Образец по сопромату №2

Вариант 5
Задача №1.
Стальной стержень (Е = 2·105 МПа) находится под действием силы
Р 1 =90кН, Р 2 =120кН, Р 3 =110кН, А 1 =16см 2 , А 2 =8см2 , А 3 =110см2 Материал
стержня – ст50
Решение:
Выбираем положительное направление оси z, показанное на рисунке.
Разобьем стержень на участки. Границы участков определяются сечениями, в
которых изменяются размеры поперечных сечений или приложены нагрузки. В
данном случае стержень имеет четыре участка.
Рассмотрим уравнения равновесия сил ΣN = 0.
z
Участок I: -N + Р 3 = 0 ; N = Р 3 = 110 kH
I
I
Участок II: -N + Р 3 – Р 2 =0; N = Р 3 – Р2 = -10 kH.
II
II
Участок III:-N + Р 3 – Р 2 =0; N = Р 3 – Р 2 = -10 kH.
III
III
Участок IV:-N + Р 3 –Р 2 –Р 1 =0; N =Р 3 –Р 2 –Р 1 = -100kH=R (реакция заделки)
III
III
A
Таким образом, участок I, растягивается (значения N получены со знаком
плюс), а участки II, III,IV сжимаются. В пределах каждого участка внутренние
силы остаются постоянными и изменяются скачкообразно на границах участков,
где приложены внешние силы. В соответствии с полученными данными строим
эпюру продольных сил.
Минимально допускаемые площади сечения стержня на i-ом участке
определяются по формуле
𝑁𝑖
𝑆𝑖 =
[𝜎]
1
где 𝑁𝑖 – продольная сила на i-м участке определяется из эпюры продольных
сил; [σ] – допускаемое напряжение, определяемое по формуле
[𝜎 ] = 160МПа
[𝜎] = { р
[𝜎с ] = 160МПа
Минимальные площади сечения составляют:
𝑁1 110 ∙ 103
𝑆1 =
=
= 6,9 см2
[𝜎]
160
𝑁2 10 ∙ 103
𝑆2 =
=
= 0,6 см2
[𝜎]
160
𝑁3 10 ∙ 103
𝑆3 =
=
= 0,6 см2
[𝜎]
160
𝑁3 100 ∙ 103
𝑆4 =
=
= 6,3 см2
[𝜎]
160
Используем ступенчатый равнопрочный стержень площади сечения:
2
1) на первом участке: 7 см ,
2
2) на втором участке: 1 см ,
2
3) на третьем участке: 1 см .
2
4) на четвертом участке: 7 см .
Однако с технологической точки зрения целесообразно изготовить этот
стержень постоянного сечения с максимальной площадью (из полученных
2
минимальных площадей), равной 7 см . При этом на третьем и втором участках
напряжения будут заведомо ниже допускаемых, и при этом одновременно будет
достигаться экономия материала от уменьшения исходного сечения стержня.
Рассчитываем нормальные напряжения на этих участках. Для удобства
6
6
2
расчетов напряжений используем переходные выражения: 1МПа = 10 Па =10 Н/м
2
2
2
= 1Н/мм = 0,1кН/см или иначе говоря: 1кН/см = 10МПа.
𝑁1
110
𝜎1 =
= 10
= 138 МПа
А2
8
𝑁2
−10
𝜎2 =
= 10
= −0,9 МПа
А3
110
𝑁3
−10
𝜎3 =
= 10
= −6,3 МПа
А1
16
𝑁3
−100
𝜎4 =
= 10
= −62,5 МПа
А1
16
В соответствии с полученными данными строим эпюру нормальных
напряжений.
