для вузов.-М.: Горячая линия.-Телеком, 2010.-368 с. Доступ из ЭБС «Лань».
3. Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. Моделирование систем: Практикум: учебное
пособие для вузов/Б. Я. Советов, С. А. Яковлев.- 6-е издание стереотипное - М. :
Высш. шк., 2009 - 295 с. - 20 экз.
Дополнительная литература
4. Кознов Д. В. Основы визуального моделирования.- Интернет университет
информационных технологий. - М., 2008. - 246 с. – 3 экз.
5. Казиев, В. М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем. Учебное
пособие. /В. М. Казиев. - Интернет университет информационных технологий. -- М.:
Высш. шк., 2007. - 244 с. – 2 экз.
6. Уравнение с частными производными для научных работников и инженеров
/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. - 383 с. - 2 экз.
7. Сирота, А.А. Компьютерное моделирование и оценка эффективности
сложных систем [Текст] /А.А. Сирота – М.: Техносфера, 2006. - 218 с.
8. Тарасик, В. П. Математическое моделирование технических систем : Учебник для вузов. - М. Дизайн-ПРО, 2004. - 270 с.
9. Морозов, В. К. Моделирование информационных и динамических систем / В.
К. Морозов, Г. Н. Рогачев.-М.: Академия, 2011. - 384 с.
Учебно-методические материалы и пособия для студентов, используемые при изучении дисциплины.
10. Дробязко О.Н. Лабораторный практикум по курсу “Моделирование систем”
/ АлтГТУ -.Барнаул, Изд-во АлтГТУ, 2000. - 36 с.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
11. Аверченков, В.И. Основы математического моделирования технических
систем [Электронный ресурс] : учебное пособие / В.И. Аверченков, В.П. Федоров,
М.Л. Хейфец.-М.: Изд-во Флинта, 2011. -271 с. - Библиотека онлайн-чтения.
http://www.knigafund.ru.
7
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
12. Поляков, С. А. Математические модели и моделирование объектов машиностроительного производства [Текст] Изд-во МГО, 2011.-104 с. Библиотека онлайнчтения. http://www.knigafund.ru
13. М. А. Амелина. Конспект лекций по курсу «Компьютерный анализ и синтез
электронных устройств». Пакет программ схемотехнического анализа MicroCAP-7
[Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://microcap-model.narod.ru/LecMC7.htm
14. Применение программного прикладного пакета MultiSim [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.sgu.ru/files/nodes/30844/MULTISIM.pdf .
15. Моделирование систем. О проекте «моделирование систем» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://sardismusic.com//
16. Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/. – Загл. с экрана.
17. Любая инструментальная система программирования универсального назначения, позволяющая реализовывать задачи лабораторных работ.
4. 1. 3 Формы и содержание текущей аттестации и итоговой оценки по
дисциплине
Форма промежуточной аттестации в 8 семестре – зачёт.
Текущая аттестация студентов осуществляется по итогам:
– выполнения и защита лабораторных работ;
– написание текущего контроля успеваемости - контрольных опросов.
Вес каждой лабораторной работы – 0,05 и 0,1.
Вес каждого контрольного опроса – 0,1.
Зачёт в конце 8 семестра имеет вес 0,2.
Комплект контролирующих материалов приведен в приложении В
настоящего стандарта.
Рейтинг студента определяется в течение семестра 2 раза: перед 1 и 2
аттестациями.
При изучении дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» используется рейтинговая система оценки учебной работы студента, соответствующая
«Положению о модульно-рейтинговой системе квалиметрии учебной деятельности студентов» СМК ОПД 01-19-2008. Памятка дисциплины приведена в
приложении Б.
8
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
4.1.4 Учебно-методическая карта дисциплины
для направления _230100 «Информатика и вычислительная техника»
на _8_ семестр
График аудиторных занятий, СРС, текущих и промежуточной
аттестаций
Наименование вида
работ
1
2
Лекции
1
Лабораторные
работы
Практические
(семинарские)
занятия
1
2
3
2
Номер недели
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
1 Аудиторные занятия 44 час.
3
5
7
9
10 12 13 14 15
4
6
8
11
3
4
5
6
6
7 7
8
8
13
14 15
16
17
2 Самостоятельная работа студентов 64 час.
Курсовой проект (КП)
Курсовая работа (КР)
Расчетное
задание (РЗ)
Реферат
Подготовка к защите
лабораторных работ
1
2
3
4
5
6
7
8
3 Формы текущей аттестации
Коллоквиум (КЛ)
Контрольная работа
(К)
Контрольный
опрос(КО)
Защита лабораторной работы (ЗР)
Другие виды
аттестации
Экзамен
Зачет
зp/
0,05
зp/
0,05
ко/
ко/
0,1
0,1
зp/
зp/ зp/
0,05 0,05 0,1
зp/
0,1
зp/
0,1
зp/
0,1
4 Формы промежуточной аттестации
«не предусмотрен»
«11 неделя; вес 0,2»
Примечания
1. В п.1 и п.2 (а также другие виды СРС: подготовка к лекциям, выполнение домашнего задания и др.) в каждой неделе указаны темы лекций, лабораторных работ в соответствии с
содержанием дисциплины (п.п.4.1.1);
2. В п. 3 на соответствующей неделе проставлено условное обозначение различных форм
текущей аттестации (КО, ЗР) и через дробь - удельный вес каждого из видов контроля в общей оценке по дисциплине, которая принимается за единицу
9
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
4.2 Условия освоения и реализации дисциплины
4.2.1 Методические рекомендации студентам по изучению дисциплины
Для оптимальной организации процесса изучения данной дисциплины необходимо:
– перед каждым лекционным занятием повторять пройденный материал;
– перед каждой лабораторной работой знакомиться с темой, целью и заданием, изучать примеры программ;
– выполнять, сдавать и защищать лабораторные работы, согласно графика
контроля.
График контроля на 8 семестр
Вид занятия
Лабораторная работа 1
Лабораторная работа 2
Лабораторная работа 3
Контрольный опрос 1
Лабораторная работа 4
Лабораторная работа 5
Лабораторная работа 6
Лабораторная работа 7
Контрольный опрос 2
Лабораторная работа 8
Вид контрольного
испытания
защита
защита
защита
защита
Время
проведения
2 неделя
3 неделя
4 неделя
5 неделя
5 неделя
6 неделя
8 неделя
10 неделя
11 неделя
11 неделя
Вес в итоговом
рейтинге
0,05
0,05
0,05
0,1
0,05
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
зачет
11 неделя
0,2
защита
защита
защита
защита
Примечания:
1. Выполненная лабораторная работа – 30 баллов. Лабораторная работа считается выполненной, если студентом создана и показана преподавателю правильно работающая программа, соответствующая индивидуальному варианту задания.
2. Выполненные лабораторные работы защищаются в соответствии с графиком контроля.
Без отчетов защита лабораторных работ не принимается.
3. Защита лабораторной работы в семестре после срока, указанного в графике контроля оценивается на 10 % ниже.
4. Защита лабораторных работ после окончания семестра не принимается.
5. Студент допускается к экзамену, если семестровый рейтинг больше или равен 25 баллов.
6. Если студент не допущен или не явился на экзамен, то его итоговая оценка равна нулю.
7. Если студент допущен до экзамена и оценка за экзамен меньше 25, то итоговый рейтинг
равен экзаменационному.
В АлтГТУ принята 100-бальная шкала оценок. Именно эти оценки учитываются при подсчете рейтингов, назначении стипендии и в других случаях. Традиционная
шкала будет использоваться только в зачетных книжках. Соотношение оценок устанавливается следующим образом:
– 75 баллов и выше –"отлично";
– 50 - 74 балла – "хорошо";
– 25 - 49 баллов – "удовлетворительно";
– менее 25 баллов – "неудовлетворительно".
Успеваемость студента оценивается с помощью текущего рейтинга и вычисляется по формуле:
RT
R p
p
i
i
,
i
10
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
где Ri - оценка за i-ю контрольную точку, pi - вес этой контрольной точки. Суммирование проводится по всем контрольным точкам с начала семестра до момента
вычисления рейтинга.
Семестровый рейтинг вычисляется по формуле: R сем R Т ,
где RT – текущий рейтинг на конец семестра.
Итоговый рейтинг, учитывающий экзамен:
4.2.2 Организация самостоятельной работы студента по дисциплине
Организация самостоятельной работы студента по дисциплине «ОСНОВЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ» осуществляется в рамках автоматизированной системы преподавания с использованием компьютеров кафедры, домашних компьютеров, глобальной сети. Взаимодействие с преподавателем в течение семестра также может
осуществляться с использованием ресурсов http://aomai.ru.
4.2.3 Методические рекомендации преподавателю дисциплины
Лекции по курсу «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ» читаются преподавателем в
мультимедийной аудитории. Для чтения лекций используется комплект презентационных материалов. Презентационные материалы представляют собой файлы, являющиеся элементом электронной базы материалов кафедры «Системы автоматизированного проектирования».
Лабораторные работы проводятся в компьютерном классе кафедры «Системы
автоматизированного проектирования». Защита лабораторных работ проводятся на
лабораторных занятиях согласно графику (см. п. 4.1.4).
Зачет проводится в письменной форме во время семестра. Для успешного
освоения дисциплины каждому студенту в начале семестра предоставляется памятка по дисциплине (в электронном виде, приложение Б).
4.2.4 Образовательные технологии в интерактивной форме – 17 час.
Образовательные технологии, используемые при изучении дисциплины
«ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ», предусматривают применение инновационных методов обучения:
– модульно-рейтинговая система квалиметрии учебной деятельности студентов;
– информационные
методы
обучения:
лекция-дискуссия,
лекциявизуализация, просмотр учебных фильмов во время лекций;
– использование мультимедийного и компьютерного оборудования при чтении лекций, контроле СРС, выполнении лабораторных работ:
- на лекционных занятиях - лекция-дискуссия – 10 час.;
- на лабораторных занятиях – работа в малых группах – 7 час.
4.2.5 Особенности преподавания дисциплины
Преподавание дисциплины осуществляется в рамках автоматизированной системы преподавания с использованием компьютеров кафедры, домашних компьютеров, глобальной сети. Все учебно-методические материалы могут быть скопированы студентами с сайта http://aomai.ru. Взаимодействие с преподавателем в течении семестра также может осуществляться с использованием ресурсов
http://aomai.ru.
11
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
4.2.6 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекции по курсу «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ», проводятся в мультимедийных аудиториях вуза. Для чтения лекций используется комплект презентационных
материалов. Презентационный материал представляет собой файлы, являющийся
элементом электронной базы материалов кафедры «Системы автоматизированного
проектирования».
Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе кафедры «САПР»
с выходом в Интернет с 15 рабочими местами.
12
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
5 Лист согласования рабочей программы дисциплины
Наименование
дисциплин, изучение
которых опирается на
данную дисциплину
Кафедраразработчик
дисциплины
Предложения
по корректировке
рабочей программы,
вносимые согласующей
кафедрой
Подпись
заведующего
согласующей
кафедры
1
2
3
4
Разработчик:
_
д.т.н., профессор
должность
Заведующий кафедрой: _САПР____
наименование кафедры
Заведующий кафедрой: _ВСИБ____
наименование кафедры
Декан факультета ФИТ
наименование факультета
Начальник ОМКО АлтГТУ
________
/_О. Н. Дробязко_
подпись
инициалы и фамилия
________
/_И. В. Лёвкин__
подпись
инициалы и фамилия
________
/_А. Г. Якунин__
подпись
инициалы и фамилия
________
/_Е. А. Зрюмов___
подпись
инициалы и фамилия
__________________
подпись
/_С. А. Фёдоровых__
инициалы и фамилия
13
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
6 Лист изменений к стандарту дисциплины
ИЗМЕНЕНИЕ (ДОПОЛНЕНИЕ) № _____
Утверждено и введено в действие
__________________________________________________________________
(наименование документа)
от ________________________________
№ ___________
(дата (цифрой), месяц (прописью), год)
Дата введения
14
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Приложение А
(рекомендуемое)
Карта компетенций дисциплины «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ»
1 Наименование компетенций дисциплины
Код компетенции
Формулировка компетенции (или ее части)
ОК-1
Владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее
достижения.
ОК-10
Использует основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального
исследования.
ПК-2
Осваивать методики использования программных средств для
шения практических задач.
ПК-4
Разрабатывать модели компонентов
включая модели баз данных.
ПК-6
информационных
ре-
систем,
Обосновывать принимаемые проектные решения, осуществлять
постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректности и
эффективности.
2 Компонентный состав дисциплины
8 семестр
Модуль дисциплины
(раздел,
тема)
Модуль 1
(Тема 1).
Модуль 2
(Тема 2, 3).
Модуль 3
(Тема 4, 5, 6,
7, 8, 9).
Модуль 4
(Тема 10).
Модуль 5
(Тема 11, 12).
Модуль 6
(Тема 13, 14).
Модуль 7
(Тема 15).
Результаты освоения
дисциплины
Знать: - способы обобщения информации,
выбора варианта построения алгоритма программирования;
- основные способы сбора и анализа научнотехнической информации;
- основные понятия и методики моделирования;
- способы проведения исследований, анализа
данных и способы обобщения информации;
Уметь:- обобщить исходные данные, провести
их анализ и поставить цель с последующим
решением;
- использовать в профессиональной деятельности достижения отечественной и зарубежной
науки, техники и технологий;
- строить алгоритмы проведения экспериментов и обработки информации;
Владеть: - способностью к обобщению информации, постановки цели исследования и её
достижению на основе анализа;
- методами анализа научно-технической информации, учитывая современные тенденции
развития, для последующего их использования
в профессиональной деятельности;
- методами отладки программ и способами исправления выявленных ошибок.
Технологии формирования
компетенций
Средства
и техно- Объем
логии
в ЗЕТ
оценки
Лекции
Лабораторные
работы
Защита
отчетов
по лабораторным
работам
Самостоятельная
работа
Контрольные
опросы
3
Зачёт
15
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Приложение Г
(обязательное)
Методические указания к лабораторным работам
по дисциплине «ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ»
Общей целью цикла лабораторных работ по курсу «ОСНОВЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ» является приобретение студентом компетенций в использовании современных технологий математического моделирования.
Перечень работ сформирован таким образом, что в нем учтены все основные
модели и технологии моделирования.
В зависимости от содержания работ при их выполнении используются калькуляторы, математические пакеты, ППП Excel, а также универсальные средства разработки приложений.
В рамках лабораторных работ приведены необходимые теоретические сведения, указания по выполнению работ, процедуре их сдачи и контрольные вопросы.
Порядок выполнения лабораторных работ
1. Познакомиться с темой и целью лабораторной работы.
2. Изучить необходимые к выполнению лабораторной работы теоретические
сведения, рекомендации и пример выполнения.
3. Познакомиться с общим заданием к лабораторной работе и индивидуальным вариантом задания.
4. Выполнить задание лабораторной работы в соответствии с рекомендациями и примером выполнения.
