2. Содержание дисциплины - Пермский государственный
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Программа курса по дисциплине Направление подготовки: 050100.62 – Педагогическое образование Профиль подготовки: Информатика Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр Пермь ПГГПУ 2013 1. Цель и задачи освоения учебной дисциплины Курс математического анализа и дифференциальных уравнений входит в систему учебных курсов, позволяющих получить высшее образование по направлению подготовки 050100 – Педагогическое образование (профиль «Информатика»). Цели и задачи изучения данной дисциплины соотносятся с общими целями ФГОС ВПО для обеспечения фундаментальной подготовки студентов. Цель дисциплины – сформировать систематические знания о понятиях, закономерностях, методах математического анализа и теории дифференциальных уравнений, представления об их фундаментальном, мировоззренческом и прикладном значении, месте и роли в системе математических наук и приложениях в естественных, технических, гуманитарных науках, а также в школьном курсе математики и информатики. Достижение данной цели предполагает решение следующих задач: – формирование общих представлений об основных понятиях, идеях, теориях, методах математического анализа и теории дифференциальных уравнений как теоретического фундамента для освоения математических и других вузовских дисциплин профессионального цикла и как составной части общей математической культуры; – использование языка и методологического аппарата математического анализа и теории дифференциальных уравнений в соответствии с принятыми в нем требованиями в качестве универсальных средств науки; – создание полноценной системы представлений о современных направлениях развития математического анализа и теории дифференциальных уравнений, а также их прикладных аспектах; – формирование устойчивых технологических и технических навыков решения различных задач курса математического анализа и теории дифференциальных уравнений, в том числе – с практическим содержанием; – научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа». В результате изучения дисциплины студент должен знать: - основные понятия математического анализа и теории дифференциальных уравнений; - основные свойства и теоремы; основные методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными; уметь: - находить производные и интегралы функций; - определять основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными; - применять основные методы теории дифференциальных уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными; - применять методы математического анализа и теории дифференциальных уравнений к решению задач, в том числе с практическим содержанием; иметь представление: - о взаимосвязи обратных операций интегрирования и дифференцирования, их роли в моделировании процессов и явлений реального мира; - о современных направлениях развития и приложениях теории дифференциальных уравнений; - о корректности постановки задач математической физики, связанных с решением дифференциальных уравнений; - о способах представления простейших дифференциальных уравнений в средней школе; 1 владеть: - основными методами математического анализа и теории дифференциальных уравнений для решения математических задач и проблем из различных естественнонаучных областей, которые требуют некоторой оригинальности мышления; - умением переноса математических результатов в нематематические контексты; - элементами логики и абстракции, включая умение устанавливать связи между математическими фактами, методами, теориями; - способами поиска аналитического метода решения дифференциальных уравнений, выявления особых и нахождения частных решений, способен осознавать необходимость корректности постановки задач математической физики; - основными методами интегрирования и дифференцирования функций в рамках применения их к решению дифференциальных уравнений; способен применять методы алгебры, элементарной математики и аналитической геометрии для преобразования выражений в процессе решения дифференциальных уравнений, построения интегральных кривых, способен выделять дифференциальные уравнения среди многообразия других уравнений. 2. Содержание дисциплины 2.1. Программа дисциплины Раздел 1. Введение в математический анализ Тема 1.1. Предварительные сведения о математическом анализе. Действительные числа Основные (ключевые) понятия: действительные, натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, абсолютная величина действительного числа. Содержание темы Предмет математического анализа. Исторические сведения. Связь со школьным курсом математики. Действительные числа и их свойства. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Сложение, умножение и сравнение действительных чисел. Аксиома непрерывности. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями и изображение действительных чисел на прямой. Тема 1.2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные границы Основные (ключевые) понятия: числовые множества (интервалы, отрезки, промежутки и др.), верхняя и нижняя грани числового множества, точные границы. Содержание темы Примеры числовых множеств: интервалы, отрезки, промежутки и др. Ограниченные и неограниченные множества. Неограниченность сверху множества натуральных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема существования верхней и нижней граней. Свойства верхних и нижних граней числовых множеств. Раздел 2. Предел последовательности и предел функции Тема 2.1. Определение предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности Основные (ключевые) понятия: предел последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности. Содержание темы Задачи, приводящие к понятию предела последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Ограниченные и неограниченные последовательности. Тема 2.2. Некоторые свойства последовательности 2 Основные (ключевые) понятия: свойства последовательности. Содержание темы Ограниченность сходящейся последовательности. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства предела последовательности; теоремы о пределе суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число е. Теорема Кантора. Подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Использование предела последовательности для измерения геометрических величин в школьном курсе математики. Тема 2.3. Числовые функции. Способы задания и график функции. Операции над функциями Основные (ключевые) понятия: функция, числовая функция, график, композиция функций, обратная функция. Содержание темы История возникновения и развития понятия функции. Числовые функции. Способы задания и график функции. Арифметические операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Тема 2.4. Классификация функций по свойствам. Основные элементарные функции Основные (ключевые) понятия: монотонные, периодические, четные и нечетные функции, основные элементарные функции. Содержание темы Монотонные функции. Периодические функции. Четные и нечетные функции. Основные элементарные функции. Степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателями. Определение степени с действительным показателем. Показательная функция и ее свойства. Логарифмическая функция и ее свойства. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Тема 2.5. Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Основные (ключевые) понятия: точки прикосновения и предельные точки множества, предел функции, бесконечно малые и бесконечно большие функции. Содержание темы Задачи, приводящие к понятию предела функции. Определение предела функции. Примеры. Предел функции по Гейне. Расширение понятия предела функции на бесконечно удаленные точки. Пределы функции слева и справа. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми. Тема 2.6. Арифметические свойства предела функции. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной функции. Теорема о пределе композиции Основные (ключевые) понятия: свойства предела функции. Содержание темы Арифметические свойства предела функции. