решение задач

Рисунок 1.2 - Расчетные схемы
Исходные данные: F=28 kH; q = 3,5 кН/м; m=3,5 кH  м ; l=3,5м; a=1 м;   30 0 ;
b=2м.
Решение:
1 Рассматриваем равновесие балки. Проведём координатные оси x, y и
изобразим действующие на балку силы и реакции опор.
2 Для определения FAY составим уравнение суммы моментов относительно
опоры В:
_
 m B (Fi )  0 ;
 FAY    m  F sin  (  a)  q  b(  a  b / 2)  0 ,
откуда
FAY 
m  F sin  (  a)  q  b(  a  b / 2) 5  10  sin 60 0  (10  4)  8  4(10  4  4 / 2)

 18,5кH
l
10
.
3 Для определения FBY составим уравнение суммы моментов относительно
опоры А:
_
 m A ( Fi )  0 ;
FBY    q  b(a  b / 2)  F sin   a  m  0 .
0
Откуда FBY  q  b(a  b / 2)  F sin   a  m  8  4(4  4 / 2)  10  sin 60  4  5  22,2кH .
l
10
4 Для определения FBZ составим уравнение суммы проекций на осьZ х:
 Fi  0 ,  FBZ  F  cos  0
Если значения реакций опор получаются со знаком "-", значит их
направления противоположны первоИсходные данные
начальным.
Откуда FBX  F  cos  10  cos 600  5 кH .
5 Проверка:
F
iy
 0 , FAY  FBY  F sin   q  b  0 , 18,5+22,2-8,7-32=0
0=0.
Задание 2
Центральное растяжение и сжатие прямых стержней переменного
сечения
Для стального ступенчатого стержня (Рисунок 2.1), находящегося под
действием сил Fi, приложенных в осевом направлении, требуется:
1) построить эпюры нормальных сил N, нормальных напряжений ;
2) определить его полное удлинение (укорочение) l.
Исходные данные в таблице 2.1
F1=18 kH
F2=28 kH
F=26 kH
Площадь сечения А=12∙10-4 м2
Длина участка а=1,3 м,
Е=2∙105МПа
Рисунок 2.2 - Расчетная схема
1. Определяем реакции опоры
FX=0;
HA-2F3-F2+2F1=0;
HA=2F3+F2-2F1=52+28-36=44 kH;
HA=44kH;
2. Развиваем брус на участки и методом сечений определяем продольные
силы и напряжения на участках
Сечение 1
∑FX=0;
-N1+HA=0; N1=HA=44kH;
N1=44kH;
HA
N1
σ1=
2F1
N2
HA
N1
44 *103
=18,3 МПа;

2A
2 *12 *10 4
Сечение 2
∑FX=0;
-N2+2F1+HA=0;
N2=2F1+HA=36+44=80kH;
σ2=
N3
F2
HA
2F1
A
N2
80 *10 3

 33,3МПа;
2A 2 *12 *10 4
Сечение 3
∑FX=0;
-N3-F2+2F1+HA=0;
N3=2F1+HA-F2=36+44-28=52kH;
N 3 52 *10 3
σ3=

 43,3 МПа;
A 12 *10 4
I участок: 0  Z1  a
 l1=
N1 Z 1
 0
44 *10 3 * Z1


, ìì
4
4
2 AE 2 *12 *10 * 2 *10
0,11
II Участок: 0  Z 2  a
 l2=  l1+
 0,11
N2 X 2
80 *10 3 * X 2
 1,19 

, ìì
4
11
2 AE
2 *12 *10 * 2 *10
0,28
III участок: 0  Z 3  a
 l3=  l2+
52 *10 3 * Z 3
0,28
N 3Z 3
 3,35 

