Московский физико-технический институт УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Ю.А. Самарский
« 27 » января 2011 г.
ПРОГРАММА
по курсу СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
по направлению 010900
факультет ФУПМ (для специализации «экономика и управление»)
кафедра математических основ управления
курс IV
семестр 8
лекции – 32 часа
Экзамен – 8 семестр
семинары –нет
Зачет с оценкой – нет
лабораторные занятия – нет
самостоятельная работа – 2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ – 32
Программу составил к.ф.-м.н., доц. А.В. Булинский
Программа обсуждена на заседании кафедры
математических основ управления
12 января 2011 г.
Заведующий кафедрой
С.А. Гуз
Некоторые задачи, приводящие к стохастическим аналогам
обыкновенных дифференциальных уравнений (стохастические модели, возникающие в физике, технике, биологии и
финансовой математике).
Вспомогательный математический аппарат. Условное
математическое ожидание и его свойства (линейность, "телескопичность", неравенство Иенсена и др.). Фильтрованные вероятностные пространства. Моменты остановки, их
свойства, примеры. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с дискретным и непрерывным временем. Фундаментальные неравенства. Теоремы о сходимости. Локальные мартингалы и семимартингалы. Разложение Дуба–Мейера. Непрерывные и квадратично интегрируемые
мартингалы.
Броуновское движение (винеровский процесс), его различные
конструкции. Поведение траекторий: недифференцируемость с
вероятностью единица, локальные максимумы, точки роста.
Броуновское семейство. Варианты марковского и строго марковского свойства броуновского движения (семейства). Применения к решению граничных задач (проблема Дирихле). Формула Фейнмана–Каца. Локальное время броуновского движения, аддитивные функционалы. Векторное броуновское
движение. Процессы Бесселя. Фрактальное броуновское движение.
Стохастическое исчисление. Построение интеграла Ито,
свойства интеграла (в том числе мартингальность интеграла Ито с переменным верхним пределом). Интеграл
Стратоновича. Связь между двумя видами стохастического
интеграла. Интегрирование по семимартингалу. Формула
Ито замены переменных и ее дальнейшие обобщения. Примеры.
Стохастические дифференциальные уравнения. Сильные
и слабые решения. Проблемы существования и единствен2
ности решений (в сильном и слабом виде). Результаты Скорохода, Ятамада и Ватанабе. Решение уравнения Ланжевена. Процесс Орнштейна–Уленбека. Марковское свойство
сильного решения стохастического дифференциального
уравнения. Теорема Энгельберта–Шмидта. Преобразование
Камерона–Мартина–Гирсанова как метод построения слабых решений. Мар-тингальная проблема Струка–Варадана,
связь со стохастическими дифференциальными уравнениями. Различные подходы к изучению диффузионных процессов.
Применения стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы фильтрации (фильтр Калмана–Бьюси).
Задача об оптимальной остановке. Стохастическое управление. Диффузионная модель цены акций: от модели Башелье к модели Самюэльсона. Опционы, справедливая цена.
Формула Блэка–Шоулса. Оптимальные инвестиции и потребление.
Дальнейшие исследования. Понятие о квантовых стохастических дифференциальных уравнениях и марковской
эволюции открытых квантовых систем. Проблематика
стохастических дифференциальных уравнений в частных
производных. Некоторые методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Оксендал Б. Стохастические дифференциальные уравнения. – М: МЦМИО, 2002.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. – М.: Фазис, 1998.
Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1, 2. – М.: Физматгиз, 1994.
Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.: Физматлит, 2003.
Kallenberg О. Foundations of Modern Probability. Springer,
New York, 1997.
3
6.
7.
Karatzas L, Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1997.
Parthasarathy K.R. An Introduction to Quantum Stochastic
Calculus. Birkhauser, Basel, 1992.
Подписано в печать 27.01.2011. Формат 60  841/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,25. Тираж 60 экз. Заказ №
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.
4