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной функции. Теорема о пределе композиции Тема 2.7. Предел по множеству. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции Основные (ключевые) понятия: предел по множеству, односторонние пределы, асимптоты графика функции. Содержание темы 3 Предел по множеству. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции Тема 2.8. Замечательные пределы Основные (ключевые) понятия: первый замечательный предел, второй замечательный предел. Содержание темы Предел отношения синуса к аргументу, стремящемуся к нулю. Показательно-степенная функция. Пределы, связанные с числом е. Раздел 3. Непрерывность функции Тема 3.1. Определение непрерывности функции. Точки разрыва и их классификация Основные (ключевые) понятия: непрерывность функции в точке и на множестве, разрыв первого и второго рода, равномерная непрерывность. Содержание темы Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Примеры непрерывных и разрывных функций. Точки разрыва и их классификация. Точки разрыва монотонной функции. Свойства непрерывных функций; непрерывность суммы, произведения, частного и композиции. Теорема о непрерывности обратной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, теоремы об ограниченности и о наибольшем и наименьшем значениях. Равномерная непрерывность функции на множестве. Примеры равномерно и неравномерно непрерывных функций. Свойства равномерно непрерывных функций. Раздел 4. Дифференцируемость функции и производная Тема 4.1. Определение производной, её геометрический и физический смысл Основные (ключевые) понятия: дифференцируемость функции, дифференцируемая функция, производная функции, уравнение касательной, мгновенная скорость. Содержание темы Задачи, приводящие к понятию производной. Определение дифференцируемости функции и производной. Геометрический и физический смыслы дифференцируемости и производной. Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции. Тема 4.2. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций Основные (ключевые) понятия: правила дифференцирования, таблица производных. Содержание темы Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Свойства дифференцируемых функций. Дифференцирование суммы, произведения, частного, композиции и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Тема 4.3. Определение дифференциала. Связь дифференциала с производной. Правила вычисления дифференциалов. Геометрический и физический смысл Основные (ключевые) понятия: дифференциал. Содержание темы Дифференциал, его геометрический и физический смыслы. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной. Правила вычисления дифференциалов. Тема 4.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Кривые на плоскости Основные (ключевые) понятия: производные и дифференциалы n-го порядка, параметрически заданные кривые, полярные координаты, параметрически заданные функции. Содержание темы Производные и дифференциалы высших порядков. 4 Различные способы задания кривых на плоскости. Параметрически заданные кривые. Примеры. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах. Примеры. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Нахождение касательных к параметрически заданным кривым на плоскости. Раздел 5. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения Тема 5.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Основные (ключевые) понятия: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Содержание темы Формулировки теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и их геометрическая интерпретация. Тема 5.2. Условие постоянства функции на промежутке. Условия возрастания и убывания функции на промежутке Основные (ключевые) понятия: возрастающая и убывающая функция. Содержание темы Условие постоянства функции на промежутке. Условия возрастания и убывания функции на промежутке Тема 5.3. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Основные (ключевые) понятия: экстремум функции, минимум и максимум функции, наибольшее значение функции на отрезке, стационарная точка. Содержание темы Экстремум функции. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремум с помощью производной. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Тема 5.4. Выпуклые функции. Точки перегиба Основные (ключевые) понятия: выпуклые и вогнутые функции, точка перегиба. Содержание темы Выпуклые функции и точки перегиба. Необходимое и достаточное условие выпуклости дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Тема 5.5. Применение дифференциального исчисления к вычислению пределов Основные (ключевые) понятия: неопределенность типа 0/0 и /, предел функции, правило Лопиталя, Формула Тейлора. Содержание темы Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0/0 и /. Формула Тейлора. Вычисление приближенных значений функций с помощью формулы Тейлора. Раздел 6. Первообразная и неопределенный интеграл Тема 6.1. Задача восстановления функции по её производной. Первообразная и её свойства Основные (ключевые) понятия: первообразная функции. Содержание темы Задача восстановления функции по её производной. Первообразная и её свойства Тема 6.2.Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица интегралов Основные (ключевые) понятия: неопределенный интеграл, подынтегральное выражение, подынтегральная функция, таблица интегралов. Содержание темы Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций. Свойства неопределенного интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрирование суммы. Тема 6.3. Методы интегрирования Основные (ключевые) понятия: методы интегрирования, подстановки Эйлера, тригонометрические подстановки. 5 Содержание темы Интегрирование по частям и замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических функций. Раздел 7. Определенный интеграл и несобственные интегралы Тема 7.1. Определение и основные свойства определенного интеграла Основные (ключевые) понятия: определенный интеграл, криволинейная трапеция, отрезок интегрирования, подынтегральная функция, интегральная сумма, интегрируемая функция. Содержание темы Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы Римана и определенный интеграл. Простейшие свойства определенного интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрирование суммы, интегрирование неравенств. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Тема 7.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла Основные (ключевые) понятия: формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, замена переменной. Содержание темы Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной в определённом интеграле. Тема 7.3. Несобственные интегралы и их свойства Основные (ключевые) понятия: несобственный интеграл первого рода, несобственный интеграл второго рода, сходящийся несобственный интеграл, расходящийся несобственный интеграл. Содержание темы Расширение понятия определенного интеграла на случай бесконечных промежутков. Несобственные интегралы и их свойства. Сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов первого типа. Расширение понятия определенного интеграла на неограниченные функции. Раздел 8. Приложения определенного интеграла Тема 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла Основные (ключевые) понятия: квадрируемая фигура, площадь плоской фигуры, спрямляемая кривая, длина кривой, кубируемое тело, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Содержание темы Понятие квадрируемой фигуры на плоскости и ее площади. Свойства квадрируемых фигур. Критерий квадрируемости. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Нахождение площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного уравнением в полярных координатах. Понятие спрямляемой кривой на плоскости и ее длины. Вычисление длины гладкой кривой с помощью определенного интеграла. Понятие кубируемой фигуры в пространстве и ее объема. Вычисление объема тела вращения с помощью определенного интеграла. Вычисление площади поверхности вращения. Тема 8.2. Физические приложения определенного интеграла Основные (ключевые) понятия: путь, масса, работа, статический момент, координаты центра тяжести. Содержание темы Приложение определенного интеграла к нахождению некоторых физических величин: пути, массы, работы, статических моментов, координат центра тяжести. 