5. Продемонстрировать преподавателю результаты выполненной лабораторной работы.
6. Оформить отчет.
7. Защитить лабораторную работу.
Оборудование, технические средства, инструмент
Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе, оснащенном
персональными компьютерами. На компьютерах должны быть установлены: операционная система Microsoft Windows 7 или выше, Microsoft Office, любая инструментальная система программирования универсального назначения, позволяющая реализовывать задачи лабораторных работ (MATLAB, Simulink, Stateflow, Micro-CAP и MultiSlim).
Требования к оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе оформляется в виде принтерных распечаток
на сброшюрованных листах формата А4. Он должен содержать:
титульный лист;
цель работы;
задание к лабораторной работе (общее задание и индивидуальный вариант
задания);
описание процесса выполнения лабораторной работы с полученными результатами.
Требования к защите лабораторных работ
После оформления отчета, лабораторную работу защищают, т. е. поясняют
процесс выполнения лабораторной работы и полученные результаты, отвечают на
контрольные вопросы.
16
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа №1
Моделирование систем с помощью обыкновенных
дифференциальных уравнений
Целью выполнения работы являются изучение технологии моделирования систем, описывающихся как динамические системы с использованием непрерывнодетерминированных моделей вида «обыкновенные дифференциальные уравнения».
Общее описание работы.
Изучение технологии моделирования осуществляется на примере заданной
механической системы. При этом используются различные варианты описания моделируемой системы. С помощью математической модели осуществляется подсчет
величин, характеризующих свойства системы (объекта проектирования).
Замечания. 1. В рассматриваемой системе отсутствуют “выходы”. В связи с
этим величины, характеризующие свойства объекта, описываются как переменные
состояния.
1. Краткая характеристика математической модели объекта моделирования.
Большое количество механических, электрических и других технических систем моделируются
с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
В рамках лабораторной работы осуществляется математическое моделирование механической системы “пружинный маятник”. Для этой цели используются линейные дифференциальные
уравнения второго порядка. Такие уравнения, в зависимости от принимаемых допущений, могут
быть как однородными так и неоднородными.
Вид системы “пружинный маятник” приведен на рисунке 1.1.
Маятник состоит их двух элементов – пружины и груза, соединенных между собой и подвешенных в некоторой неподвижной точке. Пружина
не имеет веса и характеризуется коэффициентом жесткости kж , а груз –
массой m. Эти характеристики являются собственными параметрами системы.
Предполагается, что груз выводится из положения равновесия, а
затем в некоторый момент времени t=0 отпускается. В общем случае предполагается, что в этот же момент времени груз имеет некоторую скорость.
В последующие моменты времени в системе происходит колебательный
процесс.
Возможны три варианта взаимодействия маятника с внешней средой:
1) сопротивление внешней среды отсутствует;
2) сопротивление среды пропорционально скорости движения;
3) на систему действует вынуждающая сила (при этом сопротивление среды может как иметь место, так и отсутствовать).
Для каждого из вариантов рассмотренных взаимодействий построены дифференциальные
уравнения, описывающие процесс колебаний маятника.
Рисунок 1.1 - Система
Вывод таких уравнений приведен в [1, 2, 3]. Уравнения представляют собой
“пружинный маятник”
три различные математические модели, описывающие одну и ту же
систему при различных воздействиях не нее внешней среды.
В качестве искомой функции в таких уравнениях фигурирует отклонение центра масс маятника от положения равновесия. Для его описания вводится координатная ось x, (см. рисунок 1.1).
Нулевому значению отклонения отвечает положение маятника в состоянии покоя. Положительным
считается отклонение, вызывающее растяжение пружины.
Первому случаю взаимодействия системы с внешней средой отвечает ОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами, имеющее вид:
m
d 2x
dt 2
k жx 0 .
(1.1)
Такое уравнение описывает свободные колебания маятника. Оно характеризуется как линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(такое уравнение называется также неполным, поскольку оно не содержит члена с первой производной).
Общее решение этого уравнения имеет следующий вид [1-3]:
17
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
x(t) = C1 coskt + C2 sinkt ,
(1.2)
где k2 = kж /m ; C1 ,C2 – произвольные постоянные.
Такое решение может быть представлено также в виде
x(t) = A sin(kt + ) = Acos(kt - ) .
(1.3)
В этом выражении А и (амплитуда и начальная фаза колебания) определяются через параметры системы и начальные условия следующим образом [1]:
A=
v 02
x 2
k
2
0
= arctg
,
kx 0
v0
,
(1.4)
где x0 и v0 – начальные условия, представляющие собой значения отклонения и скорости в
начальный момент времени t = 0. Величина k =
kж / m -
частота колебаний.
Математическое описание процесса движения маятника опирается на понятие “состояние системы”. Согласно [1] компонентами вектора состояния являются:
z1(t) = x(t) – отклонение центра груза (центра масс) от положения равновесия;
z2(t) = v(t) – скорость движения центра масс.
Значения компонентов вектора состояния системы определяются следующим образом
x(t) = x0 coskt + (v0/k)sinkt ,
v(t) = -x0 k sinkt + v0 coskt .
Таким образом, существует несколько форм моделей данной системы. Базовой формой является дифференциальное уравнение. Его решение также является математической моделью системы.
Найденное решение ОДУ и определенные на его основе зависимости характеристик состояния системы от времени являются формами модели, позволяющими получить в исчерпывающую
информацию о процессе колебания системы в общем виде.
Учет начальных условий и конкретных значений собственных параметров системы позволяет
получить данные о процессе колебаний конкретной системы с заданными характеристиками.
Процесс колебаний рассматриваемой системы может быть охарактеризован и некоторыми
числовыми характеристиками, интегрально отражающие некоторые особенности этого процесса.
Одной из таких характеристик для случая свободных колебаний является период колебания
маятника. Такой показатель процесса функционирования системы вычисляется через характеристики
системы по следующей формуле:
Т = 2 /k .
(1.5)
где k =
kж / m .
Второму случаю взаимодействия с внешней средой отвечает ситуация, когда к силам, действующим на груз, добавляется сила, обуславливающая сопротивление среды. Такое сопротивление
считается пропорциональным скорости движения центра масс.
Процесс колебаний в этом случае описывается ОДУ вида
d 2x
dx
m 2 kс
kж x 0 ,
dt
dt
(1.6)
где kс – коэффициент сопротивления.
Разделим обе части этого уравнения на m и положим kж /m = k2 и kс /m = 2n. Получим уравнение вида
d2x
dx
2n
k2x 0 .
2
dt
dt
(1.7)
Характер движения центра масс определяется видом корней характеристического уравнения
данного линейного ОДУ. При этом возможны различные варианты колебаний [3,4].
Если n2 - k2 0 , то в системе будут затухающие колебания.
Частота затухающих колебаний будет меньше частоты свободных колебаний. Эта величина
определяется выражением
k1 =
k 2 n 2 .
(1.8)
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Т = 2 /k1 .
(1.9)
Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию.
Для описания “степени” затухания колебаний в системе используется характеристика, называемая декрементом затухания. Эта величина, определяется соотношением
n / k
-nT /2
1 = e
D= e
,
(1.10)
где T – период затухающих колебаний.
Третий случай взаимодействия с внешней средой имеет место, когда на маятник вдоль оси
пружины воздействует некоторая внешняя сила, зависящая от времени.
18
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Моделирование системы для такого случая взаимодействия в лабораторной работе не предусматривается.
Таким образом, при моделировании процесса колебаний маятника учитываются следующие
характеристики процесса колебаний: 1) период колебаний Т, 2) декремент затухания D.
2. Задание параметров системы “пружинный маятник”.
В рамках лабораторной работы осуществляется задание конкретных значений собственных
параметров системы и начальных условий. В таблице 1.2 указаны собственные параметры системы
(m и kж ), коэффициент сопротивления kc и начальное отклонение x0 .
Таблица 1.2
№ вар m (кг) kж ( н/м ) kc (н/м) x0 (м)
№ вар m (кг) kж ( н/м ) kc (н/м) x0 (м)
1
0,05
0,03
0,01
0,03
13
0,14
0,12
0,06
0,09
2
0,05
0,05
0,01
0,05
14
0,14
0,14
0,06
-0,10
3
0,05
0,08
0,01
-0,03
15
0,14
0,18
0,06
0,10
4
0,08
0,05
0,02
0,03
16
0,16
0,10
0,07
0,11
5
0,08
0,08
0,02
0,05
17
0,16
0,16
0,07
-0,10
6
0,08
0,10
0,02
-0,03
18
0,16
0,20
0,07
0,12
7
0,10
0,05
0,03
0,04
19
0,18
0,12
0,08
0,14
8
0,10
0,14
0,03
0,06
20
0,18
0,18
0,08
-0,15
9
0,10
0,15
0,03
- 0,05
21
0,18
0,25
0,08
0,16
10
0,12
0,10
0,05
0,07
22
0,06
0,02
0,01
-0,10
11
0,12
0,16
0,05
0,08
23
0,06
0,05
0,01
0,10
12
0,12
0,18
0,05
-0,05
3. Последовательность выполнения работы.
В общем случае полная процедура моделирования системы в рамках рассматриваемой математической схемы предусматривает этап составления (или выбора) дифференциального уравнения и этап решения дифференциального уравнения, в результате которого определяются зависимости отклонения центра массы груза и его скорости от времени. Желательно также и графическое
представление результатов моделирования.
Для решения практических задач может оказаться достаточным использование только численных значений характеристик процесса колебаний. Примером такой задачи является проверка выполнения условий работоспособности при проектировании системы. Такие условия могут быть заданы в форме неравенств по отношению к показателям T или D.
В рамках лабораторной работы с учетом исходных данных для двух вариантов моделей системы необходимо найти аналитическую зависимость отклонения центра масс x(t) маятника от времени, а также построить график зависимости x(t).
График может быть нарисован без использования средств вычислительной техники. (На нем
должно быть изображено не менее трех периодов колебаний).
При построении графиков рекомендуется использовать математические пакеты (например,
MatCad, Maple, Mathematica [7,8,9]). При этом может быть осуществлено либо только построение
графиков по заданным зависимостям, либо осуществлено решение ОДУ с последующей визуализацией результата его решения.
Далее для первой модели на основе (1.5) необходимо вычислить значение периода колебаний, а для второй модели на основе (1.10) – декремент затухания.
На основе анализа соответствующих элементов графика рекомендуется убедиться в правильности расчета длительности периода колебаний.
4. Структура отчета по лабораторной работе.
Отчет должен содержать две части, имеющих одинаковую структуру. В первой части приводятся результаты моделирования по первой модели системы, во второй – для второй модели системы.
Контрольные вопросы
1. Какова специфика математического моделирования систем при использовании обыкновенных дифференциальных уравнений (вид моделей, связь их компонентов с параметрами и характеристиками систем, технология моделирования и
др.).
2. Влияют ли на показатели процесса колебаний маятника значения начальных условий.
3. Опишите характер влияния изменений собственных параметров системы на
показатели процесса колебаний маятника.
19
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа № 2
Моделирование систем с помощью конечных автоматов
Целью выполнения работы являются изучение технологии моделирования систем, описывающихся как конечные автоматы, являющихся разновидностью дискретно-детерминированных математических схем.
1.Теоретические сведения.
С помощью математической схемы “конечный автомат” описывается работа одного из классов
систем, относящихся к дискретно-детерминированным моделям.
Математическая схема “конечный автомат” описывается 6-ю элементами [1,2]:
1) конечным множеством входных сигналов X (входным алфавитом);
2) конечным множеством выходных сигналов Y (выходным алфавитом);
3) конечным множеством внутренних состояний Z (внутренним алфавитом или алфавитом состояний);
4) функцией переходов (Z, X);
5) функцией выходов (Z, X);
6) начальным состоянием z0 Z.
Автомат перерабатывает дискретную информацию и функционирует в дискретном времени,
моментами которого являются такты. В каждом такте автомат изменяет свое состояние и выдает выходной сигнал. Изменения состояния и значение выхода задаются таблицами перехода и выхода.
Процесс функционирования автомата может быть описан в виде таблицы функционирования
автомата, в строках которой указываются номера тактов (t=0,1, ….), значения входного сигнала, значения состояния автомата и значение выходного сигнала. Каждый столбец отвечает определенному
такту. Таблица заполняется последовательно слева направо. При этом в первом столбце указывается первый сигнал (первая буква), начальное состояние и выходной сигнал. Измененное состояние записывается в следующем столбце.
В лабораторной работе с помощью схемы “конечный автомат” описывается работа устройства, называемого сборочным автоматом. Такое устройство осуществляет группирование различных
деталей перед их сборкой.
Схема такого устройства приведена на рисунке 2.1.
А
ABAABAABA...
AABABBAA ...
На сборку
А
Сбор. автомат
B
Рисунок 2.1 - Схема сборочного автомата
На вход устройства в некоторой беспорядочной последовательности поступают детали из цехов А и B. Каждый цех выпускает детали одного вида. Виды деталей обозначаются, как и цеха с помощью букв A и B.
Последовательности поступления деталей во времени обозначаются последовательностями
букв, например AABABBAABA…. (Упорядоченности букв слева-направо отвечает их упорядоченности
поступления во времени).
Работа сборочного автомата состоит в формировании на его выходе последовательностей
деталей, требующихся для дальнейшей их (автоматической) сборки в некоторый узел или устройство.
Например, для сборки могут быть нужны последовательности из трех деталей вида ABA. Соответственно выходная последовательность деталей должна иметь вид ABAABAABA … .
Автомат работает в дискретные моменты времени. В процессе своей работы он либо “пропускает” поступившую на его вход деталь на сборку, либо “ждет” требуемую деталь. При этом “непропущенная” на сборку деталь возвращается на исходное подающее устройство, а в последовательности
деталей, идущих на сборку, образуется “пропуск” (Соглашение о “пропуске” позволяет более четко
описывать процессы синхронизации в системе во времени).
Рассматриваемый в примере автомат формально описывается следующим образом.
Поскольку на вход автомата поступают только два вида деталей (A и B), то входной алфавит
имеет два символа (буквы):
X={x1 =A , x2 =B}.
20
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
На выходе автомата в определенный момент автоматного времени может быть три варианта
“выходных сигналов” – деталь A , деталь B и отсутствие детали, символизируемое нулем. Поэтому
выходной алфавит автомата имеет три символа (буквы):
Y = {y1=A, y2=B, y3 = 0 } .
Рассматриваемый автомат имеет три состояния:
Z1 – автомат ждет деталь A=x1 (деталь А будет пропущена на сборку);
Z2 – автомат ждет деталь B=x2 (деталь B будет пропущена на сборку);
Z3 – автомат после AB ждет A=x1 .
Функции переходов и выходов автомата задаются таблицами переходов и выходов (таблица
2.1 и таблица 2.2).
