Физика 2лабx

СПб НИУ ИТМО
кафедра ИПМ
Физика
Лабораторная работа № 2
Определение длины световой волны по картине дифракции
на круглом отверстии.
Работу выполнил:
Студент II курса
Группы № 2120
Журавлев Виталий
Преподаватель:
Музыченко Я. Б.
Санкт-Петербург
2013 г.
Цель работы:
Определение длины световой волны по картине дифракции на круглом отверстии.
Общие положения:
При прохождении пучка параллельных лучей света через круглое отверстие
в экране свет заходит в область геометрической тени. За экраном наблюдается
дифракционная картина в виде чередующихся светлых и тёмных колец.
Распределение интенсивности света в дифракционной картине можно
рассчитать на основе принципа Гюйгенса-Френеля, через метод зон Френеля.
Пусть на экран с круглым отверстием
радиусом OB падает плоская монохроматическая
волна (рис. 1). В соответствии с принципом
Гюйгенса-Френеля действие этой волны можно
заменить действием когерентных точечных
источников света. Определим действие этой
волны в точке P, лежащей на прямой SS′,
проходящей через центр отверстия. Для этого
разделим часть волновой поверхности на
кольцевые зоны (зоны Френеля), чтобы
расстояния от края следующей зоны до точки P
λ
отличались друг от друга на половину длины волны 2:
𝑟1 = 𝑟0 +
𝜆
2
; 𝑟2 = 𝑟1 +
𝜆
2
𝜆
Рис. 1
𝜆
= 𝑟0 + 2 2 ; … ; 𝑟𝐾 = 𝑟0 + к 2.
(1)
При таком делении фазы колебаний, приходящих в точку P от соседних зон,
отличаются на  , т.е. противоположны. Если амплитуды колебаний от 1, 2,…,к-ой
зон обозначить a1, a2, … , aK , то амплитуда результирующего колебания в точке P:
𝐴 = 𝑎1 – 𝑎2 + 𝑎3 – 𝑎4 + … + (−1)𝐾 + 1𝑎к. (2)
Амплитуда колебаний, приходящих от отдельной зоны, зависит от площади
зоны ΔS, от расстояния rK от зоны до точки P и от угла наклона  между rK и
нормалью к поверхности. При при таком способе деления площадь K-ой зоны:
SK  K2 1  K2   (K2 1  K2 ) ,
(3)
где K 1 и  K – радиусы (K+1)-й и K-й зон. Радиусы зон Френеля
определяются соотношениями:

K2  (r0  к )2  r02
2
и

K2 1  (r0  (к 1) )2  r02
Учитывая, что r0 >> λ, получим
S K    r0  
2
. (4)
K2 1  K2  r0 , а площадь K-й зоны
, т.е. площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны K.
Следовательно, амплитуды колебаний зависят лишь от расстояния r и от угла
.
Монотонное убывание амплитуд позволяет приближенно выразить
амплитуду A суммарного колебания в точке P:
A
a
a
a1 a1
a
a
 (  a2  3 )  ( 3  a4  5 )  ( 5  ...
2
2
2
2
2
2
.
(5)
Так как слагаемые, выделенные скобками, равны нулю, результирующая
амплитуда при нечетном K:
Объединяя, получаем
A
a1 aK
a a

A 1  K
2 2 , а при четном K:
2 2 .
A
a1 aK

2 2 ,
где знак “+” относится к нечетному, а знак ““ – к четному числу зон Френеля.
При свободном распространении, когда не происходит ограничение фронта
волны, к → ∞ и aK → 0. Тогда при открытом фронте амплитуда суммарного
колебания в точке P определяется половиной амплитуды первой зоны.
Если отверстие открывает одну зону или их небольшое нечетное число, то в
результате интерференции в точке P будет виден свет, причем более
интенсивный, т.е. образуется дифракционный максимум. При небольшом четном
числе открытых зон освещенность в точке P будет минимальной.
Пусть для точки наблюдения P открыто m зон. Тогда при соблюдении
предложенного Френелем правила разбиения на зоны, в открытой отверстием
части волнового фронта будет умещаться большее число зон.
R2  md .
(6)
Из выражения (6) расстояние от плоскости отверстия до точки наблюдения:
d
R2
m .
(7)
Это соотношение служит для вычисления длины волны. Для повышения
точности определения длины волны расстояние d измеряется несколько раз при
1
разном числе открытых зон m. Как видно из уравнения (7), зависимость d от 𝑚
является линейной, а коэффициент наклона графика этой зависимости 𝑘 =
1
𝑅2
λ
.
Построив график зависимости d от 𝑚 можно убедиться в том, что
зависимость действительно линейна, а по коэффициенту наклона получившейся
прямой и известному значению радиуса отверстия R определить длину волны.
Обработка результатов:
Координата объектива в области действия законов геометрической оптики:
𝑋 = 83,4 см
Координаты объектива при дифракционной картине от отверстия,
соответствующего открытым m зонам Френеля:
таблица 1
m
Хо1
2
64,0
3
70,5
4
73,6
5
75,7
6
77,0
Хо2
64,7
70,1
73,4
75,6
77,0
Хо3
64,5
70,7
73,5
75,7
77,1
Расстояние от плоскости отверстия до точки наблюдения:
𝑑 = 𝑙 − 𝑏 = 𝑥 - − 𝑥
Результаты расчетов расстояния d для каждого m:
таблица 2
m
d1
2
19,4
3
12,9
4
9,8
5
7,7
6
6,4
d2
18,7
13,3
10,0
7,8
6,4
d3
18,9
12,7
9,9
7,7
6,3
1
Зависимость d от 𝑚 представлена в таблице 3 и на графике:
таблица 3
1
1
𝑚
6
d
6,37
1
5
7,73
1
4
9,9
1
3
12,97
1
2
19
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
𝑦 = 0,385𝑥
0.166666667
0.2
0.25
0.333333333
0.5
Исходя из графика, получаем угловой коэффициент:
𝑘 = 0,385
Тогда найдем длину световой волны:
𝑟2
λ=
𝑘
где 𝑟 = 0,50 ± 0,02 мм – радиус отверстия
0,52
λ=
= 0,649 мм = 649 нм
0,385
Расчет погрешности:
𝑁
∆k
1
2
√
=
∗ ∑ (yi
k
𝑦𝑏 – 𝑦𝑎 N − 2
−
yср)2
𝑖=1
∆k
1
2
√
=
∗ (0,782 + 0,772 + 0,292 + 0,462 + 0,862 ) = 0,0182
k
0,039 – 0,23 N − 2
∆k = 0,0182 ∗ 0,385 = 0,007
2
2
2
2
∂λ
∂λ
𝑟2
2r
√
√
∆λ = ( ∆k) + ( ∆r) = (− 2 ∆k) + ( ∆r)
∂k
∂r
k
k
2
2
0,00052
2 ∗ 0,0005
∆λ = √(−
∗ 0,007) + (
∗ 0,00002) = 5,33 ∗ 10−8 м = 53,3 нм
0,3852
0,385
Результат:
λ = 649,0 ± 55,3 нм
Вывод:
В ходе работы я определил длину световой волны по картине дифракции на
круглом отверстии на основе принципа Гюйгенса-Френеля, с помощью метода
зон Френеля.
Диапазон красного цвета спектра определяют длиной волны 620—740 нм,
поэтому, значение 𝜆 = 649 ± 55,3 нм, полученное в результате выполнения
лабораторной работы попадает под заданные значения диапазона.
Погрешность составила около 8,5%, что является приемлемой
погрешностью. Вызвана она в связи с неточностью измерений маленьких
величин, а так же погрешностью при расчетах.