6 Раздел 9. Числовые ряды. Признаки сходимости Тема 9.1. Понятие числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов Основные (ключевые) понятия: числовой ряд, частичная сумма ряда, сумма числового ряда, сходящийся числовой ряд, расходящийся числовой ряд, гармонический ряд. Содержание темы Понятие числового ряда и его суммы. Примеры. Ряд из членов геометрической прогрессии. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Простейшие свойства сходящихся рядов: умножение на константу и сумма сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Тема 9.2. Сходимость рядов с неотрицательными членами Основные (ключевые) понятия: сходящийся ряд, расходящийся ряд, числовой ряд с неотрицательными членами. Содержание темы Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами. Сравнение сходимости рядов с неотрицательными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Тема 9.3. Знакочередующиеся ряды Основные (ключевые) понятия: знакочередующийся ряд, абсолютно сходящийся ряд, условно сходящийся ряд. Содержание темы Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана. Раздел 10. Функциональные последовательности и ряды Тема 10.1. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов Основные (ключевые) понятия: функциональная последовательность, функциональный ряд, область сходимости функционального ряда. Содержание темы Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Область сходимости. Примеры. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Тема 10.2. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Основные (ключевые) понятия: равномерно сходящаяся функциональная последовательность, равномерно сходящийся функциональный ряд. Содержание темы Интегрирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Раздел 11. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Тема 11.1. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Основные (ключевые) понятия: степенной ряд, область сходимости степенного ряда, радиус сходимости степенного ряда. Содержание темы 7 Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Примеры. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Тема 11.2. Формула Тейлора и ряд Тейлора Основные (ключевые) понятия: формула Тейлора и ряд Тейлора. Содержание темы Формула Тейлора и ряд Тейлора. Тема 11.3. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций Основные (ключевые) понятия: разложение функций в ряд Тейлора. Содержание темы Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций. Вычисление приближенных значений функций с помощью рядов. Раздел 12. Тригонометрические ряды Фурье Тема 12.1. Определение тригонометрического ряда Фурье. Основные (ключевые) понятия: ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье. Содержание темы Определение тригонометрического ряда и ряда Фурье. Формулы для коэффициентов ряда Фурье. Раздел 13. Функция нескольких переменных, её предел и непрерывность Тема 13.1. Пространство Rm. Предел последовательности в пространстве Rm Основные (ключевые) понятия: расстояние между точками, окрестность точки, внутренние, внешние и граничные точки множества, ограниченные множества, связные множества, предел последовательности в пространстве Rm, сходящаяся и расходящаяся последовательности. Содержание темы Расстояние между точками в пространстве Rm. Неравенство Коши-Буняковского. Окрестности точек. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Ограниченные множества. Компактные множества. Связные множества. Определение предела последовательности в пространстве Rm. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Тема 13.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных Основные (ключевые) понятия: отображение из Rm в Rn, предел и непрерывность отображения из Rm в Rn, функция нескольких переменных, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Содержание темы Отображения из Rm в Rn. Определение предела и непрерывности отображения из Rm в Rn. Функции нескольких переменных. Свойства предела и непрерывности функции нескольких переменных. Теорема об ограниченности непрерывной функции на компактном множестве. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Раздел 14. Дифференцируемость и экстремум функции нескольких переменных Тема 14.1. Дифференцирование функции нескольких переменных Основные (ключевые) понятия: частная производная, дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал функции нескольких переменных, частный дифференциал. Содержание темы Определение частных производных функции нескольких переменных. Определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Дифференциал и его геометрический смысл. Уравнение касательной плоскости к графику дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Существование частных производных у дифференцируемой функции. Свойства дифференцируемых функций: дифференцирование суммы, 8 произведения и частного. Дифференцирование композиции. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков и условия их независимости от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Тема 14.2. Экстремумы функции нескольких переменных Основные (ключевые) понятия: экстремумы функции нескольких переменных, наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Содержание темы Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции двух переменных. Тема 14.3. Неявно заданные функции и их дифференцирование Основные (ключевые) понятия: неявные функции одной и нескольких переменных, производная неявно заданной функции одной и нескольких переменных. Содержание темы Неявные функции одной и нескольких переменных. Дифференцирование нея вных функций. Раздел 15. Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин Тема 15.1. Интегрирование функции двух переменных Основные (ключевые) понятия: интеграл функции двух переменных, двойной интеграл, повторный интеграл, якобиан, регулярное отображение. Содержание темы Задачи, приводящие к понятию интеграла функции двух переменных. Интеграл функции двух переменных и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции. Сведение двойного интеграла к повторному. Преобразование плоских областей. Якобиан регулярного отображения как коэффициент искажения площади. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам. Тема 15.2. Геометрические приложения двойного интеграла Основные (ключевые) понятия: двойной интеграл, объем тела, площадь поверхности. Содержание темы Приложения двойного интеграла к вычислению объема тела, к нахождению площади поверхности. Тема 15.3. Тройной интеграл и его основные свойства Основные (ключевые) понятия: тройной интеграл. Содержание темы Тройной интеграл и его основные свойства. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам. Раздел 16. Криволинейные интегралы Тема 16.1. Определение криволинейного интеграла, его свойства и вычисление Основные (ключевые) понятия: криволинейный интеграл первого и второго рода, работа плоского силового поля. Содержание темы Задача о работе плоского силового поля Определение криволинейного интеграла, его свойства и вычисление. Тема 16.2. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла Основные (ключевые) понятия: формула Грина, площадь плоской фигуры. Содержание темы 9 Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Восстановление функции двух переменных по ее дифференциалу. Раздел 17. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Тема 17.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Основные (ключевые) понятия: дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, общее решение дифференциальных уравнений, начальные условия, граничные условия, частное решение дифференциальных уравнений, особое решение, поле направлений, изоклины. Содержание темы Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Общее решение дифференциального уравнения. Начальные условия. Особые решения. Частные решения. Поле направлений и изоклины. Раздел 18. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения Тема 18.1. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы Основные (ключевые) понятия: уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Содержание темы Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения: уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Тема 18.2. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка Основные (ключевые) понятия: теорема существования и единственности. Содержание темы Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Раздел 19. Дифференциальные уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка Тема 19.1. Дифференциальные уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка Основные (ключевые) понятия: дифференциальные уравнения высших порядков, методы понижения порядка дифференциального уравнения. Содержание темы Дифференциальные уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка. Типы уравнений: y ( n ) f ( x) , y ( n ) f ( y ( n1) ) , y ( n ) f ( y ( n 2) ) , F x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( k n ) 0 , F y, y' , y' ' ,..., y ( n) 0 . Раздел 20. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Тема 20.1. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка Основные (ключевые) понятия: линейное однородное дифференциальное уравнение nго порядка, линейно зависимые и линейно независимые функции, фундаментальная система 10 решений, вронскиан. Содержание темы Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Фундаментальная система решений. Вронскиан. Тема 20.2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка Основные (ключевые) понятия: линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка, общий вид его решения, метод вариации произвольных постоянных. Содержание темы Линейное неоднородное уравнение и общий вид его решения. Нахождение общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка методом вариации произвольных постоянных. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов. Раздел 21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Тема 21.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Основные (ключевые) понятия: линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Содержание темы Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Тема 21.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Основные (ключевые) понятия: линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, структура его общего решения, частное решение неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Содержание темы Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Тема 21.3. Применение линейных уравнений 2-го порядка к исследованию простейших колебаний Основные (ключевые) понятия: свободные и вынужденные колебания, резонанс. Содержание темы Свободные и вынужденные колебания в среде без сопротивления и с сопротивлением. Резонанс. Раздел 22. Системы линейных дифференциальных уравнений Тема 22.1. Системы линейных дифференциальных уравнений Основные (ключевые) понятия: система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, решение методом исключения, матричный метод. Содержание темы Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка и их решение методом исключения. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. 11 Раздел 23. Системы линейных дифференциальных уравнений Тема 23.1. Классификация задач математической физики Основные (ключевые) понятия: дифференциальное уравнение с частными производными, начальные и краевые условия, задача Коши, краевая задача, смешанная задача, задача математической физики. Содержание темы Понятие о дифференциальных уравнениях с частными производными. Начальные и краевые условия. Задача Коши, краевая задача, смешанная задача. Корректность постановки задачи математической физики. Тема 23.2. Линейное уравнение распределения тепла в стержне Основные (ключевые) понятия: одномерное однородное уравнение теплопроводности. Содержание темы Вывод одномерного однородного уравнения теплопроводности. Тема 23.3. Уравнение свободных и вынужденных колебаний струны Основные (ключевые) понятия: одномерное уравнение свободных колебаний струны, одномерное уравнение вынужденных колебаний струны. Содержание темы Вывод одномерного уравнения свободных колебаний струны. Вывод одномерного уравнения вынужденных колебаний струны. Начальные и краевые условия, их физическая интерпретация. Тема 23.4. Метод Фурье в решении уравнений математической физики Основные (ключевые) понятия: метод Фурье. Содержание темы Метод Фурье в решении уравнения теплопроводности для конечного стержня. Решение уравнения свободных колебаний методом Фурье. 2.2. Содержание семинарских и практических занятий Раздел 1. Введение в математический анализ Тема 1.1. Предварительные сведения о математическом анализе. Действительные числа Цель: отработать действия над действительными числами. Понятия: действительные, натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, абсолютная величина действительного числа. Вопросы для обсуждения: 1. Свойства действительных чисел. 2. Взаимное соотношение числовых множеств (множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных чисел). 3. Действия над действительными числами. 4. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 1.2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные границы Цель: отработка на примерах понятий: ограниченное и неограниченное множество, ограниченное сверху, ограниченное снизу, ограниченное, неограниченное сверху, неограниченное снизу, неограниченное множества; точная верхняя и точная нижняя границы множества. 12 Понятия: числовые множества (интервалы, отрезки, промежутки и др.), верхняя и нижняя грани числового множества, точные границы. Вопросы для обсуждения: 1. Некоторые подмножества множества R (отрезок, интервал, полусегмент, луч, прямая ). 2. Определения ограниченного сверху, ограниченного снизу, ограниченного, неограниченного сверху, неограниченного снизу, неограниченного множества; точной верхней и точной нижней границы множества. 3. Примеры ограниченных и неограниченных множеств. 4. Теорема существования верхней и нижней граней. 5. Свойства верхних и нижних граней числовых множеств. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 2. Предел последовательности и предел функции Тема 2.1. Определение предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности Цель: приобретение навыков вычисления предела последовательности. Понятия: предел последовательности, сходящаяся и расходящаяся последовательность. Вопросы для обсуждения: 1. Задачи, приводящие к понятию предела последовательности. 2. Определение предела последовательности, сходящейся и расходящейся последовательности, ограниченной и неограниченной последовательности. 3. Примеры сходящейся и расходящейся последовательности. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.2. Некоторые свойства последовательности Цель: отработка на практике некоторых свойств последовательности. Понятия: свойства последовательности. Вопросы для обсуждения: 1. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. 2. Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. 3. Свойства бесконечно малой последовательности. 4. Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей. 5. Арифметические свойства предела последовательности (теоремы о пределе суммы, произведения и частного). 6. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной последовательности. 7. Определение монотонной последовательности. 8. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. 9. Число е. 10. Теорема Кантора. 11. Определение подпоследовательности. 12. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. 13 13. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.3. Числовые функции. Способы задания и график функции. Операции над функциями Цель: отработка на практике различных способов задания функции, навыков построения графика функции, нахождения обратной функции. Понятия: функция, числовая функция, график, композиция функций, обратная функция. Вопросы для обсуждения: 1. Общее понятие функции. 