Таблица 2.1 – Таблица переходов
Таблица 2.2 – Таблица выходов
X\ Z
Z1
Z2
Z3
X\ Z
Z1
Z2
Z3
X1
Z2
Z2
Z1
X1
y1
y3
y1
X2
Z1
Z3
Z3
X2
y3
y2
y3
Начальное состояние автомата z1 – ожидание детали A.
2. Задание на выполнение работы.
2.1. Произвести моделирование процесса функционирования сборочного автомата для заданного входного слова, описывающего последовательность поступающих деталей.
Для этой цели необходимо составить таблицу функционирования автомата, форма которой
оговорена в п. 1. При составлении такой таблицы сначала необходимо записать по тактам входное
слово, а затем, используя таблицы переходов и выходов, последовательно по тактам сформировать
выходное слово.
Входное слово повариантно задано в таблице 2.3. (Упорядоченность букв входного алфавита
во времени отвечает упорядоченности букв слева-направо).
Таблица 2.3
№ вар.
Входное слово
№ вар.
Входное слово
1
AABABBAABAAB
13
ABAAABABAABB
2
BABAABABBAAB
14
BABBBAAABABA
3
ABBABBAABAAB
15
ABAABABBABAB
4
BABBAAABBAAB
16
BBBABBAABABB
5
ABBAABABBAAB
17
ABBABAABBABA
6
BABBABAABABA
18
BABBAABABABA
7
ABABBAABABAB
19
ABAAABABBAAB
8
BBBABABABAAB
20
BABBBABABABA
9
ABABABABBAAB
21
ABABBABAABAB
10
BABABABAAABA
22
BABBBABBBABA
11
ABAABAABABAB
23
AABBAAAABAAB
12
BABABBAABAAB
По результатам моделирования необходимо убедиться, что автомат формирует на выходе
последовательности деталей вида ABA ABA ABA …. (Последовательность может иметь “пропуски”).
2.2. Описать синтезированный автомат в графической и матричной форме.
В рамках лабораторной работы возможно составление программы на ЭВМ, реализующей работу автомата. В такой программе должны задаваться буквы входного слова и выдаваться буквы выходного слова. (При построении программы оценка за работу повышается).
3. Содержание отчета
По результатам работы необходимо оформить отчет. Он должен содержать следующие компоненты.
1) Исходные данные.
В этой части должен быть описан исходный автомат и последовательность букв на выходе,
подлежащая проверке. Должно быть также указано входное слово и последовательность букв на выходе, задаваемая при синтезе автомата.
2) Моделирование процесса функционирования автомата.
Этап предполагает составление таблицы функционирования автомата для количества тактов,
определяющегося числом букв во входном слове. (Процесс возврата деталей на подающий конвейер
учитывать не нужно).
Рекомендуется добавление в таблицу строки, описывающей выходное слово с использованием букв A, B и 0.
4. Пример выполнения работы.
1. Исходные данные.
Входной алфавит автомата имеет два символа (буквы) : X={x1 =A , x2 =B}.
21
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
На выходе автомата в определенный момент автоматного времени может быть три варианта
“выходных сигналов” – деталь A, деталь B и отсутствие детали, символизируемое нулем. Выходной
алфавит автомата имеет три символа (буквы): Y = {y1=A, y2=B, y3 = 0}.
Автомат имеет три состояния:
Z1 – автомат ждет деталь A=x1 ,
Z2 – автомат ждет деталь B=x2 ,
Z3 – автомат после AB ждет A=x1 .
Функции переходов и выходов автомата задаются таблицами переходов и выходов (таблица
2.4 и таблица 2.5).
Таблица 2.4 – Таблица переходов
Таблица 2.5 – Таблица выходов
X\ Z
Z1
Z2
Z3
X\ Z
Z1
Z2
Z3
X1
Z2
Z2
Z1
X1
y1
y3
y1
X2
Z1
Z3
Z3
X2
y3
y2
y3
Начальное состояние автомата z1 – ожидание детали A.
Входное слово - AABBAAAABAAB
Повторяющаяся последовательность букв выходного слова исходного автомата – ABA.
Повторяющаяся последовательность букв выходного слова синтезируемого автомата - BBA .
2. Моделирование процесса функционирования автомата.
Используем заданные таблицы переходов и выходов. Начальное состояние автомата – z1.
При поступлении на вход автомата сигнала (буквы) x1 он (находясь в состоянии z1) изменяет состояние на z2 и одновременно выдает на выходе сигнал y1 .
Результат моделирования процесса функционирования сборочного автомата приведен в таблице 2.6.
Таблица 2.6
t
x(t)
z(t)
y(t)
0
x1
z1
y1
1
x1
z2
y3
2
x2
z2
y2
3
x2
z3
y3
4
x1
z3
y1
5
x1
z1
y1
6
x1
z2
y3
7
x1
z2
y3
8
x2
z2
y2
9
x1
z3
y1
10
x1
z1
y1
11
x2
z2
y2
Контрольные вопросы
1) Какова специфика моделирования конечного автомата.
2) Как моделируется время в конечном автомате.
3) Сколько столбцов может быть в таблице, отражающей процесс моделирования.
22
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа № 3
Моделирование систем с помощью математической схемы
“Дискретная однородная марковская цепь”
Целью выполнения работы являются изучение технологии моделирования
систем, описывающихся как дискретные марковские цепи, являющихся разновидностью дискретно-вероятностных математических схем.
1. Краткие теоретические сведения
Данная схема является разновидностью дискретно-вероятностных схем. С ее помощью моделируются стохастические системы, характеризующаяся следующими особенностями:
- система имеет конечный набор возможных состояний;
- переход системы из состояния в состояние осуществляется случайным образом в определенные моменты времени и подчиняется статистическим закономерностям.
Изменение состояний рассматриваемой системы во времени рассматривается как случайный
процесс (процесс с дискретным временем).
Пусть имеется физическая система, которая может находиться в состояниях: Z1, Z2,… , Zn,
причём переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: t1, t2,…, tk, … . В промежутки времени между этими система
сохраняет своё состояние.
Такие моменты времени называются “шагами” или “этапами” процесса.
Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в последовательные моменты времени t1, t2,…, система оказывается в тех или иных состояниях, ведя себя, например, так: Z1→
Z3 → Z4→ Z2 → Z2→ Z1 → … (В моменты t1, t2,…, система может не только менять состояние, но и
оставаться в прежнем).
Условимся обозначать Zi(k) событие, состоящее в том, что после k шагов система находится в
состоянии Zi. При любом k события Z1(k), Z2(k),…, Zi(k),…Zп(k) образуют полную группу и несовместны.
Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепь) событий, например: Z1(0), Z3(1), Z4(2), Z2(3), Z2(4), Z1(5), …
Случайная последовательность событий называется м а р к о в с к о й ц е п ь ю , если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Zi в любое Zj н е з а в и с и т о т т о г о , к о г д а и к а к с и с т е м а п р и ш л а в с о с т о я н и е Zi .
В любой момент времени (после любого, k-го шага) система может быть в одном из состояний: Z1, Z2, …, Zn, . При описании системы указываются вероятности нахождения системы в каждом из
состояний после k-го шага. Обозначим их символом pi(k)=P(Zi(k)) , где i - номер состояния, k – номер
шага.
Для любого шага существуют какие-то вероятности перехода системы из одного состояния в
любое другое, а также вероятность задержки системы в данном состоянии. Будем называть эти вероятности переходными вероятностями марковской цепи.
Марковская цепь называется о д н о р о д н о й , если переходные вероятности не зависят от
номера шага.
Пусть система имеет п возможных состояний Z1, Z2,…, Zп. Предположим, что для каждого состояния нам известна вероятность перехода в любое другое состояние за один шаг (в том числе и
вероятность задержки в данном состоянии). Обозначим символом Рij вероятность перехода за один
шаг из состояния Zi в состояние Zj; (Рii будет вероятность задержки системы в состоянии Zi). Запишем
переходные вероятности Рij в виде матрицы
Pij
P11
P12
...
P1 j
...
P1n
P 21
P 22
...
P2 j
...
P2n
...
...
...
...
...
...
Pi1
Pi 2
...
Pij
...
Pin
...
...
...
...
...
...
Pn1
Pn 2
...
Pnj
...
Pnn
(3.1)
Некоторые из переходных вероятностей Рij могут быть равны нулю: это означает, что за один
шаг переход системы из i-го состояния в j-е невозможен. По главной диагонали матрицы переходных
состояний стоят вероятности Рii того, что система не выйдет из состояния Zi , а останется в нём.
Для графического изображения марковской цепи используются графы, вершины которых отвечают состояниям системы, а дуги описывают переходы из состояния в состояние [1].
Граф, на котором у стрелок проставлены соответствующие переходные вероятности, называется размеченным графом состояний. (“Вероятности задержки” на графе не проставляются, т.к. каждая из них дополняет до единицы сумму переходных вероятностей, соответствующих всем стрелкам,
исходящим их данного состояния).
23
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Имея в распоряжении размеченный граф (или матрицу переходных вероятностей) и зная
начальное состояние системы, можно найти вероятности состояний p1(k), p2(k), … ,pn(k) после любого
шага. Метод такого пошагового подсчета вероятностей приведен в [1] .
Рекуррентная формула для вычисления вероятностей состояния имеет вид
pi(k) =
p j (k 1)Pji
.
(i =0,1,…,n-1)
(3.2)
j
В этой формуле k – номер шага, i – номер состояния (нумерация состояний осуществляется с
1). Итак, вероятности состояний pi(k) после k-го шага определяются через вероятности состояний после (k-1)-го шага.
2. Задание на выполнение работы
Рассматривается некоторая система противовоздушной обороны (ПВО). С помощью этой системы по воздушной цели производится четыре выстрела в моменты времени t 1, t2, t3, t4.
При этом возможные следующие состояния цели (рассматриваемые как состояния системы
“система ПВО - воздушная цель”):
Z1 – цель невредима; Z2 – цель незначительно повреждена; Z3– цель получила существенные
повреждения; Z4 – цель полностью поражена (воздушная цель сбита).
В начальный момент времени цель находится в состоянии Z1 (не повреждена).
Известны боевые характеристики системы ПВО, задаваемые как вероятности перехода системы из состояния в состояние. Такие характеристики отвечают первому проектному решению.
Требуется определить, удовлетворяет ли эффективность системы заданным требованиям,
описывающимся как условие работоспособности. Для этого необходимо определить эффективность
системы ПВО. Она оценивается вероятностью поражения цели после четырех последовательных
выстрелов (p4 (4)) .
Таким образом, условие работоспособности задает минимально допустимое значение эффективности системы.
В случае невыполнения условия работоспособности необходимо выполнить процедуру синтеза системы, состоящую в варьировании значений переменных проектирования, в роли которых выступают переходные вероятности Рij . (При таком варьировании необходимо дополнительно учитывать ограничения, накладываемые на значения переходных вероятностей). После каждого варьирования необходимо повторно оценить эффективность системы. Последовательность процедур синтеза
и анализа системы необходимо выполнять до тех пор, пока не выполнится условие работоспособности.
Варианты исходной системы задаются в форме размеченных графов состояний. Перечень
вариантов приведен в приложении А .
В лабораторной работе предусматривается аналитический метод моделирования. Пример
выполнения этапа аналитического моделирования системы приведен в приложении Б.
По результатам выполнения лабораторной работы должен быть оформлен отчет, имеющий
следующую структуру.
1. Исходные данные (с указанием номера варианта).
В исходные данные включается описание системы и размеченный граф состояний.
2. Описание процедуры моделирования системы.
Моделирование системы включает формирование матрицы переходных вероятностей и подсчет вероятностей четырех состояний за четыре шага функционирования системы.
Расчет эффективности системы, отвечающий первому проектному решению, должен быть
представлен подробно (в соответствии с приложением Б).
Должна быть дана содержательная интерпретация результатов моделирования.
Контрольные вопросы.
1. Какая система рассматривается в математической модели.
2. Какова содержательная интерпретация состояний системы.
3. Классифицируйте используемую математическую модель.
24
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Приложение А
Варианты заданий на лабораторную работу №3.
Вариант 1
Вариант 2
Z1
Z1
0,5
Z2
0,4
0,2
0,5
Z3
0,3
0,1
Z4
0,3
Z2
0,3
Вариант 3
Z1
0,4
0,4
0,2
Z2
0,4
Вариант 4
Z1
0,4
Z2
Z4
Z1
0,7
Z3
0,4
0,2
0,1
Z4
Z2
0,3
0,5
Вариант 8
0,2
0,7
0,4
Z4
Z2
0,1
Вариант 9
0,3
0,3
Z2
0,4
0,2
Z3
0,1
0,1
0,4
Z3
Z4
0,4
Вариант 10
Z1
Z1
0,4
Z4
Z1
0,2
Z3
0,7
Z3
Z1
0,5
0,1
0,1
0,2
Вариант 7
Z2
Z4
Вариант 6
Z1
0,4
0,5
0,2
Вариант 5
0,4
0,2
Z3
0,3
Z2
Z4
0,3
0,5
Z3
0,5
0,8
Z3
0,3
0,3
0,1
0,3
0,1
0,7
0,3
Z4
Z2
0,4
0,2
Z3
0,2
0,8
Z4
0,1
25
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Вариант 11
Вариант 12
Z1
0,4
Z2
Z1
0,1
0,3
0,5
0,6
Z3
0,2
Z4
Z2
0,2
0,2
Z1
0,2
0,4
0,2
0,4
Z3
0,3
Z4
0,2
Z2
0,2
0,3
0,5
Z3
0,4
Z4
Z2
0,2
0,4
0,2
0,5
0,1
0,2
0,3
Z4
Z2
0,2
Вариант 19
Z2
0,3
Z3
0,2
0,1
0,3
0,6
Z3
Z4
Вариант 20
Z1
0,2
Z4
0,1
0,3
0,5
0,4
Z3
Z1
0,2
Z3
0,1
Вариант 18
Z1
0,3
Z4
0,3
Вариант 17
Z2
0,2
Z1
0,1
0,3
Z3
Вариант 16
Z1
Z2
0,3
0,1
0,3
Вариант 15
0,2
Z4
Вариант 14
Z1
Z2
0,5
Z3
0,1
Вариант 13
0,3
0,4
0,1
Z1
0,6
0,2
0,4
Z4
Z2
0,2
0,2
Z3
0,1
0,5
Z4
0,3
26
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Вариант 21
Вариант 22
Z1
0,5
Z2
Z1
0,2
0,4
0,1
0,4
Z3
0,5
Z4
Z2
0,5
Вариант 24
Z1
Z2
0,4
Z3
Z4
0,2
Вариант 23
0,2
0,4
Z3
0,2
0,5
0,1
0,2
Z1
0,1
0,7
0,5
Z4
0,5
Z2
0,2
0,2
Z3
0,1
0,4
Z4
0,3
Вариант 25
Z1
0,4
Z2
0,4
0,3
Z3
0,1
0,7
Z4
0,3
Приложение Б
Пример расчета эффективности системы ПВО (пример аналитического моделирования системы).
Описание системы.