, ìì
4
11
EA
12 *10 * 2 *10
0,85
Полное перемещение бруса l =0,85 мм
Рисунок 2.3 - Эпюры
Задание 3
Расчет на кручение круглых стержней
Для стального вала (рисунок 3.1), один конец которого условно
принят защемленным, при выбранных исходных данных требуется:
1) найти через известные
скручивающие моменты mi;
мощности
Pi
соответствующие
2) найти неизвестный момент Т4 из условия равенства нулю угла
поворота свободного конца вала;
3) построить эпюру крутящих моментов T;
4) подобрать круглое сечение из условий прочности;
5) построить эпюры
сечения;
углов поворота  по длине вала круглого
Исходные данные в таблице 3.1.
Рисунок 3.1 - Расчетные схемы
№
п\п
P1
P2
P3
Длины участков, м
a
b
c
Допускаемые
напряжения, [],
МПа
Мощность, кВт
Угловая скорость ,
рад/с
рад\с
Таблица 3.1
10
50
30
40
0.7
0.5
0.6
60
60
Пример решения задания 3
Рассмотрим пример расчета вала
Для стального вала требуется:
1.Найти через известные мощности Рi,, сответствующие скручивающие
моменты mi;
2.Найти известный момент mA из условия равенства нулю угла закручивания
свободного конца вала;
3.Построить эпюру крутящих моментов Мк;
4.Подобрать круглое сечение из условия прочности;
5.Построить эпюру углов поворота .
Решение:
Заданная схема показана на рисунке 4.2.
1
Определяем скручивающие моменты:
T1  1,02 
 1,02 
P2
 1,02 

T2  1,02 
T3  1,02 
P1

100
 2,91 кНм ;
35
60
 1,75 кНм ;
35
40
 1,17 кНм .
35
2 Значение неизвестного момента mA найдем из того условия, что угол
закручивания свободного конца вала равен нулю, т.е. А=0. Для удобства
счета разобьем этот угол на составляющие, зависящие от каждого
скручивающего момента, т.е. φА = φТА + φТ1 + φТ2 + φТ3 = 0 ,
где φТА - угол поворота концевого сечения от действия только
момента ТА,
φТ1- то же, но от действия только момента Т1;
φТ2 - от действия только момента Т2;
φТ3 - от действия только момента Т3;
т.е.
А  
Т А ( 2 а  b  c ) Т1 ( а  b  c ) Т 2 ( а  c ) Т 3 а



0
GI P
GI P
GI P
GI P
Подставив числовые значения, после преобразований, получим
ТA = 1,57 кНм
3 Пользуясь методом сечений, определяем величины крутящих моментов
на отдельных участках вала.
Участок 1 0 ≤Z1≤ а;
ТK1= +ТА = +1,57 кНм
Участок 2 0 ≤ Z2 ≤ b;
ТК2= ТА –Т 1 = 1,57 - 2,91 = -1,34кНм
Участок 3 0 ≤ Z3 ≤с;
ТK3 = ТА –Т 1 + Т 2 = 1,57 - 2,91 +1,75 = 0,41кНм
Участок 4 0 ≤ Z4 ≤а;
ТК4 = ТА –Т 1 + Т2 – Т3 = 1,57 - 2,91 +1,75 -1,17 = -0,76кНм
По полученным значениям крутящих моментов строим эпюру Tк .
4 Определим диаметр вала из условия прочности по максимальному
крутящему моменту
 max 
max Т K
   ,
W
где W=0,2 D3
Тогда
D3
max Т K
=
0,2 
3
1,57  10 5
=6,4 см=64 мм округляя до стандартного,
0,2  30
получаем
D=65 мм
5 Вычислим углы поворота «»

ÒK  z
G  I
Участок 1: 0  z1  а=1 м
1 
ÒK 1  z1
;
G  I
z1=0
z1=1,0 м
1=0
1 
1.57  10 6  100
 0,0109 рад.
8  10 4  0.1  (65) 4
Участок 2: 0  z2  в=0,8 м
 2  1 
z2=0
ÒK 2  z 2
G  I
z2 = в=0,8 м=80 см
2=1=0,0109 рад
 2  109,33  10 4 
1,34  10 4  80
 34,68  10 4 рад.
5
4
8  10  0,1  (6,5)
Участок 3 0  z3  0,6 м
3   2 
z3=0;
ÒK 3  z 3
;
G  I
z3  с=0,6 м
3=2=34,6810-4 рад;  3  34,68  10 4 
0,41  10 4  60
 51,18  10 4 рад.
8  10 5  0,1  (6,5) 4
Участок 4 0  z4  а=1,0 м=100 см
 4  3 
z4=0;
ÒK 4  z 4
;
G  I
z4=100 см;
4=3=51,1810 рад;  4  51,18  10
-4
4
0,76  10 4  100

