− + <

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов,
составляющих решение неравенства
x 2 + ( 2a 2 + 6 )x − a 2 + 2a − 3
<0
x 2 + ( a 2 + 7 a − 7 )x − a 2 + 2a − 3
не меньше 1.
Хотя задачка и с мехмата, но решение ее будет достаточно коротким.
Сначала два важных факта из условия. Если внимательно посмотреть на последний коэффициент
квадратичных функций, стоящих в числителе и знаменателе, вспомнить про теорему Виета, то
видим, что, во-первых, произведение корней числителя и знаменателя одинаковые.
Во-вторых, эти произведения отрицательные, т.к. − a + 2 a − 3 < 0
(отрицательный дискриминант).
2
при любом а
Чтоб проиллюстрировать результат этих двух открытий, предположим, что корни числителя равны
x1 и x 2 , а знаменателя - x3 и x4 .
Пусть x1 < 0 < x 2 и x 3 < 0 < x 4
Тогда если x 3 < x1 , то и x 4 < x 2 , а если x1 < x 3 , то и x 2 < x 4 из-за равенства произведений
корней. Таким образом, длины промежутков, являющихся решениями неравенства должны
удовлетворять условию x1 − x 3 + x 2 − x 4 ≥ 1
В соответствии с вышесказанным имеем два случая раскрытия модулей
⎡− 2 a 2 − 6 + a 2 + 7 a − 7 ≥ 1
⎡a 2 − 7 a + 14 ≤ 0
⎡ x1 − x 3 + x 2 − x 4 ≥ 1
→ ⎢ 2
⎢x − x + x − x ≥ 1 → ⎢ 2
2
⎢⎣2a + 6 − a − 7 a + 7 ≥ 1
⎢⎣a − 7 a + 12 ≥ 0
1
4
2
⎣ 3
Первое неравенство совокупности не имеет решений, а решение второго и будет ответом
a ∈ (− ∞;3] ∪ [4 ; ∞ )