По воздушной цели ведётся стрельба четырьмя выстрелами в моменты времени t1, t2, t3, t4.
Возможные состояния цели:
Z1 – цель невредима;
Z2 – цель незначительно повреждена;
Z3– цель получила существенные повреждения;
Z4 – цель полностью поражена (не может функционировать).
Размеченный граф состояний системы показан на рисунке П.3.1. В начальный момент цель
находится в состоянии Z1 (не повреждена).
Определим вероятности состояний цели после 4-х выстрелов.
Из графа состояний имеем:
Р12=0,4; Р13=0,2; Р14=0,1
Р11=1-(Р12+ Р13+Р14)=0,3.
Аналогично находим:
Р21=0; Р22=0,4; Р23=0,4; Р24=0,2;
Р31=0; Р32=0;
Р33=0,3; Р34=0,7;
Р41=0; Р42=0;
Р43=0;
Р44=1.
27
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Z1
0,4
0,1
0,2
Z2
0,4
Z3
0,7
Z4
0,2
Рисунок П.3.1
Таким образом, матрица переходных вероятностей имеет вид:
0,3 0,4 0,2 0,1
Pij
0 0,4 0,4 0,2
0
0 0,3 0,7
0
0
0
1
Так как в начальный момент цель находится в состоянии Z1, то р1(0)=1.
Вероятности состояний после 1-го шага (выстрела) берутся из первой строки матрицы:
р1(1)=0,3; р2(1)=0,4; р3(1)=0,2; р4(1)=0,1.
Вероятности состояний после 2-го шага:
р1(2)= р1(1) Р11=0,3·0,3=0,09;
р2(2)= р1(1) Р12+ р2(1) Р22=0,3·0,4+0,4·0,4=0,28;
р3(2)= р1(1) Р13+ р2(1) Р23+ р3(1) Р33=0,3·0,2+0,4·0,4+0,2·0,3=0,28;
р4(2)= р1(1) Р14+ р2(1) Р24+ р3(1) Р34+ р4(1)Р44=0,3·0,1+0,4·0,2+0,2·0,7+0,1·1=0,35.
Вероятности состояний после 3-го шага:
р1(3)= р1(2) Р11=0,09·0,3=0,027;
р2(3)= р1(2) Р12+ р2(2) Р22=0,09·0,4+0,28·0,4=0,148;
р3(3)= р1(2) Р13+ р2(2) Р23+ р3(2) Р33=0,09·0,2+0,28·0,4+0,28·0,3=0,214;
р4(3)=р1(2) Р14+ р2(2) Р24+ р3(2)Р34 + р4(2)Р44 = 0,09·0,1+0,28·0,2+0,28·0,7+0,35·1=0,611.
Вероятности состояний после 4-го шага:
р1(4)= р1(3) Р11=0,0081;
р2(4)= р1(3) Р12+ р2(3) Р22=0,27·0,4+0,148·0,4=0,0700;
р3(4)= р1(3) Р13+ р2(3) Р23+ р3(3) Р33=0,027·0,2+0,148·0,4+0,214·0,3=0,1288;
р4(4)= р1(3) Р14+ р2(3) Р24+ р3(3) Р34+ р4(3) Р44= 0,027·0,1 + 0,148·0,2 + 0,214·0,7 + 0,611·1=0,7931.
Таким образом, получены следующие значения вероятностей всех исходов обстрела цели
(четырёх выстрелов):
- цель не повреждена: р1(4) ≈ 0,008;
- цель незначительно повреждена; р2(4) ≈ 0,070;
- цель получила существенные повреждения; р3(4) ≈ 0,129;
- цель полностью поражена: р4(4) ≈ 0,793.
Таким образом, в результате моделирования заданной системы установлено, что вероятность
полного поражения цели в ней после четырех последовательных выстрелов составляет 0,79.
28
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа № 4
Формирование значений случайных величин с заданным
законом распределения
Цели работы: 1) изучение технологии статистического моделирования значений случайных величин (СВ) с заданным законом распределения, 2) изучение технологии проверки правильности такого моделирования.
1. Краткие теоретические сведения
Обязательными этапами метода статистического моделирования является формирование
значений СВ с заданными законами распределений.
Для формирования таких значений используются случайные числа xi , имеющие равномерный
(при практической реализации квазиравномерный) закон распределения в интервале (0,1). Эти числа
затем преобразуются в возможные значения случайной величины yi с заданным законом распределения.
Существуют два основных метода такого преобразования. Один из методов, называемый
прямым или методом обратной функции, состоит в выполнении некоторой операции над числом xi , в
результате которой формируется число yi , имеющее заданный закон распределения. Другой метод
основывается на моделировании условий соответствующей предельной теоремы теории вероятностей.
Первый метод основан на теореме, устанавливающей связь между случайной величиной с
заданным законом распределения и случайной величиной с равномерным законом распределения.
Из этой теоремы следует, что для получения случайных чисел yi с функцией плотности f(y) необходимо разрешить относительно yi уравнение
уi
f ( y ) dy xi .
(4.1)
Пусть требуется получить случайные числа с показательным (экспоненциальным) законом
распределения
f (y) = e-y
(y>0) .
(4.2)
Для такого распределения на основе (4.1), можно определить [1,2], что случайные числа yi
определяются из соотношения
yi = - ( 1/ ) ln (1- xi ) ,
(4.3)
где xi – случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0;1).
Для равномерно распределенной случайной величины на интервале [a;b], имеющую плотность, задаваемую соотношением
1/(b a), a x b,
,
(4.4)
f ( x)
0, x a, x b
случайные числа yi определяются по формуле
yi = a + xi (b-a) ,
(4.5)
где xi имеет тот же смысл, что и в (4.3).
Второй метод состоит в приближенном воспроизведении условий, при которых оказываются
справедливыми соответствующие предельные теоремы теории вероятностей.
Пусть, например, требуется получить последовательность случайных чисел x i , имеющих нормальный распределение с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением
f ( x)
1
2
e
( x a )2
2 2
(4.6)
Воспользуемся центральной предельной теоремой для одинаково распределенных случайных величин: если независимые одинаково распределенные случайные величины 1, 2, … , n имеют
математическое ожидание a1 и среднее квадратическое отклонение 1 , то их сумма ассимптотически
нормальна с математическим ожиданием a=na1 и средним квадратическим отклонением 1 n .
Возьмем в качестве независимых случайных величин случайные числа, имеющие равномерный распределение в интервале (0,1). Тогда сумма таких величин будет ассимптотически нормальна.
Поскольку математическое ожидание рассматриваемых случайных величин равно 0,5, а
среднее квадратическое отклонение 1/2 3 , то сумма n слагаемых будет иметь математическое
ожидание
an = n/2
(4.7)
и среднее квадратическое отклонение
29
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
_______
n = (1/2) (n/3) .
(4.8)
Сумма имеет распределение, близкое к нормальному, уже при n = 8…12.
Для получения случайных чисел с нормальным законом распределения при произвольных
значениях a и используется следующая формула:
_____ n
yi = 12 / n [ xj - n / 2 ] + a
(4.9)
j=1
где xj – независимые экземпляры значений равномерно распределенной случайной величины
на интервале (0;1) (базовой случайной величины). Будем принимать в этой формуле n=12.
Метод проверки правильности формирования законов распределения состоит в построении
гистограмм по результатам статистического моделирования и их сравнении с графиком плотности
распределения СВ. Близость гистограммы и графика плотности распределения позволяет сделать
заключение о правильности моделирования. При этом “степень близости” увеличивается при увеличении числа испытаний (а также числа интервалов).
2. Порядок выполнения работы
В процессе выполнения работы необходимо разработать программы для ЭВМ, позволяющие
получать наборы значений случайных величин, имеющих три вида законов распределения: 1) равномерный, 2) показательный (экспоненциальный), 3) нормальный.
Программы могут быть созданы в любой среде разработки приложений (Delphi, С++, Visual
Basic, Visual Basic for Applications и др.)
Распределения первых двух видов должны быть получены на основе первого из рассмотренных выше методов, а третье распределение – на основе второго метода.
Рекомендуется написание единой программы, позволяющей моделировать одновременно все
законы распределения. В диалоговом окне программы должны содержаться номер и название лабораторной работы. Сначала в диалоговом режиме должен быть выбран вид закона распределения, а
затем введены его параметры. Далее должно быть введено требуемое число испытаний (реализаций). После этого должен быть произведен запуск программы моделирования. (В конце указаний по
выполнению лабораторной работы приводятся дополнительные рекомендации по реализации программы).
Общий вид алгоритма моделирования для двух первых распределений приведен на рисунке
4.1.
В этом алгоритме в блоке 1 осуществляется ввод параметров распределений, задаваемых
для каждого варианта лабораторной работы. В блоке 2 осуществляется ввод требуемого количества
производимых опытов N. Блок 3 представляет собой оператор цикла, реализующего N реализаций
процедуры получения значения случайной величины с заданным законом распределения. В блоке 4
осуществляется генерация значения равномерно распределенной случайной величины на интервале
(0,1) (обращение к “датчику случайных чисел”). В блоке 5 осуществляется расчет значения yi = y (xi ).
При этом для первого распределения используется функция (5), а для второго – (по 3). В блоке 6
производится запоминание значения yi .
В блоке 7 реализуется процедура вывода результатов моделирования, состоящая в подготовке данных для построения гистограммы распределения случайной величины и выводе этой гистограммы. (При построении гистограммы необходимо разбить диапазон изменения случайной величины
не менее чем на 12 интервалов).
Общий вид моделирующего алгоритма для нормального распределения приведен на
рисунке 4.2.
Этот алгоритм аналогичен алгоритму, приводимому на рисунке 4.1. Отличие состоит в том,
что в блоке 1 осуществляется ввод количества равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин n и значений a и . В блоке 4 реализуется цикл суммирования значений n равномерно распределенных случайных величин. При этом в блоке 5 осуществляется генерирование значения
j (по другим обозначениям xi), а в блоке 6 – накопление суммы сгенерированных значений. В блоке 7
осуществляется расчет по формуле (4.9).
Вывод результатов моделирования для всех видов законов распределений предполагает построение гистограмм. Технология их построения, принятая в математической статистике.
Основные этапы такой технологии предусматривают группировку результатов наблюдений
(полученных в результате проведения машинных экспериментов) в виде статистического ряда. При
этом область изменения результатов наблюдений разбивается на интервалы (“разряды”, группы),
имеющие длину i (i=1,2, …I). (символом I обозначено общее количество интервалов). Эти диапазоны
откладываются на оси абсцисс диаграммы.
Далее определяются количества “попаданий” значений СВ mi в каждый из этих диапазонов.
После этого значения mi делятся на общее число опытов M, в результате чего вычисляются значения
pi = mi /M, называемые частотами [3]. Значения pi далее делятся на длину соответствующего диапазона i и полученные значения откладываются на оси ординат диаграммы над каждым диапазоном.
30
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Начало
1
Ввод параметров
распределения
2
Ввод числа
реализаций N
3
i = 1N
4
7
Генерация значения
xi
5
Расчет значения
yi = y(xi)
Вывод результатов
Конец
6
Запоминание
значений yi
Рисунок 4.1 Блок – схема моделирующего алгоритма
В рамках лабораторной работы на осях диаграммы строятся также теоретические распределения случайных величин, после чего производится их сравнение.
Особенность построения гистограмм в данной лабораторной работе состоит в том, что в качестве варьируемого признака выступает множество случайных чисел, полученных при многократных
выполнения опытов (машинных экспериментов).
В данной работе длины интервалов могут быть приняты одинаковыми (рекомендуется разбивать вариационный ряд на 12 –20 равных интервалов).
На оси варьируемого признака (на оси абсцисс) должны были указаны значения границ диапазонов (или средины диапазонов).
При оценке точности моделирования на гистограммах одновременно указываются и соответствующие теоретические законы распределения (в характерных точках).
В лабораторной работе допускается упрощенное выполнение гистограмм. В этом случае по
оси ординат указываются значения частот pi или значения mi . По оси абсцисс могут быть указаны
только значения признака, нумеруемые целыми или натуральными числами. (При выполнении упрощений оценка за выполнение работы снижается).
31
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Начало
1
Ввод
n, a и
2
Ввод числа
реализаций N
3
i = 1N
yi = 0
4
j = 1 n
5
8
Генерация значения
j
Вывод результатов
6
yi = yi + j
Конец
7
Расчет по (9) , и
запоминание yi
Рисунок 4.2. Блок – схема моделирующего алгоритма
3. Варианты заданий.
Вариант задания указывается преподавателем. Варианты параметров равномерного распределения приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
№ вариЗначение
Значение
анта
a
b
1
0
2
2
0
3
3
0
5
4
0
8
5
1
3
6
1
4
7
1
6
8
2
5
9
2
7
10
2
8
11
3
7
12
3
9
Варианты значений параметра показательного распределения приведены в таблице 4.2.
Варианты параметров нормального распределения приведены в таблице 4.3.
32
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Таблица 4.2
Таблица 4.3
№ варианта
№ варианта
a
1
0,1
1
2,5
1,0
2
0,25
2
3,0
1,2
3
0,5
3
3,5
1,5
4
0,75
4
4,0
2,0
5
1,0
5
4,5
2,5
6
1,25
6
5,0
3,0
7
1,5
7
5,5
3,5
8
2,0
8
6,0
4,0
9
2,5
9
6,5
3,5
10
3,0
10
7,0
4,0
11
3,5
11
7,5
4,5
12
4,0
12
8,0
5,0
По каждому из видов распределений моделирование необходимо выполнить дважды: при
значениях числа реализаций (опытов) N=100 и N=500.
Таким образом, результаты выполнения работы по трем видам распределений необходимо
представить в виде шести гистограмм.
4. Порядок сдачи работы.
Процедура сдачи работы включает три этапа:
1) написание отчета и предоставление его преподавателю;
2) защита работы.
3) демонстрацию работы программы.
Правильность выполнения данной работы проверяется двумя способами: визуальным и текстуальным. Первый способ предполагает сравнение графических изображений теоретического закона
распределения и гистограммы, получаемой в результате моделирования на ЭВМ. Второй способ состоит в проверке правильности написания операторов в моделирующей программе. Дополнительно
может быть проверена работоспособность программы моделирования.
Второй этап сдачи работы начинается с предварительного просмотра отчета преподавателем. В результате такого просмотра могут быть выявлены ошибки в формировании значений случайных величин. После этого студентом выполняется доработка отчета.
При отсутствии ошибок защита работы продолжается.
Замечание 1. Необходимым условием успешной защиты работы является знание студентом
вида теоретических распределений, использующихся в лабораторной работе, а также технологию построения гистограмм распределений, получаемых на основе экспериментальных данных. (В связи с
этим рекомендуется повторить соответствующие разделы теории вероятностей и математической
статистики).
Замечание 2. В большинстве случаев при выполнении работы используются не гистограммы
(в том виде, как они определяются в математической статистике), а более простые графические
представления, ординаты которых пропорциональны ординатам гистограмм.