0
8  10 5  0,1  (6,5) 4
По полученным значениям I строим эпюру углов поворота «» (рисунок
4.2).
Задание 4
Плоский изгиб балочных систем
Для заданной балки (рисунок 4.1) требуется:
1) построить эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М;
2) подобрать;
- для балок с 1 по 6 схемы – из сортамента двутавровое сечение,
материал балки – сталь []=160 МПа;
- для балок с 7 по 12 схемы – круглое сечение, материал балки –
дерево []=10 МПа;
- для балок с 13 по 18 схемы - прямоугольное сечение с отношением
сторон h:b=2, материал - сталь []=160 МПа;
Исходные данные в таблице 4.1
Пример решения задания 4
Расчетная схема:
Исходные данные:
а=2 .м; b= 4 м;  =10 м; с = 2 м;
M  8 kH  м ; F=12 кН; q=16 кН/м;
[]  160 МПа ;
поперечное сечение балки
Решение:
1 Определим опорные реакции
 mB  0, FA  F (a  )  M  qв 2 / 2  0.


FA  F  (a  )  M  (q  b 2 / 2) /  
 (12  12  8  16  8)/ 10  26,4 kH ;
F
iy
 0 FA  FB  q  4  F  0 ,
FB  12  16  4  26,4  49,6 kH .
2 Разбиваем балку на участки, границами которых являются сечения, где
приложены сосредоточенные силы и моменты, а также сечения, где
начинается или кончается действие распределённой нагрузки. По этому
принципу балка разбита на 4 участка.
3 Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Согласно методу сечений
Q   Fiy , M x   mx( Fi ) ,
где суммирование ведётся по всем нагрузкам, приложенным к
рассматриваемой части бруса. При этом сила считается положительной, если
вращается относительно сечения по часовой стрелке; момент считается
положительным, если изгиб балку вверх.
I участок: 0  Z1  a  2 м.
Q1= -F = -12 kH; M1 = -FZ1;
Z1=0, M1=0; Z1=a, M1= -12*2= -24 kHм.
II участок: 2  Z 2  4.
Q2 = -F+FA = -12+26,4 = 14,4 kHм;
M2 = -FZ2 + F2(Z2-2);
Z2 = 2м, М2 = 24 кНм; Z2 = 4 м, М2 = 4,8 кНм.
III участок: 4  Z 3  8.
Q3 = -F + FA = 14,4 kH; M3 = -FZ3 + F(Z3 - 2) + M;
Z3 = 4, M3 = -12*4 + 26,4*2 + 8 = 12,8 kHм.
Z3 = 8, M3 = -12*8 + 26,4*6 + 8 = 70,4 kHм.
IV участок: 0  Z 4  в  4 м.
Q4 = -FB + qZ4; M4 = FBZ4 – qZ24 / 2;
Z4 = 0: Q4 = -49,6 kH, M4 = 0;
Z4 = 4: Q4 = -49,6 + 16*4 = 14,4 kH, M4 = 49,6*4 – 16*16/2 = 70,4 kHм.
На этом участке Q меняется линейно, а момент – по закону параболы. Там,
где Q = 0, момент достигает максимума. Из условия Q4 = 0 находим
Z0 = FB/q = 49,6/16 = 3,1 м,
Мmax= 49,6 *3,1 – 16*3,12/2 = 76,88 kHм.
По полученным данным строим эпюры Q и Mx.
4 Из условия прочности
 max 
M max
   .
Wx
Определяем размеры поперечного сечения.
При h = 2в имеем
Wx = вh2/6 = 2в3/3.
Подставив в условие прочности, находим
в3
3M max
3 * 76,88
3
 0,09 м .
2 
2 * 160 * 10 3
Тогда:
h = 2в = 0,18м.