2
Находим перемещение каждого участка бруса и его свободного конца,
начиная с IV участка:
𝑁4 𝑙4 𝜎4 𝑙4 −62,5 ∙ 0,8
∆𝑙4 =
=
=
= −25 ∙ 10−5 м = −0,25 мм
5
𝐸𝐹
𝐸
2 ∙ 10
∆𝑙𝐼𝑉 = 0 + ∆𝑙4 = −0,25 мм
∆𝑙3 =
𝑁3 𝑙3 𝜎3 𝑙3 −6,3 ∙ 0,5
=
=
= −1,6 ∙ 10−5 м = −0,016 мм
5
𝐸𝐹
𝐸
2 ∙ 10
∆𝑙𝐼𝐼𝐼 = ∆𝑙4 + ∆𝑙3 = −0,266мм
∆𝑙2 =
𝜎2 𝑙2 −0,9 ∙ 0,8
=
= −0,36 ∙ 10−5 м = −0,004 мм
5
𝐸
2 ∙ 10
∆𝑙𝐼𝐼 = ∆𝑙𝐼𝐼𝐼 + ∆𝑙2 = −0,27 мм
∆𝑙1 =
𝜎1 𝑙1 138 ∙ 0,5
=
= 34,5 ∙ 10−5 м = 0,345 мм
5
𝐸
2 ∙ 10
∆𝑙𝐼 = ∆𝑙𝐼𝐼 + ∆𝑙1 = 0,075 мм
В соответствии с полученными результатами строим эпюру удлинения
стержня. Полное удлинение стержня составляет ∆𝑙п = 0,075 мм, т.е. стержень под
действием нагрузок растягивается.
3
Задача № 2.
Абсолютно жесткие балки СЕ и DF соединены между собой и с опорой В
деформируемыми стальными стержнями СD и АВ. Определить поперечные
сечения стержней СД и АВ.
Р 1 =20кН,а=15м
Решение:
Не все исходные данные:
- неизвестно где т.С и т.Д
- чему равна b
- чему равно d
- чему равна q
4
Задача № 3.
Абсолютно жесткий недеформируемый брус АВ опирается на шарнирнонеподвижную опору и удерживается в равновесии двумя деформированными
стальными стержнями. Выполнить расчет на прочность стальных стержней.
Р=50кН, l1=Lм, А1=3Асм2, l2=2Lм, А2=Асм2,
Решение:
1.Определение опорных реакций.
Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным.
Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего
приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP =0).
x
x
Откуда R =0.
a
Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А
(ΣM =0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть
a
балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв
уравнение моментов, получим:
−аР + 3а𝑁2 = 0
аР Р
= = 16,7кН
3а 3
Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y
(ΣP =0), найдем 𝑁1 :
𝑁2 =
y
𝑁1 − Р + 𝑁2 = 0
𝑁1 = Р − 𝑁2 = 33,3 кН
5
Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных
реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно
произвольной точки, например С:
−2а𝑁1 + аР + а𝑁2 = −66,6а + 50а + 16,6а = 0
Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены
верно.
Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее
нагрузками.
2. Построение эпюр.
3. Определение размеров поперечного сечения балки.
Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее
опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой Е.
Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного
сечения:
М𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑥 ≥
[𝜎]
3
33,3 ∙ 10
𝑊𝑥 ≥
= 20,8 см3
160 ∙ 106
Для балки:
• круглого поперечного сечения:
𝜋𝑑 3
𝑊𝑥 =
32
3 32𝑊
3 32 ∙ 20,8
𝑥
𝑑=√
=√
= 6см
𝜋
3,14
𝜋𝑑 2
𝑆=
= 28,3 см2
4
6
Задача № 4.
Приведена схема трансмиссионного вала с насаженными шкивами: один из них
ведущий, остальные ведомые. К шкивами приложены пары сил. Вал вращается
равномерно.
Исходные данные:
l1=0,3м; l2=0,5м; l3=0,6м; М1=12кНм; М2=6кНм; М3=18кНм; [τ]=45МПа
Решение:
Из условия равновесия ΣM =0 находим крутящий момент M :
x
0
- M + M - M - M = 0;
1
0
2
3
M = M + M + M = 12+6+18 = 36 кНм.
0
1
2
3
Знак этого момента положительный – значит, стрелка момента М изображена
0
правильно.
Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты в произвольном
сечении каждого из участков бруса, по направлению слева направо.