При защите работы необходимо сравнить “степень близости” гистограмм (или их “упрощенных” представлений), полученных при различных N, к виду плотностей распределений моделируемых
случайных величин. (При этом на гистограммах в произвольном масштабе по оси ординат необходимо дополнительно указать вид теоретических распределений).
Третий этап сдачи не является обязательным и осуществляется по усмотрению преподавателя.
Он предполагает представление преподавателю исходного текста программы на дисплее ЭВМ
и ответы на его вопросы по программной реализации алгоритма статистического моделирования.
Преподавателю демонстрируется работа программы при различных видах распределений и
различных значениях числа реализаций. В процессе демонстрации студент должен охарактеризовать
вид и характер демонстрируемых распределений, и оценить степень их близости к “теоретическим”
распределениям случайных величин с учетом числа выполненных реализаций (“машинных опытов”).
Защита работы состоит в разъяснении студентом полученных результатов моделирования и
ответе на контрольные вопросы, приводимые ниже.
5. Структура отчета по лабораторной работы.
В отчете должны быть приведены:
1) исходные данные варианта работы – параметры законов распределений;
2) вид диалоговых окон программы, содержащие исходные данные и соответствующие им гистограммы распределений, полученные для различных законов распределений с заданными параметрами при двух различных значениях числа опытов.
33
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
6. Дополнительные рекомендации по разработке моделирующей программы.
При использовании среды разработки Delphi для генерации базовой СВ необходимо сначала
использовать процедуру Randomize(), инициализирующую датчик базовой случайной величины, а затем при получении случайных чисел в циклах использовать функцию random.
Для вывода гистограммы распределения можно использовать компонент TChart. При использовании этого компонента рекомендуется выбирать линейный вид диаграммы.
В программе рекомендуется построение цикла с количеством повторений, равным числу интервалов гистограммы. В теле цикла необходимо последовательно выводить каждый столбец диаграммы, используя процедуру Series1.AddXY(.. , ...). При каждом обращении к этой процедуре должно последовательно задаваться среднее значение интервала и значение частоты попадания наблюденной случайной величины в интервал. (Такие значения могут быть вычислены предварительно вне
цикла или и получены в процессе его реализации).
Замечание 1. При построении программы возможно использование других технологий моделирования, осуществляющих подсчет числа попаданий значений случайной величины в интервалы. В
этих случаях смысл величины N (числа реализаций, задаваемой в работе, может измениться. Эти отличия должны быть разъяснены студентом специально.
Замечание 2. При построении гистограмм на них должны быть представлены характерные
“точки” графиков распределений (в области определения и области значений функций).
Так, для равномерного закона распределения должен быть указан диапазон [a;b], для экспоненциального [0, max] (величина max должна быть не меньше наибольшего значения СВ, полученного при статистическом моделировании), для нормального закона – диапазон [a - 3 ; a + 3 ].
Допускается строить график теоретического распределения на изображении гистограммы
«вручную» по отдельным точкам.
Замечание 3. Предполагается, что каждым студентом разрабатывается индивидуальная программа моделирования. В случае использования неоригинальной программы оценка лабораторной
работы снижается. При защите работы студент должен объяснить особенности используемой им реализации алгоритма.
Контрольные вопросы
1) Какова связь между наблюденным значением случайной величины и случайным числом, использующимся в методе статистического моделирования.
2) С помощью каких методов формируются значения случайных величин в
лабораторной работе?
3) Какова технология построения гистограммы на основе совокупности
наблюденных значений случайной величины.
4) Что откладывается в гистограмме по оси абсцисс.
5) Что такое интервал, “разряд” на гистограмме.
6) Что откладывается на гистограмме по оси ординат (необходимо учесть
возможные варианты откладываемых величин).
34
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа № 5
Моделирование статической стохастической системы
Цель работы. Изучение основных положений технологии статистического моделирования систем, включая вопросы тактического планирования эксперимента.
1. Описание моделируемой системы
Задана некоторая стохастическая система, структурная схема которой приведена на
рисунке 5.1. Система испытывает два вида воздействий: входное воздействие x и воздействие внешней среды v [1].
i
внешняя
В2
среда
система
vi
K2
h ’i
xi
i
B1
K1
h”i
И
C
yi
hi
Рисунок 5.1. Структурная схема системы
Эти воздействия описываются с помощью функций
x = 1-e-
и
v = 1-e- ,
(5.1)
где и - случайные величины, для которых известны их функции распределения.
Выходная величина y системы связана с входным воздействием и воздействием внешней
среды зависимостью
____________________
y = x2 + kxv + v2 ,
(5.2)
где k – некоторый коэффициент.
Целью моделирования является получение оценки математического ожидания M[y] выходной
величины y. В качестве оценки математического ожидания выступает среднее арифметическое, вычисляемое по формуле
y
1 N
yi ,
N i 1
(5.3)
где yi – наблюденное значение случайной величины y, N – число опытов (реализаций).
2. Краткие теоретические сведения
Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой вероятностной системе. Дальнейшая
статистическая обработка таких данных позволяет получить оценки некоторых величин, характеризующих изучаемый процесс (показателей эффективности системы).
В качестве таких величин для вероятностных систем чаще всего ин используются вероятности
некоторых событий или математические ожидания некоторых случайных величин.
Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования
системы приобретают статистическую устойчивость и могут быть приняты в качестве оценок характеристик процесса функционирования системы.
Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются
предельные теоремы теории вероятностей. Эти теоремы гарантируют высокое качество статистических оценок при достаточно большом числе испытаний (реализаций) N.
(Напомним, что оценкой вероятности некоторого события является значение частоты появления этого события в серии опытов, а оценкой математического ожидания – среднее арифметическое
(средняя арифметическая) наблюденных значений случайной величины. Реже используется оценка
дисперсии или среднего квадратического отклонения случайной величины, в качестве которых высту35
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
пают соответственно выборочная (статистическая) дисперсия S2 и выборочное среднеквадратическое
отклонение S.
В рамках данной лабораторной работы рассматривается некоторая система с учетом воздействий на нее внешней среды. Воздействия имеют случайный характер. Временные характеристики
воздействий не учитываются. Зависимость выхода системы от входов имеет детерминированный характер и задается функцией двух переменных. Поскольку воздействия на вход системы имеют случайный характер, то и выходная величина будет случайной и система будет оцениваться как стохастическая.
Требуется получить оценку математического ожидания “выхода” системы, описывающегося
выходной переменной.
Использование метода статистического моделирования позволяет получить оценку математического ожидания такой величины путем подсчета среднего арифметического значений этой случайной величины. Для получения такой оценки необходимо реализовать многократное получение
значений случайных величин на входе и подсчет на основе этих наблюденных значений входных величин значений выходной величины.
Каждый акт расчета выходной величины по значениям входных можно считать реализацией
процесса функционирования системы.
При увеличении числа реализаций процесса функционирования системы, среднее арифметическое значений будет стремиться к значению математического ожидания выходной величины.
При выполнении рассматриваемой лабораторной работы необходимо подсчитать количество
реализаций, обеспечивающее необходимую точность моделирования. Это осуществляется на основе
методов тактического планирования эксперимента.
При использовании такого метода должны быть заданы точность оценки и достоверность
оценки.
Точность оценки может быть задана в двух формах: как точность абсолютной оценки или
как точность относительной оценки .
При задании точности оценки учитывается разность между значением оцениваемого параметра а и его оценки x.
Точность абсолютной оценки определяется на основе следующего соотношения
a–x ,
(5.4)
а точность относительной оценки
( a – x)/а .
(5.5)
Достоверность оценки определяет вероятность того, что неравенство (5.4) или (5.5) выполняются. Это записывается в следующем виде
P ( a – x ) = ,
(5.6)
P ( ( a – x)/а ) = .
(5.7)
Достоверность оценки может трактоваться следующим образом. В силу случайности выборки
существует весьма малая вероятность того, что неравенства (5.4) и (5.5) реально (для всей генеральной совокупности) выполняться не будут.
Для оценки математического ожидания искомой случайной величины (являющейся выходной
характеристикой системы) требуемое количество реализаций (испытаний) определяется по формуле
N = (t2 2) / 2 .
(5.8)
В этой формуле t2 - значение нормированной нормально распределенной СВ, определяемое
по справочной таблице при заданном уровне значимости (достоверности); 2 – дисперсия СВ; - заданная точность абсолютной оценки, - среднее квадратическое отклонение.
В данной лабораторной работе будем принимать =0,95. Тогда соответствующее значение
t =1,96.
Поскольку значение 2 до начала эксперимента неизвестно, то оно должно быть определено
приближенно на основе пробной серии экспериментов или прогонов имитационной модели (на основе
предварительного моделирования).
Для получения такой серии сначала задается некоторое предварительное, относительно небольшое число прогонов модели N0 .
В качестве оценки неизвестной дисперсии принимается значение выборочной дисперсии S2 .
Такое значение может быть вычислено по результатам серии из N прогонов модели по формуле
N
_
S ( x i x ) 2 / ( N 1) .
2
(5.9)
i 1
В этой формуле xi – значения случайной величины, полученные в результате проведения
_
имитации, x - среднее (среднее арифметическое) значение случайной величины. Величина S2 является оценкой величины 2 .
36
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
В данной лабораторной работе качестве xi выступают значения yi в формуле (5.3), а в каче
стве среднего значения x значение y , вычисляемое по той же формуле.
Однако непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, поскольку
_
она предполагает заранее известным среднее значение искомой величины x . Такое значение при
статистическом моделировании получается только по окончании процесса моделирования.
В связи с этим при статистическом моделировании целесообразно использование другой
формулы для вычисления дисперсии. Она имеет следующий вид:
N 2 N 2
S x i x i / N / ( N 1)
i 1
i 1
2
(5.10)
При реализации этой формулы достаточно накапливать две суммы: значений xi и их квадра_
тов xi2 . Значение точности оценки вычисляется как произведение среднего x на некоторую достаточно малую величину, называемую относительной точностью оценки. В рамках лабораторной
работы ее следует принять равной 0,01 (в этом случае точность оценки составляет 5% от оцениваемой величины). Значение точности оценки определяется по формуле
_
= 0,01 x
(5.11)
Подставив в (6.8) найденные значения определяем требуемое количество реализаций N .
После этого осуществляется основное моделирование. При таком моделировании обеспечивается получение оценки математического ожидания с заданной точностью и достоверностью.
Замечание 1. В математической статистике для определения точности оценки математического ожидания используется понятие доверительного интервала [2...4].
3. Технология статистического моделирования системы
Рассмотрим рисунок 5.1, на котором изображены элементы системы и некоторые компоненты
внешней среды.
Компоненты В1 и В2 осуществляют вычисление функций (5.6).
Элементы системы выполняют следующие функции:
К1 и К2 - возведение функций в квадрат,
С – вычисление выражения x2 + kxv + v2 ,
И – вычисление функции (5.7).
Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М[y] системы, приведена на рисунок 5.2.
Здесь AL и FI – функции распределения случайных величин и ; N – заданное число реализаций; I i - номер текущей реализации; ALI i ; FII i ; EXP e ; K k; MY M[y],
N
SY
yi
- суммирующая ячейка;
i 1
ВИД […], ГЕН […] , ВРМ [….] – процедуры ввода исходных данных, генерации псевдослучайных последовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно.
Точность и достоверность результатов моделирования повышается с увеличением числа реализаций N.
Для выполнения работы необходимо написать программу для ЭВМ и реализовать алгоритм
моделирования.
В результате моделирования должно быть определено значение оценки М[y].
Для выполнения работы необходимо разработать специальную моделирующую программу
для ЭВМ.
Такая программа должна дважды реализовать алгоритм, приводимый на рисунке 5.2. Первый
раз такой алгоритм выполняется при некотором начальном значении N0 , а второй раз –при значении
N, рассчитанном по формуле (5.8).
При первом использовании алгоритма должна использоваться его модификация, позволяющая дополнительно вычислять дисперсию моделируемой случайной величины. Для этого в циклической части алгоритма должен быть добавлен блок, вычисляющий сумму квадратов значений выходной величины и квадрат суммы таких значений. После выхода из цикла должно быть подсчитано значение дисперсии моделируемой величины. Места вставки указанных дополнительных блоков отмечены на рисунке 5.2 символом “ * “.
37
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Начало
ВИД [ N, AL, FI, K ]
SY = 0
I = 1 N
ГЕН [ALI]
MY = SY/N
*
XT = 1 – EXP(-ALI)
BPM [MY]
ГЕН [FII]
Конец
VI = 1 – EXP (-FII)
-----------------------------------------
YI = XI2 + KXIVI + VI2
SY = SY + YI
*
Рисунок 5.2 Схема моделирующего алгоритма
Таким образом, в программе должны предусматриваться три последовательно выполняющихся этапа:
1) предварительное моделирование;
2) расчет требуемого количества реализаций для основного моделирования;
3) основное моделирование.
На первом этапе необходимо осуществить ввод вида закона распределения, параметров распределений и предварительного количества реализаций N 0. В результате выполнения первого этапа
_
должны быть определены значения математического ожидания выхода системы y по формуле (5.3)
и S 2 по формуле (5.10).
В результате выполнения второго этапа должно быть выведено значение N , а в результате выполнения третьего этапа – значение оценки математического ожидания выходной величины
y.
Для повышения оценки за выполнение лабораторной работы студентом может быть определено значение доверительного интервала для каждой серии.
38
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
4. Варианты заданий
Для каждого варианта задания указывается вид функций распределения случайных величин
и , а также значение коэффициента k в функции (5.2).
В данной лабораторной работе принимается, что случайные величины и в зависимости от
варианта могут иметь один из двух законов распределения:
- равномерный закон распределения с параметрами a= 0,5 и b=1,5 ;
- показательный закон распределения с параметром =2.
( Функции плотности распределений указанных законов приведены в лабораторной работе №
4).
Перечень вариантов заданий приведен в таблице 5.1.
Таблица 5.1
№ варианта
Закон
Закон
Значение
k
распределения
распределения
1
Равномерный
Показательный
0
2
Показательный
Равномерный
0
3
Равномерный
Равномерный
0
4
Показательный
Показательный
0
5
Равномерный
Показательный
1
6
Показательный
Равномерный
1
7
Равномерный
Равномерный
1
8
Показательный
Показательный
1
9
Равномерный
Показательный
1,5
10
Показательный
Равномерный
1,5
11
Равномерный
Равномерный
1,5
12
Показательный
Показательный
1,5
Моделирование необходимо осуществить в два этапа. На этапе предварительного моделирования следует принять N0 =100. Значение N определить на основании формулы (5.3).
5. Порядок сдачи работы
Данная лабораторная работа (как и все последующие) сдаются преподавателю в два этапа:
1) демонстрация работы программы имитационного моделирования.
2) оформление и сдача отчета.
В процессе демонстрации работы программы задаются требуемые виды законов распределений, начальное значение N0 , рассчитывается N и, после его задания, среднее значение выходной
величины системы.