2. Привести примеры различных способов задания функций. 3. Определение графика функции. 4. Арифметические операции над функциями. 5. Определение композиции функций и обратной функции. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.4. Классификация функций по свойствам. Основные элементарные функции Цель: отработка умения классифицировать функции по свойствам. Понятия: монотонные, периодические, четные и нечетные функции, основные элементарные функции. Вопросы для обсуждения: 1. Определение монотонно возрастающей, монотонно убывающей, строго монотонно возрастающей, строго монотонно убывающей, ограниченной на отрезке, неограниченной на отрезке, ограниченной сверху на отрезке, ограниченной снизу на отрезке, неограниченной сверху на отрезке, неограниченной снизу на отрезке функции. 2. Определение четной, нечетной, периодической функции 3. Основные элементарные функции, их свойства и графики (степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателями. Определение степени с действительным показателем. Показательная функция и ее свойства. Логарифмическая функция и ее свойства. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции). Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 14 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.5. Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Цель: отработка на практике определения предела функции. Понятия: точки прикосновения и предельные точки множества, предел функции, бесконечно малые и бесконечно большие функции. Вопросы для обсуждения: 1. Точки прикосновения и предельные точки множества. Примеры. 2. Задачи, приводящие к понятию предела функции. 3. Определение предела функции в точке. Геометрическая иллюстрация. 4. Привести примеры предела функции. 5. Расширение понятия предела функции на бесконечно удаленные точки. 6. Пределы функции слева и справа. 7. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции. 8. Свойства бесконечно малых функций. 9. Сравнение бесконечно малых. 10. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.6. Арифметические свойства предела функции. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной функции. Теорема о пределе композиции Цель: отработка навыков вычисления пределов функций. Понятия: свойства предела функции. Вопросы для обсуждения: 1. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций. 2. Предел сложной функции. 3. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной функции. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.7. Предел по множеству. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции Цель: отработка навыков вычисления пределов по множеству, односторонних пределов и нахождения асимптот графика. Понятия: предел по множеству, односторонние пределы, асимптоты графика функции. Вопросы для обсуждения: 1. Определение предела по множеству функции в точке. 15 2. Примеры предела по множеству. 3. Односторонние пределы. 4. Определение асимптоты кривой. 5. Виды асимптот. 6. Формулы для нахождения коэффициентов наклонной асимптоты. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 2.8. Замечательные пределы Цель: отработка навыков использования замечательных пределов при вычислении пределов функции и пределов последовательности. Понятия: первый замечательный предел, второй замечательный предел. Вопросы для обсуждения: 1. Формула I замечательного предела. 2. Формулы, для вычисления пределов, которые можно получить на основе I замечательного предела. 3. Формула II замечательного предела. 4. Некоторые замечательные пределы, связанные со степенной, показательной и логарифмической функциями. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 3. Непрерывность функции Тема 3.1. Определение непрерывности функции. Точки разрыва и их классификация Цель: отработка навыков исследования функции на непрерывность, нахождения точек разрыва функции и их классификации. Понятия: непрерывность функции в точке и на множестве, разрыв первого и второго рода, равномерная непрерывность, односторонняя непрерывность. Вопросы для обсуждения: 1. Определение непрерывности функции в точке. Его эквивалентные формулировки. 2. Определение непрерывности функции на множестве. 3. Примеры непрерывных и разрывных функций. 4. Свойства непрерывных функций; непрерывность суммы, произведения, частного и композиции. Теорема о непрерывности обратной функции. 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, теоремы об ограниченности и о наибольшем и наименьшем значениях. Равномерная непрерывность функции на множестве. 6. Классификация точек разрыва. 7. Примеры разрывов I и II рода. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. 16 Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 4. Дифференцируемость функции и производная Тема 4.1. Определение производной, её геометрический и физический смысл Цель: отработка на практике определения производной функции, её геометрического и физического смысла. Понятия: дифференцируемость функции, дифференцируемая функция, производная функции, уравнение касательной, мгновенная скорость. Вопросы для обсуждения: 1. Задачи, приводящие к понятию производной. 2. Определение дифференцируемости функции и производной. 3. Геометрический и физический смыслы дифференцируемости и производной. 4. Уравнение касательной и нормали к графику дифференцируемой функции. Базовый учебник: Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 4.2. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций Цель: отработка на практике применение правил дифференцирования при вычислении производной функции. Понятия: правила дифференцирования, таблица производных. Вопросы для обсуждения: 1. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. 2. Связь дифференцируемости и непрерывности функции. 3. Примеры функций, непрерывных в точке, но не дифференцируемых. 4. Свойства дифференцируемых функций. Дифференцирование суммы, произведения, частного, композиции и обратной функции. 5. Таблица производных основных элементарных функций. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 4.3. Определение дифференциала. Связь дифференциала с производной. Правила вычисления дифференциалов. Геометрический и физический смысл Цель: обучение нахождению дифференциала функции. Понятия: дифференциал. Вопросы для обсуждения: 1. Определение дифференциала. 2. Геометрический и физический смыслы дифференциала. 3. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной. Базовый учебник: 17 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 4.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Кривые на плоскости Цель: отработка навыков вычисления производной и дифференциала n-го порядка, приобретение навыков оперирования с параметрически заданными кривыми. Понятия: производные и дифференциалы n-го порядка, параметрически заданные кривые, полярные координаты, параметрически заданные функции. Вопросы для обсуждения: 1. Определение производной n-го порядка. 2. Определение дифференциала n-го порядка. 3. Алгоритм нахождения производной и дифференциала 3-го порядка от функции y f (x) . 4. Различные способы задания кривых на плоскости. 5. Примеры параметрически заданных кривых. 6. Примеры кривых, заданных уравнением в полярных координатах. 7. Примеры параметрически заданных функций и их дифференцирование. 8. Нахождение касательных к параметрически заданным кривым на плоскости. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 5. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения Тема 5.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Практические занятия не предусмотрены Тема 5.2. Условие постоянства функции на промежутке. Условия возрастания и убывания функции на промежутке Цель: отработка навыков исследования функции на возрастание и убывание, определения промежутков монотонности функции. Понятия: возрастающая и убывающая функция. Вопросы для обсуждения: 1. Условие постоянства функции на промежутке. 2. Условие возрастания и убывания функции в точке и на промежутке. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Издво МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 5.3. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на 18 отрезке Цель: отработка навыков исследования функции на экстремум и нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Понятия: экстремум функции, минимум и максимум функции, наибольшее значение функции на отрезке, стационарная точка. Вопросы для обсуждения: 1. Определение локального максимума и минимума функции в точке. 2. Определение стационарной точки. 3. Необходимое условие экстремума. 4. Достаточное условие экстремума. 5. Исследование функции на экстремум в терминах второй производной. 6. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Тема 5.4. Выпуклые функции. Точки перегиба Цель: отработка навыков исследования функции на выпуклость и на наличие точек перегиба. Понятия: выпуклые и вогнутые функции, точка перегиба. Вопросы для обсуждения: 1. Определение выпуклой кривой. 2. Определение выпуклой функции на отрезке. 3. Определение точки перегиба. 4. Условие выпуклости и вогнутости кривой в терминах второй производной. 5. Схема применения аппарата дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 5.5. Применение дифференциального исчисления к вычислению пределов Цель: отработка навыков применения правила Лопиталя при вычислении пределов и формулы Тейлора. Понятия: неопределенность типа 0/0 и /, предел функции, правило Лопиталя, Формула Тейлора. Вопросы для обсуждения: 1. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0/0 и /. 2. Формула Тейлора. Вычисление приближенных значений функций с помощью формулы Тейлора. Базовый учебник: 19 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 6. Первообразная и неопределенный интеграл Тема 6.1. Задача восстановления функции по её производной. Первообразная и её свойства Практические занятия не предусмотрены Тема 6.2.Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица интегралов Цель: отработка навыков нахождения неопределенных интегралов с использованием таблицы интегрирования. Понятия: неопределенный интеграл, подынтегральное выражение, подынтегральная функция, таблица интегралов. Вопросы для обсуждения: 1. Определение и обозначение неопределенного интеграла от функции f(x). 2. Свойства неопределенного интеграла. 3. Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 6.3. Методы интегрирования Цель: отработка на практике различных методов нахождения неопределенных интегралов. Понятия: методы интегрирования, подстановки Эйлера, тригонометрические подстановки. Вопросы для обсуждения: 1. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. 2. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. 3. Интегрирование простейших дробей. 4. Интегрирование рациональных функций. 5. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических функций. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 7. Определенный интеграл и несобственные интегралы Тема 7.1. Определение и основные свойства определенного интеграла Практические занятия не предусмотрены. 20 Тема 7.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла Цель: применение на практике формулы Ньютона-Лейбница и отработка метода интегрирования по частям и замены переменной в определённом интеграле. Понятия: формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, замена переменной. Вопросы для обсуждения: 1. Формула Ньютона-Лейбница. 2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. 3. Формула замены переменной в определенном интеграле. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 7.3. Несобственные интегралы и их свойства Цель: отработка на практике навыка вычисления несобственных интегралов. Понятия: несобственный интеграл первого рода, несобственный интеграл второго рода, сходящийся несобственный интеграл, расходящийся несобственный интеграл. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие интеграла с бесконечным промежутком интегрирования. 2. Вычисление несобственных интегралов первого рода. 3. Понятие интеграла от разрывной функции. 4. Вычисление несобственных интегралов второго рода. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 8. Приложения определенного интеграла Тема 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла Цель: рассмотрение некоторых прикладных аспектов определенного интеграла при решении геометрических задач. Понятия: площадь плоской фигуры, длина кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Вопросы для обсуждения: 1. Формулы вычисления площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах.. 2. Вычисление дины кривой с помощью определенного интеграла при разных способах ее задания. 3. Объем тела вращения и площадь поверхности вращения. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 21 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 8.2. Физические приложения определенного интеграла Цель: рассмотрение некоторых прикладных аспектов определенного интеграла при решении физических задач. Понятия: путь, масса, работа, статический момент, координаты центра тяжести. Вопросы для обсуждения: 1. Вычисление массы, работы, пути и других физических величин с помощью определенного интеграла. 2. Формулы для вычисления статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 9. Числовые ряды. Признаки сходимости Тема 9.1. Понятие числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов Цель: отработка на практике навыков оперирования с числовыми рядами: умножение на константу, нахождение суммы сходящегося ряда. Понятия: числовой ряд, частичная сумма ряда, сумма числового ряда, сходящийся числовой ряд, расходящийся числовой ряд, гармонический ряд. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие числового ряда и его суммы. 2. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. 3. Примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов. 4. Простейшие свойства сходящихся рядов: умножение на константу и сумма сходящихся рядов. 5. Нахождение суммы сходящихся рядов. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 9.2. Сходимость рядов с неотрицательными членами Цель: отработка на практике навыков исследования на сходимость рядов с неотрицательными членами. Понятия: сходящийся ряд, расходящийся ряд, числовой ряд с неотрицательными членами. Вопросы для обсуждения: 1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами. 2. Признаки сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами. 3. Признак Даламбера. 4. Признаки Коши. 5. Интегральный признак сходимости. 22 Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 9.3. Знакочередующиеся ряды Цель: отработка на практике навыка исследования знакочередующегося ряда на сходимость, в том числе на абсолютную и условную сходимость. Понятия: знакочередующийся ряд, абсолютно сходящийся ряд, условно сходящийся ряд. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие знакочередующегося ряда. 2. Исследование знакочередующегося ряда на сходимость с помощью признака Лейбница. 3. Исследование знакочередующегося ряда на абсолютную и условную сходимость. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 10. Функциональные последовательности и ряды Тема 10.1. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов Цель: отработка на практике навыка нахождения области сходимости функционального ряда и исследование его на равномерную сходимость. Понятия: функциональная последовательность, функциональный ряд, область сходимости функционального ряда. Вопросы для обсуждения: 1. Функциональные последовательности и ряды. Основные понятия. 2. Нахождение области сходимости функционального ряда. 3. Исследование на равномерную сходимость функциональных рядов с помощью признака Вейерштрасса. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 10.2. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Цель: отработка на практике навыка интегрирования и дифференцирования равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Понятия: равномерно сходящаяся функциональная последовательность, равномерно сходящийся функциональный ряд. Вопросы для обсуждения: 23 1. Интегрирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. 2. Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 11. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Тема 11.1. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Цель: отработка на практике навыка исследования на сходимость степенного ряда. Понятия: равномерно сходящаяся функциональная последовательность, равномерно сходящийся функциональный ряд. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие степенного ряда. 2. Исследование на сходимость степенного ряда. 3. Нахождение суммы ряда с помощью интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Основные (ключевые) понятия: степенной ряд, область сходимости степенного ряда, радиус сходимости степенного ряда. Содержание темы Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Примеры. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Тема 11.2. Формула Тейлора и ряд Тейлора Цель: отработка на практике навыка разложения функций в ряд Тейлора и Маклорена. Понятия: формула Тейлора и ряд Тейлора. Вопросы для обсуждения: 1. Разложение функций в ряд Тейлора. 2. Ряд Маклорена. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 11.3. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций Цель: отработка на практике навыка разложения элементарных функций в ряд Тейлора. 24 Понятия: разложение функций в ряд Тейлора. Вопросы для обсуждения: 1. Методы разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций. 2. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 12. Тригонометрические ряды Фурье Тема 12.1. Определение тригонометрического ряда Фурье. Цель: отработка на практике использования формул для нахождения коэффициентов ряда Фурье. Понятия: ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье. Вопросы для обсуждения: 1. Система ортогональных функций. 2. Определение тригонометрического ряда и ряда Фурье. 3. Формулы для коэффициентов ряда Фурье. 4. Разложение в ряд Фурье периодических функций. 5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных периодических функций. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 13. Функция нескольких переменных, её предел и непрерывность Тема 13.1. Пространство Rm. Предел последовательности в пространстве Rm Цель: отработка на практике навыка вычисления расстояния между точками в пространстве Rm. Понятия: расстояние между точками, окрестность точки, внутренние, внешние и граничные точки множества, ограниченные множества, связные множества, предел последовательности в пространстве Rm, сходящаяся и расходящаяся последовательности. Вопросы для обсуждения: 1. Расстояние между точками в пространстве Rm. 2. Неравенство Коши-Буняковского. 3. Окрестности точек. Внутренние, внешние и граничные точки множества. 4. Ограниченные множества. Компактные множества. Связные множества. 5. Определение предела последовательности в пространстве Rm. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Содержание темы Расстояние между точками в пространстве Rm. Неравенство Коши-Буняковского. 25 Окрестности точек. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Ограниченные множества. Компактные множества. Связные множества. Определение предела последовательности в пространстве Rm. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Тема 13.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных Цель: отработка на практике способов нахождения предела функции нескольких переменных и навыка исследования на непрерывность функции нескольких переменных. Понятия: отображение из Rm в Rn, предел и непрерывность отображения из Rm в Rn, функция нескольких переменных, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Вопросы для обсуждения: 1. Определение предела и непрерывности отображения из Rm в Rn. 2. Способы нахождения пределов функции нескольких переменных. 3. Исследование на непрерывность функции нескольких переменных. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 14. Дифференцируемость и экстремум функции нескольких переменных Тема 14.1. Дифференцирование функции нескольких переменных Цель: отработка на практике навыков нахождения частных производных и дифференциала функции нескольких переменных, способов нахождения предела функции нескольких переменных. Понятия: частная производная, дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал функции нескольких переменных, частный дифференциал. Вопросы для обсуждения: 1. Нахождение частных производных функции нескольких переменных. 2. Нахождение частных производных высших порядков. 3. Дифференциал и его геометрический смысл. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. 4. Производная сложной функции. 5. Уравнение касательной плоскости к графику дифференцируемой функции. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 14.2. Экстремумы функции нескольких переменных Цель: отработка на практике способов нахождения экстремумов, а также наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных. 26 Понятия: экстремумы функции нескольких переменных, наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Вопросы для обсуждения: 1. Нахождение экстремумов функции нескольких переменных. 2. Нахождение наибольших и наименьших значений функции двух переменных. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 14.3. Неявно заданные функции и их дифференцирование Цель: отработка на практике способов дифференцирования неявно заданных функций. Понятия: неявные функции одной и нескольких переменных, производная нея вно заданной функции одной и нескольких переменных. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие функции, заданной неявно. 2. Дифференцирование неявной функции. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 15. Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин Тема 15.1. Интегрирование функции двух переменных Цель: отработка на практике навыков вычисления двойного интеграла. Понятия: интеграл функции двух переменных, двойной интеграл, повторный интеграл, якобиан, регулярное отображение. Вопросы для обсуждения: 1. Основные понятия и определения.. 1. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. 2. Сведение двойного интеграла к повторному. 3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. 4. Замена переменных в двойном интеграле. 5. Переход к полярным координатам. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. 27 Тема 15.2. Геометрические приложения двойного интеграла Цель: рассмотрение на конкретных примерах некоторых геометрических приложений двойного интеграла. Понятия: двойной интеграл, объем тела, площадь поверхности. Вопросы для обсуждения: 1. Вычисление объема тела. 2. Вычисление площади плоской фигуры. 3. Нахождение площади поверхности. 4. Физические приложения двойного интеграла. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 15.3. Тройной интеграл и его основные свойства Цель: отработка на практике способов вычисления тройного интеграла. Понятия: тройной интеграл. Вопросы для обсуждения: 1. Сведение тройного интеграла к повторному. 2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. 3. Замена переменных в тройном интеграле. 4. Вычисление тройного интеграла с помощью перехода к цилиндрическим и сферическим координатам. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 16. Криволинейные интегралы Тема 16.1. Определение криволинейного интеграла, его свойства и вычисление Цель: отработка на практике способов вычисления криволинейного интеграла второго рода. Понятия: криволинейный интеграл первого и второго рода, работа плоского силового поля. Вопросы для обсуждения: 1. Криволинейный интеграл II рода. Основные понятия. 2. Вычисление криволинейного интеграла II рода сведением к вычислению определенного интеграла. 3. Вычисление криволинейного интеграла II рода с помощью формулы Грина. 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 28 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 16.2. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла Цель: отработка на практике навыков применения формулы Грина. Понятия: формула Грина, площадь плоской фигуры. Вопросы для обсуждения: 1. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла. 2. Вычисление работы плоского силового поля. 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 4. Восстановление функции двух переменных по ее дифференциалу. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 17. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Тема 17.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Цель: отработка на практике основных понятий теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятия: дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, общее решение дифференциальных уравнений, начальные условия, граничные условия, частное решение дифференциальных уравнений, особое решение, поле направлений, изоклины. Вопросы для обсуждения: 1. Определения основных понятий: дифференциального уравнения (д.у.), решения д.у., обыкновенного д.у., д.у. в частных производных, порядка дифференциального уравнения, интегральной кривой, поля направлений, изоклины. 2. Что называют решением задачи Коши? 3. Какие задачи приводят к понятию дифференциального уравнения? 4. Поле направлений. Изоклины. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Раздел 18. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения Тема 18.1. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы Цель: отработка на практике навыков определения типа дифференциального уравнения первого порядка и освоение соответствующего метода его решения. 29 Понятия: уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Вопросы для обсуждения: 1. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. 2. Уравнение в полных дифференциалах и метод его решения. 3. Уравнение с разделяющимися переменными и метод его решения. 4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка и метод его решения. 5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка и методы его решения. 6. Уравнение Бернулли и методы его решения. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Тема 18.2. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка Практические занятия не предусмотрены. Раздел 19. Дифференциальные уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка Тема 19.1. Дифференциальные уравнения высших порядков и их решение методом понижения порядка Цель: отработка на практике методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Понятия: дифференциальные уравнения высших порядков, методы понижения порядка дифференциального уравнения. Вопросы для обсуждения: 1. Типы дифференциальных уравнений высших порядков, решаемых методом понижения порядка. 2. Способ понижения порядка для каждого из следующих типов уравнений: y ( n ) f ( x) , y ( n ) f ( y ( n1) ) , y ( n ) f ( y ( n 2) ) , F x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( k n ) 0 , F y, y' , y' ' ,..., y ( n) 0 . Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Раздел 20. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Тема 20.1. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка Цель: отработка на практике навыков решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. 30 Понятия: линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка, линейно зависимые и линейно независимые функции, фундаментальная система решений, вронскиан. Вопросы для обсуждения: 1. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка. 2. Линейно зависимые и линейно независимые функции. 3. Определение фундаментальной системы решений. 4. Определение определителя Вронского. 5. Вронскиан линейно зависимых функций. 6. Вронскиан линейно независимых решений линейного однородного уравнения. 7. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. 8. Что является пространством решения линейного дифференциального уравнения nго порядка? Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Тема 20.2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка Цель: отработка на практике методов решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятия: линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка, общий вид его решения, метод вариации произвольных постоянных. Вопросы для обсуждения: 1. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. 2. Общий вид (структура) решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. 3. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка методом вариации постоянных. 4. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Раздел 21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Тема 21.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Цель: отработка на практике навыков нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Понятия: линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Вопросы для обсуждения: 1. Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 31 2. Характеристическое уравнения. 3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Тема 21.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Цель: отработка на практике методов решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Понятия: линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, структура его общего решения, частное решение неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Вопросы для обсуждения: 1. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 2. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 3. Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения по корням характеристического уравнения и по виду правой части. Предполагается выполнение интерактивных заданий в системе дистанционного обучения http://elearn.pspu.ru/ Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Баврин, И. И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М: Просвещение, 1992.– 400 с. Тема 21.3. Применение линейных уравнений 2-го порядка к исследованию простейших колебаний Практические занятия не предусмотрены Раздел 22. Системы линейных дифференциальных уравнений Тема 22.1. Системы линейных дифференциальных уравнений Цель: рассмотрение на практике примеров решения системы дифференциальных уравнений. Понятия: система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, решение методом исключения, матричный метод. Вопросы для обсуждения: 1. Определение системы дифференциальных уравнений первого порядка. 2. Решение системы дифференциальных уравнений методом исключения. 32 3. Суть матричного метода интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Раздел 23. Системы линейных дифференциальных уравнений Тема 23.1. Классификация задач математической физики Практические занятия не предусмотрены Тема 23.2. Линейное уравнение распределения тепла в стержне Цель: рассмотрение вывода одномерного однородного уравнения теплопроводности. Понятия: одномерное однородное уравнение теплопроводности. Вопросы для обсуждения: 1. Понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных и о их классификации. 2. Дифференциальные уравнения с частными производными. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ М.: Просвещение, 1992. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 23.3. Уравнение свободных и вынужденных колебаний струны Цель: рассмотрение вывода одномерного уравнения свободных колебаний струны и одномерного уравнения вынужденных колебаний струны. Понятия: одномерное уравнение свободных колебаний струны, одномерное уравнение вынужденных колебаний струны. Вопросы для обсуждения: 1. Уравнения колебания струны. 2. Краевые и начальные условия. Базовый учебник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ – М.: Наука, 1969. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. Тема 23.4. Метод Фурье в решении уравнений математической физики Цель: рассмотрение примеров применения метода Фурье. Понятия: метод Фурье. Вопросы для обсуждения: 1. Метод Фурье. 2. Уравнение колебаний струны и его решение методом Фурье. 3. Уравнение теплопроводности и его решение методом Фурье. 4. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений. Базовый учебник: 33 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ – М.: Наука, 1969. Список источников и литературы: 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1, 2 / СПб.: Лань, 2001. 34