Участок I. Условие равновесия: M = - M = -12кНм.
K
1
Участок II. Условие равновесия: - M + M - M = 0, отсюда M = - M + M = 1
0
K
K
1
0
12 + 36 = 24 кНм,
Участок III. Условие равновесия: - M + M - M – M = 0, отсюда M = - M +
1
M – M = -12 + 36 - 6= 18 кНм,
0
2
7
0
2
K
K
1
По полученным данным строим эпюру M , из которой видно, что участок II
K
вала является наиболее опасным, так как в его поперечных сечениях крутящий
момент по абсолютному значению имеет максимальную величину: M =24кНм.
K
2. Определяем диаметр бруса. Из условия прочности имеем
𝜏=
Мк 16Мк
=
≤ [𝜏]
𝑊𝑝
𝜋𝑑 3
откуда
3
3 16М
16 ∙ 24
к
𝑑=√
=√
= 0,0140м = 14мм
𝜋[𝜏]
3,14 ∙ 45 ∙ 106
3.Округляем значение диаметра до стандартного большего размера и
окончательно принимаем d =14 мм.
При этом полярные моменты сопротивления и инерции определятся
соответственно:
3
.
.
-2 3
-6 3
W ≈0,2d =0,2 (1,4 10 ) = 0,55.10 м ;
P
4
.
.
-2 4
-8 4
J ≈0,1d =0,1 (1,4 10 ) =0,38.10 м .
P
5. Вычисляем величины касательных напряжений, возникающих в
поперечных сечениях отдельных участков бруса:
Участок I:
М1к
−12
1
𝜏 =
=
= −21,8МПа
𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6
Участок II:
М2к
24
2
𝜏 =
=
= 43,6 МПа
𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6
Участок III:
М3к
18
3
𝜏 =
=
= 32,7 МПа
𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6
Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан
лишь для достижения соответствия эпюр τ и M . Все значения касательных
K
напряжений не превышают допускаемого (τ < [τ] = 45 МПа), следовательно,
диаметр вала по условию прочности подобран правильно.
При W =const касательные напряжения прямо пропорциональны крутящему
P
моменту M , поэтому эпюры τ и M подобны и отличаются только масштабом.
K
K
6. Углы поворота поперечных сечений бруса на различных его участках
относительно неподвижного сечения О определяем по формуле
8
Мк 𝑙
𝐺𝐽𝑝
где l – длина участка, для которого определяется угол поворота.
М
В пределах между границами участков при к = const величины углов
𝜑=
𝐺𝐽𝑝
поворота изменяются по линейному закону.
Жесткость поперечного сечения рассчитываемого вала:
4
6
-8 4
2
GJ =8⋅10 ⋅10 Па.31,1.10 м = 24880 Нм .
P
Определяем углы поворота сечений вала по его участкам:
1) участок АВ:
Мк 𝑎 −12 ∙ 0,5
𝜑𝐴𝐵 =
=
= −0,0002рад = −0,2°
𝐺𝐽𝑝
24880
2) участок ВС:
Мк 𝑏 24 ∙ 0,5
𝜑ВС =
=
= 0,0005рад = 0,3°
𝐺𝐽𝑝
24880
3) участок CD:
Мк 𝑐 18 ∙ 0,6
𝜑𝐶𝐷 =
=
= 0,0003рад = 0,2°
𝐺𝐽𝑝
24880
Определяем абсолютные углы поворота сечений вала:
1) 𝜑𝐴 =0
2) 𝜑𝐵 = 𝜑𝐴 + 𝜑𝐴𝐵 = 0 − 0,2 = −0,2°
3) 𝜑𝐶 = 𝜑𝐵 + 𝜑𝐵𝐶 = −0,2 + 0,3 = 0,1°
4) 𝜑𝐷 = 𝜑𝐶 + 𝜑𝐶𝐷 = 0,1 + 0,2 = 0,3°
По полученным данным построена эпюра 𝜑 .
