Презентация на тему Теорема о пропорциональных отрезках (8 класс)

Отношение =частное
показывает:
Во сколько раз
один объект
больше(меньше)
другого
=2
2 арбуза
в 2 раза
больше
чем 1
Какую часть один
объект составляет
от другого
Отношением двух отрезков называют
отношение их длин, выраженных в
одних и тех же единицах измерения.
AB=1дм =10см
СD = 5см
Пропорциональные
отрезки
Говорят, что отрезки АВ, CD
пропорциональны отрезкам A1B1,
C1D1, если равны их отношения
Определите, пропорциональны ли пары отрезков
а, b и c, d, если:
а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см;
б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см.
а)
пропорциональны
Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары
пропорциональных отрезков, если а = 2 см, b =
17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см.
=
Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть
длина четвертого отрезка d, чтобы из них можно
было образовать две пары пропорциональных
отрезков, если а = 6 см, b = 3 cм, с = 4 см, и
отрезок d больше каждого из этих отрезков.
=
=
Ответ: 8 см.
Геодезия
В геодезии пропорциональные отрезки
используются для определения высот
объектов и расстояний между ними на
основе соотношений, установленных
между измерениями на местности и их
проекциями на карту. Например, если
известны высота и дальность до объекта
на местности, то можно использовать
пропорциональный отрезок для
определения высоты и дальности на
карте с учетом масштаба.
Картография
Отображение числовых данных на
карте
Упражнение 4
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя
параллельными прямыми в точках A, B и C, D
соответственно. Найдите OA, если OB = 15 см и
OC : OD = 2 : 5.
ОС:OD=2:5
Ответ: 6 см.
ОA:OB=2:5
Упражнение 5
На одной из сторон угла расположены два
отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены
параллельные прямые, образующие на другой
стороне также два отрезка. Больший из отрезков
равен 6 см. Чему равен другой отрезок?
4
3
x
6
Ответ: 4,5 см.
Упражнение 6
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя
параллельными прямыми в точках A, B и C, D
соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см,
AB = 4 см, OD = 6 см;.
=
6
8
x
4
Ответ: а) 2 см;
8x=4(6-x)
8x=24-4x
8x+4x=24
12x=24
x=2
Упражнение 6
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя
параллельными прямыми в точках A, B и C, D
соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см,
AB = 4 см, OD = 6 см; б) OC и OD, если OA : OB
= 3 : 5 и OD – OC = 8 см;
=
y
=
=
5x=3(8+x)
5x=24+3x
x
2x=24
x=12
y=20
Ответ: б) 12 см и 20 см;
Упражнение 6
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя
параллельными прямыми в точках A, B и C, D
соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см,
AB = 4 см, OD = 6 см; б) OC и OD, если OA : OB
= 3 : 5 и OD – OC = 8 см; в) OA и OB, если OC :
CD = 2 : 3 и OA + OB = 14 см.
=
5(14-y)=2y
70-5y=2y
70=7y
y=10
x
y
x=4
Ответ: в) 4 см и 10 см.
Упражнение 7
Проекции
двух
сторон
остроугольного
треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6
см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан
этого треугольника на ту же прямую?
В
AD=6 см; DC=4 см
CM медиана => AM=MB
AK=KD=3
Проекция первой медианы MC TCNM
KC=7см
А
М
К
6
D
4
С
Упражнение 7
Проекции
двух
сторон
остроугольного
треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6
см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан
этого треугольника на ту же прямую?
В
Проекция медианы AS на сторону AC есть
отрезок
S
AT = 8 см
А
D
6
T
4
С
Упражнение 7
Проекции
двух
сторон
остроугольного
треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6
см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан
этого треугольника на ту же прямую?
В
Проекция медианы BL на сторону AC есть
отрезок
LD = 1 см
А
L D
6
Ответ: 7 см, 8 см, 1 см
T
4
С
Теорема: Биссектриса треугольника делит сторону
на отрезки пропорциональные прилежащим к ним
сторонам.
Дано:
АВС, CD - биссектриса Доказать:
3
1) BE || CD;
2) 1 =2 (?)
3 = 4 (?)
=>
4
1
=
2 = 3
ВСЕ – (?) => ВС=СЕ
3) DC || BE => по (?)
2
4)
=
(?)
=
№9
Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС, АВ= 40см,
АD =30см, СD =12см. Найдите сторону ВС
АВ:AD=BC:DC
40:30=x:12
x=16
Ответ: 16 см.
Решите задачу.
В треугольнике АВС
АВ = 3, АС =5, ВС =4.
АК – биссектриса.
Найдите ВК, КС.
х
ВК:АВ=КС:АС
4-х
5х=3(4-х)
5х=12-3х
8х=12
х=1,5
ВК=1,5
КС=2,5
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая
от вершины
Дано: АВС, ВВ1, АА1 - медианы
Доказательство:
В1К || АА1
по т.Фалеса
А1К=КС
по теореме о
пропорциональных
отрезках
Делаем вывод
• Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит каждую из них в
отношении 2:1, считая от вершины
треугольника.
• Точка в которой пересекаются медианы
называется центроидом или
центром тяжести треугольника.
Основное свойство.
Три медианы
треугольника
пересекаются в одной
точке, которая делит
каждую из них в
отношении 2:1, считая от
вершины треугольника.
Вставьте пропущенные слова.
• Три медианы треугольника пересекаются в … точке,
которая делит каждую из них в отношении 2:1,
считая от вершины треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая … каждую из них в отношении 2:1,
считая от вершины треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении
2:1, считая от … треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в … , считая от
вершины треугольника.
Верно ли
• Три медианы треугольника пересекаются в двух
точках, которая делит каждую из них в отношении
2:1, считая от вершины треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит две из них в отношении 2:1,
считая от вершины треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении
1:2, считая от вершины треугольника.
• Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении
2:1, считая от вершины треугольника.
Решите задачу
АА1 и СС1 - медианы
• 1) АА₁ =15. Найти
АО, ОА₁.
• 2) СО = 4. Найти
СС₁, ОС₁.
№10
Расстояние от середины хорды ВС до диаметра АС равно 3 см,
ВАС=300. Найдите хорду АВ.
Дано: ВС – хорда, KH=3см
ВАС=30°
Найти: АВ
Решение:
КО || BA
KOH=30°
KO=6 см
ВА= 12 см
=