Занятие 8 Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям

Занятие 8
Решение показательных уравнений,
приводящихся к квадратным уравнениям
Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному
уравнению вида: ax2+bx+c=0.
Примеры.
Решить уравнение:
1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.
(22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели
перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
(2x)2+2∙2x-3=0;
вводим новую переменную: пусть 2x=y;
y2+2y-3=0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный
квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только
положительные числа).
2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2x=20;
x=0.
Ответ: 0.
2) 0,252x-5∙0,52x+4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,252x— в виде степени с
основанием 0,5.
(0,52)2x-5∙0,52x+4=0;
(0,52x)2-5∙0,52x+4=0.
0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y2-5y+4=0;
Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему
Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1,
y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,52x=0,50;
2x=0;
x=0.
2) 0,52x=4; приведем степень 0,52x к основанию 2, применив формулу: (1/a)x =а-х
(1/2)2x=22;
2-2x=22; приравниваем показатели:
— 2x=2 |:(-2)
x=-1. Ответ: -1; 0.
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: ах=1/ax и ax∙ay=ax+y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и
приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и
упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является
квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма
корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.