При демонстрации работы программы преподавателем могут быть заданы вопросы по исходному тексту программы.
Студент должен в устной форме оценить вариации оцениваемого значения выходной величины при нескольких сеансах моделирования.
6. Оформление отчета.
Для выполнения отчета необходимо произвести три сеанса моделирования в результате которых должны быть получены три значения оценок выходной величины.
Желательно также определение для каждого сеанса моделирования доверительные интервалов оценок выходной величины.
Далее необходимо подсчитать среднее значение полученных оценок.
Рассматривая полученное среднее значение оценки в качестве искомого математического
ожидания выходной величины необходимо оценить полученные абсолютные и относительные отклонения оценок в каждом из трех сеансов статистического моделирования путем сравнения их значений с заданными значениями и .
В отчете необходимо привести распечатки диалогового окна программы, содержащего исходные данные и результаты расчетов.
В приложении необходимо включить исходный текст программы (возможно включение сокращенного варианта текста, содержащего только “операционную” часть).
Контрольные вопросы
1. Что такое статистическое моделирование?
2. Опишите структурную схему стохастической системы.
39
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа № 6
Моделирование одноканальной системы массового обслуживания
Цель работы. Изучение технологии статистического моделирования одноканальных систем массового обслуживания.
1. Краткие теоретические сведения
Многие системы хорошо описываются как системы массового обслуживания (СМО). Для моделирования таких систем могут использоваться как аналитические модели, так и технология статистического моделирования.
Специфической особенностью статистического моделирования СМО является формирование
реализаций потоков заявок. Если с точки зрения обслуживания все заявки данного потока являются
равноправными, то потоки называют потоками однородных событий.
Для описания потока однородных событий рассматривается совокупность случайных величин
1 , 2 , … , m , являющихся длинами интервалов времени между последовательными случайными
моментами tj появления заявок (отсчитываемыми от некоторого начального момента времени). При
этом выполняются соотношения
t1 = 1
t2 = 1 + 2
(6.1)
. . . . . . . .
t k = 1 + 2 + … + k .
Обычно при моделировании систем используются частные случаи потоков: потоки с ограниченным последействием, стационарные потоки и потоки без последействия.
Для стационарных потоков с ограниченным последействием временные интервалы j , начиная со второго (j >1) , распределены одинаково.
Примером такого потока является поток с равномерным распределением интервалов времени
между заявками. Функция плотности f(z) в этом случае (при a=0) имеет вид:
f(z) = 1/b , 0 z b .
(6.2)
Для выработки случайной реализации стационарных потоков с ограниченным последействием
используется следующая процедура. Сначала определяется плотность распределения первого интервала по формуле Пальма:
z1
f 1 z1 1 f (u )du
0
,
(6.3)
где - интенсивность потока событий.
Порядок моделирования моментов появления заявок в стационарном потоке с ограниченным
последействием следующий. Из последовательности случайных чисел, равномерно распределенных
на интервале (0,1), выбирается случайная величина и формируется первый интервал z1 в соответствии с (6.3) любым из способов формирования случайной величины. Тогда момент наступления первого события t1 = t0 + z1. Следующие моменты появления событий определяются как
t 2 = t1 + z2 , ….. , tk = tk-1 + zk .
(6.4)
Замечание 1. Соотношение (4) является аналогом соотношений (1), записываемое для случайных чисел.
Для потока с равномерным распределением интервалов плотность распределения первого
интервала имеет вид
f1 (z1) = 2 (b-z1) / b2 .
(6.5)
Для получения значения z1 используется формула
z1 b ( 1 1 x )
(6.6)
где x – базовая случайная величина.
Длина интервала времени между последующими событиями этого потока (при j>1) подсчитывается по формуле
zj = bxj ,
(6.7)
где xj имеет тот же смысл , что и x в предыдущей формуле.
Поток, являющийся стационарным, ординарным и потоком без последействия называется
простейшим. Плотность распределения случайной величины j при j0 для простейшего потока имеет вид показательного распределения с параметром
f (z) = e- z ,
(6.8)
где - интенсивность (плотность) потока.
Для простейшего потока плотность распределения на первом интервале совпадает с плотностью распределения на последующих интервалах ( f 1(z1) = f(z) ). Длина интервала между ( j-1)-м и j-м
событиями zj = - (1/)lnxj , а моменты появления заявок в потоке определяются согласно (6.4).
40
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
После рассмотрения методики моделирования потоков однородных событий перейдем непосредственно к рассмотрению методики моделирования систем массового обслуживания методом
статистического моделирования.
В рамках данной лабораторной работы рассматривается простейший случай системы массового обслуживания – система с одним каналом (обслуживающим агрегатом).
Предполагается, что в эту систему поступают заявки, образующие ординарный поток однородных событий с заданным законом распределения. Заявки в системе обслуживаются в порядке
очереди (в том порядке, в котором они поступили в систему).
В лабораторной работе рассматриваются две разновидности одноканальной системы:
- система с ограниченным ожиданием, имеющем случайную длительность;
- система с отказами.
Рассмотрим вопросы моделирования системы первого вида.
В такой системе время занятости канала (длительность обслуживания) является случайной
величиной с законом распределения f().
Если поступившая заявка застает канал занятым, то она ожидает освобождения канала, но не
более, чем (ж), после чего получает отказ. Величина (ж) представляет собой случайную величину с
законом распределения ((ж)).
Введем ряд обозначений и охарактеризуем на этой основе процесс функционирования СМО.
Будем обозначать:
- символом tj случайные значения моментов времени поступления заявок в систему (j=1,2, …,
m, …);
- символом t(св)j случайные значения моменты освобождения канала от обслуживания j-ой заявки (моменты окончания обслуживания j-ой заявки);
- символом (ж)j – случайное значение длительности ожидания обслуживания j-ой заявкой;
- символом t(ж)j – случайный момент окончания ожидания j-ой заявки (при занятости канала);
- символом t(н)j – случайный момент начала обслуживания j-ой заявки;
- символом j – случайное значение длительности обслуживания j-ой заявки.
При моделировании процесса функционирования СМО введенные символы будут иметь
смысл случайных чисел, получаемых в результате вычислительных экспериментов.
Для иллюстрации введенных обозначений и особенностей моделирования рассмотрим один
из возможных вариантов начала процесса функционирования системы (рисунок 6.1).
t(ж)2
(ж)2
ожидание
t(ж)3
(ж)3
поступление
t1
обслуживание
0
t2
t3
T
t3
t(н)1
1
t(св)2
2
t
t(св)1=t(н)2
Рисунок 6.1. Начало процесса функционирования СМО
На рисунке изображен один из возможных вариантов поступления трех заявок в систему в
моменты времени t1, t2, t3 (соответствующие интервалы времени между поступлениями обозначены
дугами, направленными вверх), двух “обслуживаний” заявок длительностью 1, 2 (дуги, направленные
вниз) и двух времен ожидания длительностью (ж)2 , (ж)3 (прямоугольники над осью времени). Процесс
функционирования системы характеризуется также следующими особенностями.
Первая заявка начинает обслуживаться сразу же в момент ее поступления.
Момент поступления второй заявки t2 попал на интервал обслуживания первой заявки длительностью 1. В связи с этим вторая заявка стала ожидать своего обслуживания в течение случайного момента времени (ж)2 .
Окончание обслуживания первой заявки попало на интервал ожидания второй заявки. В силу
этого вторая заявка не покинула очередь и стала обслуживаться в течение случайного времени 2 .
41
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
В течение времени обслуживания второй заявки в момент t3 пришла третья заявка. Ее случайный интервал ожидания оказался таковым, что она “не дождалась” момента окончание обслуживания второй заявки t(св)2 , вследствие чего она покинула систему “необслуженной”.
Как следует из рисунка, четвертая заявка поступает в систему после момента времени t(св)2 .
Начиная с этого момента система в течение некоторого времени будет оставаться свободной.
Процесс функционирования системы массового обслуживания будем рассматривать на интервале [0,Т], который будем называть периодом моделирования. Уточним особенности моделирования процесса на правой границе этого интервала.
Заявки, появившиеся в момент tj>T, в систему не попадают и не обслуживаются.
Обслуженными считаются только те заявки, для которых время окончания обслуживания
окончилось до истечения момента времени Т, т.е t(св) T (другими словами, заявка с прерванным обслуживанием считается необслуженной).
В результате моделирования необходимо получить следующие показатели эффективности
СМО (характеристики качества обслуживания):
1) долю обслуженных заявок, 2) долю заявок, получивших отказ, 3) среднее время ожидания.
Замечание 1. Приведенные характеристики имеют “статистический характер”. Они являются
статистическими аналогами вероятностных показателей “вероятность обслуживания”, “вероятность
отказа”, “математическое ожидание времени ожидания обслуживания”.
Первая из величин определяется в результате моделирования как отношение числа обслуженных заявок к число заявок, поступивших в систему за период моделирования, вторая величина,
как отношение числа необслуженных заявок к тому же числу заявок сумме, третья величина – как отношение суммы времен ожидания обслуженных заявок к числу обслуженных заявок
Опишем алгоритм статистического моделирования рассматриваемой СМО.
Для построения алгоритма, моделирующего процесс функционирования такой системы массового обслуживания, необходимы следующие операторы.
1 - Формирование случайных значений моментов tj поступления очередной заявки в систему
(формирование реализаций потока заявок).
2 - Проверка условия tj < T, где Т – граница интервала времени [0, T], на котором изучается
функционирование системы.
3 - Проверка условия tj < t(св)j-1, где t(св)j-1 – момент освобождения канала от обслуживания
предыдущей заявки.
4 - Формирование случайных значений длительности ожидания (ж)j в соответствии с законом
распределения ((ж)).
5 - Вычисление верхней границы t(ж)j интервала [tj, t(ж)j ] ожидания заявки в очереди.
6 - Проверка условия t(ж)j < t(св)j-1.
7 - Формирование момента начала обслуживания j-й заявки: t(н)j = t(св)j-1.
8 - Формирование момента начала обслуживания j-й заявки: t(н)j = tj.
9 - Формирование случайных значений длительности обслуживания (времени занятости канала) в соответствии с законом распределения f().
10 - Вычисление момента t(св)j окончания обслуживания j-й заявки (момента освобождения
канала).
11 - Проверка условия t(св)j Т.
12 - Счетчик количества m обслуженных заявок.
13
- Вычисление длительности ожидания обслуживания (времени пребывания в очереди)
для j-й заявки tожj = (t(н)j - tj.).
14 - Счетчик количества заявок m , получивших отказ.
15 - Счетчик количества реализаций N при моделировании.
16 - Проверка условия N <N*, где N* - заданное количество реализаций, необходимое для
обеспечения требуемой точности расчета.
17 - Переход к очередной реализации.
18 - Обработка результатов моделирования.
19 - Окончание вычислений и выдача результатов.
Блок-схема алгоритма, моделирующего процесс функционирования рассматриваемой системы, приведена на рисунке 6.1.
Перед началом моделирования должны быть заданы начальные условия. Будем полагать,
что при t =0 канал свободен и заявки в систему еще не поступили. Тогда начальные условия будут
иметь вид:
__
t0 = 0, t(св)j-1 = 0 , m = 0 , m = 0 , N = 0 .
(6.9)
В качестве исходных данных при решении задачи должны быть указаны граница интервала T
исследования процесса, закон распределения потока заявок, законы распределения f() и ((ж)), а
также количество реализаций N* , обеспечивающих заданную точность.
Рассмотрим работу алгоритма и его операторов.
42
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Оператор 1 формирует случайные числа, которые имитируют поток однородных событий (последовательность моментов времени tj ) в соответствии с заданным законом распределения. В операторе реализуется процедура вычисления вида
tj = tj-1 + j ,
где символом j обозначено случайное число, являющееся наблюденным значением случайной величины, описывающей длину интервала времени между событиями потока (значения j в формуле (7.4) обозначены как zj ).
Оператор 2 проверяет условие tj < T . Если это условие выполнено, то заявка, появившаяся в
момент tj , поступает в систему и рассматривается как претендент на обслуживание. Поэтому по
стрелке с индексом 1 управление передается оператору 3 для дальнейшего оперирования над заявкой. Если же условие, проверяемое оператором 2 не выполнено, то заявка в систему в пределах интервала (0,Т) не поступает, и тогда по стрелке с индексом 0 управление передается оператору 15 для
подсчета количества реализаций.
Оператор 3 проверяет условие tj < t(св)j-1 , или , другими словами, определяет, занят или свободен канал в момент поступления j-ой заявки. Если tj < t(св)j-1 (в момент поступления заявки канал занят),
то управление от оператора 3 по стрелке с индексом 1 передается оператору 4.
Рассмотрим сначала эту ветвь алгоритма (4 …7). Оператор 4 формирует случайные значения
длительности ожидания (ж) , оператор 5 вычисляет t(ж)j , а оператор 6 сравнивает величины t(ж)j и t(св)j-1
. Если t(св)j-1 t(ж)j , то имеется возможность обслужить заявку, причем момент начала обслуживания
t(н)j совпадает с моментом освобождения канала (оператор 7 ). Если же t(ж)j < t(св)j-1 , то заявка не может
быть обслужена, и тогда от оператора 6 по стрелке с индексом 1 управление передается оператору
14 для подсчета количества отказов.
Возвратимся к оператору 3 . Пусть теперь t(св)j-1 tj – в момент поступления заявки канал свободен (условие, проверяемое оператором 3 оказывается невыполненным). Тогда от оператора 3 по
стрелке с индексом 0 передается оператору 8 . Поскольку в момент tj поступления заявки канал свободен, обслуживание может быть начато немедленно: t(н)j = tj.
Теперь переходим к работе операторов 9 и 10. Они имитируют сам факт обслуживания заявки
(работу обслуживающего канала над заявкой номер j). Одним из операторов 7 или 8 уже определен
момент начала операции t(н)j . Оператор 9 формирует случайное значение длительности обслуживания j , а оператор 10 определяет время освобождения канала (момент окончания обслуживания) t(св)j .
Оператор 11 проверяет условие t(св)j Т. Если это условие выполнено, то весь интервал времени, в течение которого продолжалось обслуживание заявки, принадлежит интервалу [0, T]. Поэтому
рассматриваемую заявку можно считать обслуженной. От оператора 11 по стрелке с индексом 1
управление передается оператору 12 для подсчета количества обслуженных заявок. Далее начинает
работу оператор 13 , который вычисляет для рассматриваемой обслуженной заявки время ее пребывания в системе t(н)j – tj (время ожидания в очереди). Эта величина может оказаться необходимой для
формирования одной из искомых величин при обработке результатов моделирования (оператор 18).
От оператора 13 управление передается к оператору 1 для формирования момента поступления новой заявки.
Если же t(св)j Т (см. оператор 11), то окончание обслуживания не помещается в интервале
[0,T] и считается, что заявка получает отказ. В связи с этим от оператора 11 по стрелке с индексом 0
управление передается оператору 14 для подсчета количества отказов и, поскольку история данной
заявки окончилась, далее оператору 1 для формирования момента поступления новой заявки.