Относительные углы поворота сечений определяются по формуле
𝜑𝑖
М𝑖
𝜃𝑖 =
=
𝑙𝑖
𝐺𝐽𝑝
При GJ = const относительный угол поворота Θ прямо пропорционален
P
крутящему моменту M и, следовательно, эпюры Θ и M подобны.
Определяем относительные углы поворота сечений вала:
Участок I:
𝜑𝐴𝐵 −0,2
𝜃1 =
=
= −0,4 град/м
𝑎
0,5
Участок II:
𝜑𝐵𝐶 0,1
𝜃2 =
=
= 0,2 град/м
𝑏
0,5
Участок III:
9
𝜑𝐶𝐷 0,3
град
=
= 0,5
𝑐
0,6
м
Проверяем полученные углы поворота поперечных сечений на условие
жесткости вала:
θ ≤ [θ] = 1 град./м
𝜃3 =
i
Если это условие не выполняется, то определяется допустимый диаметр вала,
исходя из условия жесткости, в нашем случае выполняется
10
Задача 5
Приведена схема нагружения стальных балок, все действующие силы лежат
в одной плоскости, проходящей через ось балки и вертикальную ось поперечных
сечений. Балка считается невесомой. Известно: q = 15кН/м; Р = 30кН; М =
25кНм; [σ] = 160 МПа. Подобрать двутавровую балку.
1. Определение опорных реакций.
Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным.
Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего
приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP =0).
x
x
Откуда R =0.
a
Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А
(ΣM =0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть
a
балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв
уравнение моментов, получим:
−0,5Р − 0,25 ∙ 0.5𝑞 + 6,5𝑅с − 6,75 ∙ 0.5𝑞 − 𝑀 = 0
0,5Р + 0,25 ∙ 0.5𝑞 + 6,75 ∙ 0.5𝑞 + 𝑀
= 14.2кН
6,5
Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y
(ΣP =0), найдем R :
𝑅с =
y
A
𝑅𝑎 − Р − 2 ∙ 0.5𝑞 + 𝑅с = 0
𝑅𝑎 = Р + 2 ∙ 0.5𝑞 − 𝑅с = 30 + 2 ∙ 0.5 ∙ 15 − 14.2 = 30.8кН
Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных
реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно
произвольной точки, например C:
−6,5𝑅𝑎 + 6Р + 6,25 ∙ 0.5𝑞 − 0,25 ∙ 0.5𝑞 − 𝑀 = −200.2 + 180 + 47 − 1.8 − 25 = 0
Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены
верно.
Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее
нагрузками.
2. Построение эпюр.
11
Балку разделим на четыре участка АВ, ВС, СD. На участках АВ, ВС
построение эпюр ведем от сил слева, а на участке СD – от сил справа от сечения.
Участок АВ (0 ≤ x ≤ 0,5м)
Q = R – qx
A
При x=0 Q= 30.8 кН; при x=0.5 Q= 23.3 кН
M = -R x + 0.5qx2-M
A
При x=0 M=-25kHм; при x=0.5м М= -38,5 кНм
Участок BC (0.5м ≤ x ≤ 6.5м):
Q = R – P – 0.5q =-6,7
А
M = -R x + 0.5q(x-0.25) + P(х-0.5) -M
A
При x=0.5 M = -38,5; при x=6.5 M = 1,8 кНм.
Участок CD (0м ≤ x ≤ 0.5м):
Q = qx
При x=0 Q= 0 кН; при x=0.5 Q= 7.5 кН
M = 0.5qx2
При x=0 M=0; при x=0.5м М= 1,8 кНм
Построение эпюры производим непосредственно под рисунком схемы балки с
действующими нагрузками.
3. Определение размеров поперечного сечения балки.
Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее
опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой E.
Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного
сечения:
М𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑥 ≥
[𝜎]
3
38,5 ∙ 10
𝑊𝑥 ≥
= 24,1 см3
160 ∙ 106
Для балки:
• сечения из двутавра: из таблицы сортамента выбираем двутавр № 10 ,
имеющий параметры:
3
W =39,7 см
x
12
13