43
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Начало
1
Формирование tj
2
0
tj < T
1
4
1
3
Формирование (ж)j
8
0
tj < t(св)j-1
t(н)j = tj
5
tj(ж) = tj + j(ж)
9
Формирование j
6
1
tj
(ж)
<
10
tj(св) = tj(н) + j
t(св)j-1
7
0
t(н)j = tj-1(св)
11
tj(св) T
0
12
1
Счетчик количества
обслуженных заявок
(m)
13
Счетч. tожj = (t(н)j - tj )
14
Счетчик количества
отказов ( m )
15
N+1
16
0
N < N*
1
17
Переход к очередной
реализации
18
Обработка результатов
моделирования
19
Вывод результатов
Конец
Рисунок 6.1 Блок-схема моделирующего алгоритма
44
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
При рассмотрении работы оператора 2 ранее указывалось, что при невыполнении условия tj <
T очередная заявка на обслуживание не поступает, заканчивается соответствующая реализация процесса обслуживания, и управление от оператора 2 (по стрелке с индексом 0) передается оператору
15. Оператор 15 прибавляет единицу к количеству обследованных реализаций процесса. Полученное
число N сравнивается (оператор 16) с N* и если N < N* , то моделирование продолжается (операторы
17, 1 и т.д.), в противном случае моделирование заканчивается (операторы 18 и 19).
Обработка результатов моделирования предусматривает использование сведений, накопленных счетчиками 12 (количество обслуженных заявок), 14 (количество отказов), а также оператором 13
(длительность пребывания заявки в системе) для оценки искомых величин (доли обслуженных заявок, вероятности отказа, среднее время ожидания).
Доля обслуженных заявок определяется по формуле:
_
_
q= m / M = m / m +m ,
(6.10)
где М - общее число заявок, поступивших в систему за N реализаций процесса функциониро_
вания СМО, m – число обслуженных заявок за то же число реализаций, m - число необслуженных
заявок за то же число реализаций.
Доля необслуженных заявок (доля заявок, получивших отказ) определяется по формуле:
_
_
_
_
P отк m / M = m / m+ m
(6.11)
Среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени определяется по формуле
_
A
= m / NT
(6.12)
Среднее время ожидания обслуживания определяется как сумма времен ожидания, деленная
на количество обслуженных заявок m.
Рассмотрим далее вопрос определения необходимого количество реализаций N*, обеспечивающего требуемую точность моделирования.
Выбор количества реализаций в данной лабораторной работе необходимо вести по требуемой точности моделирования вероятностей случайных событий, характеризующих эффективность
системы. Примем для определенности, в качестве такой вероятности вероятность обслуживания заявки.
В рамках лабораторной работы будем задавать относительную точность оценки вероятности
равной 0,01, а достоверность оценки принимать равной 0,95.
Требуемое количество реализаций N* определяется по формуле:
N = t2 p(1-p) / 2p2 ,
(6.13)
где p – вероятность наступления моделируемого случайного события. Значение t =1,96.
При использовании этой формулы значение p определяется на основании предварительного
моделирования как частота наступления события при N0 реализациях процесса функционирования
системы. Рекомендуется принять N0 =200.
Выбор необходимой длительности период (интервал) моделирования Т осуществляется с
учетом ряда факторов. Во-первых, учитывается реальная цикличности работы объекта, описывающегося как СМО. Во-вторых, учитывается влияние начальных условий на процесс функционирования
системы. С увеличением значения Т такое влияние будет уменьшаться. В пределе (при Т) в системе возникнет установившийся режим ее функционирования, не зависящий от начальных условий.
В-третьих, учитывается, что время выхода на установившийся режим зависит от величины математического ожидания интервала времени между заявками входного потока (чем она больше, тем больше
время выхода). В рамках лабораторной работы значение Т рекомендуется принимать равным 1440
мин (24 часам).
Рассмотрим вопросы моделирования другой разновидности одноканальной СМО - системы с
отказами.
В такой системе заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Показателями эффективности такой системы обычно являются 1) относительная пропускная способность,
2) вероятность отказа в обслуживании и 3) абсолютная пропускная способность, определяемая как
математическое ожидание числа обслуженных заявок.
Статистическими аналогами таких показателей являются 1) доля обслуженных заявок, 2) доля
заявок, получивших отказ, 3) среднее число обслуженных заявок в единицу времени.
Моделирующий алгоритм для такой системы во многом совпадает с моделирующим алгоритмом рассмотренной выше системы. Различие в алгоритмах будет обусловлено тем, что в системе с
отказами t(ж)j= 0. Последнее вызовет исключение из предыдущего алгоритма нескольких операторов.
45
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Для СМО с отказами, имеющих простейшие входной поток и поток обслуживаний, имеется
аналитическая модель, позволяющая подсчитывать три рассмотренных вероятностных показателя.
Такие показатели зависят от времени функционирования системы. Для оценки эффективности СМО
обычно используются предельные характеристики, отвечающие случаю t . Такой случай интерпретируется как установившийся режим работы системы.
Если и - параметры показательных законов распределения времени поступления и обслуживания заявки, то предельное значение относительной пропускной способности будет равно:
q = / ( + )
(6.14)
Установившееся значение абсолютной пропускной способности определяется по формуле
А = / ( + ) .
(6.15)
а вероятность отказа (в обслуживании): Pотк = 1-q .
(6.16)
Важным моментом выполнения лабораторной работы для второй разновидности одноканальной СМО является сравнение результатов моделирования системы, выполненное двумя способами.
При этом с увеличением длины интервала моделирования разница в результатах аналитического и
статистического моделирования должна уменьшаться.
2. Порядок выполнения работы.
Работа выполняется в два этапа.
На первом этапе осуществляется статистическое моделирование первой разновидности одноканальной СМО. На втором этапе осуществляется статистическое моделирование второй разновидности одноканальной СМО, а также ее аналитическое моделирование. Производится сравнение
результатов моделирования.
2.1. Порядок выполнения первого этапа.
Содержательная интерпретация СМО на данном этапе не производится.
Необходимо выполнить следующую последовательность действий.
1. Разработать программу для ЭВМ, реализующую метод статистического моделирования в
соответствии с блок-схемой, приводимой на рисунке 6.1.
В этой программе должны быть реализованы этапы предварительного моделирования и основного моделирования. В результате предварительного моделирования должно быть определено
минимальное количество реализаций, необходимое для обеспечения требуемой точности моделирования N* .
Основное моделирование должно выполняться со значением N*. (В случае, если новое вычисленное значение не превысит N0 , основное моделирование нужно повторно выполнить с значением N0).
Рекомендуется следующая структура диалогового окна программы, реализующей алгоритм
статистического моделирования: 1) заголовок окна, отвечающий названию лабораторной работы, 2)
поля для ввода исходных данных (длительность интервала моделирования, параметры законов распределения и др.), 3) кнопка “Предварительное моделирование”, 4) результат расчета минимального требуемого числа реализаций процесса функционирования системы (минимальное число “прогонов” модели), 5) кнопка “Основное моделирование”, 6) результаты расчетов показателей эффективности системы (статистических аналогов показателей).
2. Осуществить предварительное моделирование с целью определения N* . (Выполнить, при
необходимости, корректировку значения N*).
3. Произвести основное моделирование и определить значение следующих показателей эффективности: 1) долю обслуженных заявок, 2) долю заявок, получивших отказ, 3) среднее время ожидания обслуживания.
Исходные данные задаются повариантно в п. 3.
2.2. Порядок выполнения второго этапа.
В рамках этого этапа одноканальная СМО с отказами интерпретируется как одна телефонная
линия.
На вход такой линии в случайные моменты времени приходят вызовы, образующие простейший поток с интенсивностью . Продолжительность разговоров абонентов также представляют собой
простейший поток случайных событий с интенсивностью . Поток разговоров характеризуется также
средним временем разговоров t р .
Среднее время разговора связано с интенсивностью потока разговоров соотношением
= 1/ t р .
(6.17)
Необходимо выполнить следующую последовательность действий.
1. Разработать моделирующий алгоритм, позволяющий определить следующие характеристики системы: 1) долю обслуженных заявок, 2) долю заявок, получивших отказ, 3) среднее число заявок, обслуженных в единицу времени.
За основу взять алгоритм, приведенный на рисунке 6 .1.
2. Разработать программу для ЭВМ, реализующую алгоритм статистического моделирования.
46
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
В этой программе должны быть реализованы этапы предварительного моделирования и основного моделирования.
Программа должна предусматривать возможность ввода значений Т, параметров законов
распределения и . (Значение N0 рекомендуется ввести в «теле» программы). После индикации
вычисленного значения N* в окне должна быть предусмотрена возможность ее корректировки). После
ввода должно подсчитываться и выводиться значение t р . Должен быть предусмотрен вывод трех
показателей эффективности системы.
3. Произвести статистическое моделирование и определить значение показателей эффективности системы.
Исходные данные задаются повариантно в п. 3.
4. Рассчитать показатели эффективности системы, используя аналитические зависимости
(модели):
- относительную пропускную способность q ,
- абсолютную пропускную способность A ,
- вероятность отказа Pотк .
Для выполнения п. 4 рекомендуется разработать специальную программу. Такую программу
можно выполнить либо отдельно или включить в программу, реализующую алгоритм статистического
моделирования.
5. Сравнить результаты аналитического и имитационного моделирования. Учесть влияние Т
на близость результатов моделирования двумя методами.
3. Варианты заданий
3.1. Варианты заданий для одноканальной СМО с ограниченным временем ожидания.
Варианты исходных данных формируются путем задания сочетаний параметров законов
распределения моментов времени поступления заявок на вход системы, распределения моментов
обслуживания и времени ожидания очереди.
Входной поток заявок и поток обслуживаний в системе – простейшие с параметром и .
Время ожидания очереди имеет равномерный закон распределения с параметром b (a=0). Варианты
параметров распределений приведены в таблице 6.1.
Таблица 6.1
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,5
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
0,35
0,5
0,75
0,9
1,0
1,2
1,4
1,5
1,6
1,8
2,0
2,2
b
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,1
3,2
3,3
3,5
3.2. Варианты заданий для системы второго вида.
При задании характеристик потока заявок и потока обслуживаний используются два столбца
таблицы 6.1.
Значения перерассчитываются в tр .
Значения имеют размерность “вызов в минуту”, а t р – “минуты”.
4. Порядок сдачи работы.
Процесс сдачи лабораторной работы для обеих разновидностей системы состоит из двух этапов:
1) демонстрация работы программы имитационного (статистического) моделирования.
2) оформление и сдача отчета.
Рекомендуется разработка единой программы лабораторной работы, в диалоговом окне которой выводятся исходные данные (включая период Т), кнопку “предварительное моделирование” и результат предварительного моделирования для первой разновидности системы, результаты основного
моделирования для первой разновидности системы, кнопку “предварительное моделирование” и результат предварительного моделирования для второй разновидности системы (одноканальной СМО с
отказами), кнопку “основное моделирование” и результаты моделирования для второй разновидности
системы, результаты аналитического моделирования для второй разновидности системы.
47
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
В процессе демонстрации работы программы задаются требуемые параметры законов распределений, (указывается оператор, задающий начальное значение N 0), определяется значение N* ,
рассчитываются значения показателей эффективности системы.
Должны быть сделаны устные заключения по сравнительному анализу результатов моделирования.
Преподаватель может запросить комментарии студента по исходному тексту программы.
5. Содержание отчета.
В отчете для первой разновидности системы должны быть приведены исходные данные, отвечающие варианту задания, приведены копии экрана с диалоговым окном программы, содержащим
результаты расчетов.
В приложении должен быть приведен исходный текст программы (в тексте программы возможны сокращения).
В отчете для второй разновидности системы должны быть приведены исходные данные, отвечающие варианту задания, приведены копии экрана с диалоговым окном программы, содержащим
результаты расчетов.
Должны быть также приведены результаты аналитического моделирования системы.
В отчете должны быть произведено сравнение результатов моделирования с помощью двух
видов моделей (по вероятностным показателям и их статистическим аналогам).
Кроме того, должно быть произведен устный анализ результатов моделирования, включающий сравнение результатов моделирования двух разновидностей систем, а также влияния Т на результаты моделирования.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под “опытом” при моделировании СМО.
2. Что такое “прогон” модели при статистическом моделировании.
3. Какой поток событий называется простейшим.
4. Какой функцией распределения описывается интервал времени между событиями в простейшем потоке.
5. Объяснить смысл использующихся показателей эффективности СМО.
6. Установить связь между вероятностными показателями эффективности
СМО и их статистическими аналогами.
7. Какие показатели эффективности являются общими для различных СМО, а
какие – специфическими.
8. Почему аналитическая модель имеется только для второй разновидности
системы.
9. Что такое установившийся режим работы СМО.
10. Как можно проверить правильность полученных результатов статистического моделирования функционирования одноканальной СМО с отказами на основе
результатов ее аналитического моделирования.
11. Какое соотношение между результатами статистического моделирования
должно наблюдаться для двух видов систем.
12. Как можно смоделировать работу системы с отказами на основе алгоритма
(программы) для системы первого вида.
13. На что влияет значение Т при статистическом моделировании.
14. Как влияет значение Т на близость результатов статистического и аналитического моделирования для СМО с отказами.
48
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа 7
Моделирование многоканальной системы массового обслуживания
Цель работы. Изучение технологии статистического моделирования многоканальной системы массового обслуживания (СМО).
1. Краткие теоретические сведения
В рамках данной лабораторной работы рассматривается многоканальная система массового
обслуживания, содержащая n идентичных каналов.
Предполагается, что в эту систему поступают заявки, образующие ординарный поток однородных событий с заданным законом распределения.
Заявки в системе обслуживаются в порядке очереди (в том порядке, в котором они поступили
в систему). Очередь является общей для всех каналов.
В лабораторной работе рассматриваются две разновидности многоканальной системы:
- система с ограниченным ожиданием, имеющим случайную длительность;
- система с отказами.
Рассмотрим вопросы моделирования системы первого вида.
Если поступившая в систему заявка застает все каналы занятыми, то она ожидает освобождения канала, но не более, чем (ж)j , после чего получает отказ. Время обслуживания - случайная
величина. Для обслуживания заявок привлекаются свободные каналы в порядке очереди (прежде
всего, используется тот канал, который освободился ранее других).
Замечание 1. В начальный момент времени все каналы являются свободными. С учетом этого
начальном этапе работы системы поступающие заявки “распределяются” по “незанятым” каналам в
некоторой произвольной последовательности (например, в соответствии с некоторой произвольно
принятой нумерацией каналов). После этого заявки поступают на первый из освободившихся каналов.
Рассматриваемая многоканальная система по своему характеру близка к одноканальной системе, моделирование которой осуществлено в лабораторной работе № 6. Ее моделирующий алгоритм
может быть получен на основе алгоритма, приводимого на рисунке 6.1.
Для этого достаточно заменить в операторах исходного алгоритма 3 , 6 , 7 величину t(св)j-1 на
(св)
min t , под которым будем понимать наименьшее время освобождения одного из каналов системы.
Соответствующие операторы будем обозначать 3* , 6* , 7* . Кроме того, введем новый оператор 20 –
выбор min t(св) (наименьшего из t(св) ). В операторах 10 и 11 (теперь они будут обозначаться 10* и 11* )
вместо t(св)j необходимо иметь t(св)jk , где индекс k обозначает номер линии. (Оператор 20 должен
находиться между операторами 10* и 11* ).
Рассмотрим вопросы моделирования другой разновидности многоканальной СМО - системы
с отказами.
Система данного вида отличается от рассмотренной выше системы характером ожидания заявкой ее обслуживания. При работе предыдущей системы предполагалось, что при занятости каналов заявка ожидает обслуживание в течение некоторого случайного интервала времени. В системах с
отказами заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ в обслуживании и покидает систему.
Показателями эффективности такой системы обычно являются 1) относительная пропускная
способность, 2) вероятность отказа в обслуживании и 3) абсолютная пропускная способность, определяемая как математическое ожидание числа обслуженных заявок, в единицу времени, 4) математическое ожидание (среднее число) занятых каналов [1].
При статистическом моделировании должны быть определены статистические аналоги этом
величин (доля обслуженных заявок, доля необслуженных заявок, среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, среднее число занятых каналов).
Моделирующий алгоритм для многоканальной системы с отказами во многом совпадает с моделирующим алгоритмом предыдущей системы. Различие в алгоритмах обусловлено тем, что в системе с отказами t(ж)j= 0. Последнее вызывает исключение из предыдущего алгоритма нескольких
операторов.
Замечание 2. Некоторые вопросы технологии моделирования многоканальных СМО рассмотрены также в [3,4] в п. “Моделирование процессов функционирования систем на базе Q-схем”.
Для многоканальных СМО с отказами и простейшими потоками заявок и обслуживаний разработаны аналитические модели, позволяющие определить предельные характеристики системы (при
t ). Такие модели носят название формул Эрланга [2,3].
В рамках лабораторной работы требуется сравнить результаты обоих видов моделирования.
Приведем выражения для подсчета характеристик системы, получаемых по ее аналитической модели
При аналитическом описании многоканальных систем используется “приведенная интенсивность” потока заявок = / .
Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Вероятность такого
события равна
49
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Pотк = pn = ( n /n! ) p0 ,
(7.1)
где, в свою очередь, величина p0 (вероятность того, что все каналы обслуживания свободны),
определяется в виде
p0 = [ 1+ ( /1! ) + ( 2 /2! ) + … + ( n /n! ) ]-1
(7.2)
Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же относительная пропускная способность q)
q = 1- pn
(7.3)
Абсолютная пропускная способность(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
А = q = (1- pn ).
(7.4)
Важной характеристикой многоканальных СМО с отказами является среднее число занятых
каналов, определяемое по формуле
kз= (1- pn) .
(7.5)
2. Варианты заданий
Варианты исходных данных формируются путем задания сочетаний параметров законов распределения моментов времени поступления заявок на вход системы, распределения моментов обслуживания и времени ожидания очереди, а также за счет задания количества каналов СМО.
В данной работе при задании параметров распределений для двух видов многоканальных систем используются те же данные, что и в лабораторной работе № 6.
Задание количества каналов n системы осуществляется с помощью таблицы 7.1.
Таблица 7.1
№
ва1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
рианта
n
2
3
4
2
4
3
4
3
2
3
3
2
Задание интервала моделирования N и числа реализаций N процесса функционирования системы осуществляется тем же способом, что и в лабораторной работе № 6.
3. Порядок выполнения работы
Работа выполняется в два этапа.
На первом этапе осуществляется статистическое моделирование первой разновидности многоканальной СМО.
На втором этапе осуществляется статистическое моделирование второй разновидности многоканальной СМО, а также аналитическое моделирование. Производится сравнение результатов моделирования двумя способами.
Порядок выполнения первого этапа.
1. На основании алгоритма, приводимого в предыдущей лабораторной работе, разработать
моделирующий алгоритм системы, позволяющий определить следующие характеристики СМО:
- долю обслуженных заявок,
- среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени,
- долю необслуженных заявок,
- среднее время ожидания обслуживания.
Привести блок-схему разработанного алгоритма. (Допускается приведение только нового
фрагмента алгоритма с объяснением его места в алгоритма моделирования одноканальной СМО).
Разработать программу для ЭВМ, реализующую метод статистического моделирования.
Интерфейс такой программы рекомендуется выполнять таким же образом, как и для предыдущей лабораторной работы. При этом в состав исходных данных должно быть добавлено число каналов.
Замечание 1. Допускается при выполнении лабораторной работы разработать программу,
позволяющую учитывать только число каналов, задаваемое в варианте исходных данных.
2. Выполнить моделирование.
Порядок выполнения второго этапа.
1. Разработать моделирующий алгоритм многоканальной СМО с отказами, позволяющий
определить следующие характеристики системы:
- долю обслуженных заявок,
- среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени,
- долю необслуженных заявок.
2. Привести блок-схему алгоритма
3. Разработать программу, реализующую статистическое моделирование для ЭВМ.
4. Выполнить моделирование.
50
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
5. Используя аналитические модели, рассчитать следующие характеристики системы: 1) относительную пропускную способность q , 2) абсолютную пропускную способность A , 3) вероятность
отказа Pотк . 4) среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся в системе) kз
Замечание 2. Аналитические модели могут быть реализованы в составе программы для статистического моделирования.
6. Произвести сравнение результатов моделирования для различных видов моделирования.
Выявить влияние увеличения числа каналов на производительность системы.
4. Порядок сдачи работы.
Процесс сдачи лабораторной работы для обеих разновидностей системы состоит из двух этапов:
1) демонстрация работы программы имитационного (статистического) моделирования.
2) оформление и сдача отчета.
В процессе демонстрации работы программы задаются требуемые параметры законов распределений, рассчитываются значения показателей эффективности системы. Расчеты выполняются
для двух значений длительности интервала моделирования Т.
Должен быть проведен устный анализ результатов моделирования.
5. Содержание отчета.
В отчете для первой разновидности системы должны быть приведены исходные данные, отвечающие варианту задания, приведены копии экрана с диалоговым окном программы, содержащим
исходные данные результаты расчетов.
В приложении должен быть приведен исходный текст программы (достаточно привести “операционную” часть программы).
В отчете для второй разновидности системы должны быть приведены исходные данные, отвечающие варианту задания, приведены копии экрана с диалоговым окном программы, содержащим
исходные данные и результаты расчетов.
Далее должны быть также приведены результаты аналитического моделирования системы и
проведено сравнение значений показателей, полученных различными методами.
Должно быть выявлено влияние увеличения числа каналов на производительность системы.
Должны быть приведены результаты сравнения производительности систем двух видов.
Текст программы аналитического моделирования может не приводиться.
Контрольные вопросы.
1. Как можно проверить правильность полученных результатов статистического моделирования функционирования многоканальной много одноканальной СМО с
отказами на основе результатов ее аналитического моделирования.
2. Какое соотношение между результатами статистического моделирования
должно наблюдаться для двух видов систем.
3. Как можно смоделировать работу системы с отказами на основе алгоритма
(программы) для системы первого вида.
4. Как можно проверить правильность полученных результатов статистического моделирования функционирования многоканальной СМО на основе результатов
моделирования одноканальной СМО (для обеих разновидностей систем).
5. Какие специфические показатели эффективности используются при оценке
эффективности многоканальных СМО.
51
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Лабораторная работа 8
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
методом конечных разностей (методом сеток)
Цель работы. Изучение технологии моделирования на микроуровне с использованием численного метода - метода конечных разностей.
1. Постановка задачи.
Найти непрерывную функцию u(x,y), удовлетворяющую в прямоугольной области D={(x,y)| 0 x
1 , 0 y1} уравнению Лапласа и принимающую на границе области D значения, описывающиеся
кусочно-непрерывными функциями.
Функции, задающее граничное условие Дирихле, представлены следующим функциями одного аргумента:
u(0,y) = f1(y) , y [ 0, 1]
u(1,y) = f2 (y) , y [ 0, 1]
u(x,0) = f3(x), x [ 0, 1]
u(x,1) = f4(x), x [ 0, 1]
Конкретный вид функций f1 - f4 задается повариантно в таблице 8.1.
Решить задачу методом конечных разностей (методом сеток).
2. Указания по выполнению работы.
При решении задачи рекомендуется использование лекционного материала, а также источника [13].
Для решения задачи необходимо дискретизировать область изменения аргументов. Это осуществляется путем построения сетки со следующими характеристиками (едиными для всех вариантов работ): каждая из сторон прямоугольника разбивается на 10 равных частей. В этом случае n=10,
m=10, h=0,1 , l=0,1.
Решение системы линейных алгебраических уравнений может быть произведено любым методом. Рекомендуется использование итерационного метода Либмана.
Для реализации метода Либмана рекомендуется разработать специальную программу для
ЭВМ. (Возможно использование пакета прикладных программ Microsoft Excel).
Замечание. Приведение текста программы в отчете не является обязательным.
При использовании итерационных методов решения системы уравнений следует использовать следующее условие окончания итераций: найденные на двух последовательных итерациях значения функции в узлах не должны отличаться по модулю более, чем на некоторое заданное значение . Такое требование математически формулируется в следующем виде:
max |
u ij( p) u ij( p1)
| ,
i=1…n , j=1…m
где p – номер приближения (номер шага) шага итерационного процесса (p=1,2, …).
Последнее полученное решение принимается в качестве результата решения задачи. Принять = 0,05.
Замечание. В отдельных случаях (при большом числе итераций) допускается использовать
упрощенный вариант условия окончания итераций, состоящий в выполнении определенного заранее
заданного числа таких итераций (например, пяти). Однако при этом должна быть оценено наибольшее значение модуля разности значений функции, достигнутое на последней и предпоследней итерации.
52
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
Таблица 8.1
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
f1(y)
у2
у
е -еу2
-у2 + l
0
еу + (1-е)у2-1
у2
0
2еу – (1+2е)у2 –1
-10у2-8у+ 6
-7у2-5у + 3
-6у2-4у+2
-5у2-3у + 1
-19у2-17у + 15
-2у – 4у2
f2(y)
cosу + (2 —cos1) y
у
у
у
у
cosy(3-cosl) у
y
-y
-10у2+30y+22
-7y2-21y+13
-6y2-18y+10
-5y2-15y + 7
-I9y2-57y + 49
4-12y-4y2
f3(x)
x3
-x3+1
sinx-(1+sin1)x3+1
sinx – x3sin1
0
x3
sinx-x3sin1
-x3+1
9x2+7x+6
6x2 + 4x+3
5x2 + 3x + 2
4x2 +2x+1
18x2 + 16x+15
x+3x2
f4(x)
x+1
x2
x
x
x
2x+l
x2
x-2
9x2-15x-12
6 x2 - 12x - 9
5 x2-11x-8
4 x2-24x-21
18x2 – 24x - 21
-6-9x+3 x2
15
16
17
1
1
1
y+1
y+1
еy
1
1
1
x+1
x2+1
х
е
18
е
у2
y3
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
е
1 у 2
е
х2
5y-у2
3-7у
5- 8у
1-у3
x2
4-y2+5y
7-6у
11-7y
x2+3x
4x+3
6х+5
у2 + 4у
у2
y2 + 4y+4
(1-y)2
х2+3x
x2
у2
у
0
0
-sin у
1
y2+2y
y+e
tgy
siny
sin (1- y)
1 +cosy
x2-x
ex
0
0
sinx
x
ех
2
1
x2-1
x2+3x+4
5x-4
7x-3
x2+3x+5
(x-1)2
х2 +x+1
еx +1
tgx
sinx
sin (х-1)
x +cosx
Результат решения задачи должен быть представлен в виде таблицы, а также графически.
Таблицы должны обязательно включать ячейки, содержащие значения функции во внутренних и граничных узлах сетки.
Технология задания координат или индексов узлов при формировании таблиц может быть
принята различная. Однако она должна давать возможность однозначно идентифицировать положение узлов. (Допускается указывать информацию о структуре таблиц с помощью дополнительных
символов “ручным” способом рядом с таблицами).
Для графического вывода рекомендуется использовать средства построения диаграмм в Microsoft Excel. Сбоку от таблиц может быть “ручным” способом указана дополнительная информация,
позволяющая уяснить ориентацию осей, а также отдельные числовые значения на этих осях.
3. Содержание отчета.
Текст отчета должен содержать две части: постановку задачи и решение задачи.
В первой части должна быть приведена постановка задачи в обще виде (включающая ДУЧП и
краевые условия), а также конкретные значения исходных данных, определяемые вариантом расчетного задания.
Во второй части отчета должны быть приведены этапы решения задачи в соответствии с методом МКР.
При этом обязательно должны быть приведены: 1) характеристики построенной сетки, 2) значения функции в граничных узлах (либо в виде перечня, либо в форме таблицы); 3)общий вид раз53
СТО АлтГТУ 13.62.1.3226-2013
ностного уравнения, используемого для решения задачи (должен быть также оговорен шаблон), 4)
пример четырех разностных уравнений, записанных для выбранных внутренних узлов.
Далее должен быть указан метод решения системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Рекомендуется использование метода Либмана.
При использовании этого метода необходимо сначала описать процедуру получения начального приближения функции во внутренних узлах области.
Далее для иллюстрации использования метода необходимо указывать наборы значений последующих приближений к искомой функции в узловых точках.
Обязательно должны быть указаны значения функции в узловых точках после первого шага
итерационного процесса, а также значения функции на последнем и предпоследнем шагах итерационного процесса. (Если число итераций не превышает десяти, то желательно представление результатов всех итераций).
Для представления этих значений необходимо, прежде всего, использовать таблицы (или
табличные формы выдачи результатов вычислений на ЭВМ). Таблицы должны содержать информацию, позволяющую соотносить вычисляемые значения функции в узлах с точками на осях координат
(допускается добавление такой информации на распечатку таблицы “ручным” способом).
Рекомендуется сопровождать таблицы построением графических трехмерных представлений
изменяющейся функции двух аргументов на отдельных этапах итерационного процесса. На таких
представлениях должны быть указаны оси координат (координаты могут быть “дорисованы” и “дооцифрованы” “вручную” на машинных формах вывода графической информации).
Результат решения задачи должен быть представлен в виде таблицы, содержащей набор
«приближенных» значений искомой функции в узлах сетки. Данные таблицы должны быть соотнесены с узловыми точками на осях координат. Необходимо графическое представление результата.
Контрольные вопросы.
1. Сформулируйте задание на лабораторную работу как краевую задачу.
2. В чем состоит процесс моделирования.
3. Что является решением задачи.
54
