Лекция №3. Дифракция света. Прямолинейность

Лекция №3.
Дифракция света.
Прямолинейность распространения света легко объяснить теорией И.Ньютона (1704
г.). Согласно этой теории, свет представляет собой поток особых частиц (световых
карпускул), которые в однородной среде движутся равномерно и прямолинейно, в то же
время прямолинейность распространения света не была столь очевидна с позиции
волновой теории. Х.Гюйгенс в своем «Трактате о свете» (1678г) сформулировал правило,
которое позволяет найти положение фронта волны в момент времени t + ∆t, зная его
положение в предыдущий момент времени t и
скорость света υ. Согласно этому принципу, все
точки поверхности S(t), через которые проходит
фронт волны в момент времени t, следует
рассматривать как источники вторичных волн, а
искомое положение S(t + ∆t) фронта в момент
времени t + ∆t совпадает с поверхностью огибающей
все вторичные волны. В однородной изотропной
среде вторичные волны сферические.
S0
S = — sni(ωt – kr – φ)
r
(3.1)
Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом построением волновых
поверхностей, он никак не связан с физической природой волн. С его помощью можно
вывести законы отражение и преломления света на границе раздела двух сред.
MN – плоская поверхность раздела двух сред
υ1 и υ2 – скорость света
|ВС|
—— = ∆t
υ1
R1 = υ1∆t; R2 = υ2∆t = υ2 |ВС| / υ1;
Из ∆АСД и ∆АСВ ⇒ закон отражения i = i′
АD = R1 = ВС = υ1∆t
АС – общая сторона
∆АDС = ∆АВС
Из прямоугольных треугольников ∆АСВ и ∆АСЕ, имеющих общую гипотенузу ⇒ закон
преломления света.
АС = АЕ/sinr
⇒ AEsinr = BCsini
AC = BC/sini
BC/AE = sini/sinr = υ1∆t/υ2∆t = υ1/υ2 = c/υ
Принцип Ферма
dx = υ(x) dt
c
1
dx = —— dt; dt = — n(x) dx
n(x)
c
t = 1/x n(x) dx = min или t = 1/c
n(s) ds
Из выше приведенного, принцип Гюйгенса в его первоначальной форме относился к
области геометрической оптики, т.е. когда длину волны можно считать бесконечно малой
по сравнению с размерами волнового фронта. Он не затрагивал вопроса об интенсивности
волн, идущих по разным направлениям. Этот недостаток восполнил Френель, дополнив
его идеей интерференцией волн.
Идея о когерентности вторичных
волн и их интерференции при
наложении, называется принципом
Гюйгенса-Френеля. Строгая
математическая формулировка этого
принципа дана Кирхгофом.
Распространение света из точки A
в точку P рассмотрим следующим
образом. Окружим источник (точка А)
электромагнитных колебаний в
воображаемой поверхности S и
рассмотрим возмущение от
«светящейся» поверхности в точке Р,
вне указанной поверхности, как результат совместного действия всех светящихся точек
(элементов dσ). Т.е. в точке Р изучается суперпозиция вторичных сферических волн, от
всех элементов поверхности S, т.е. действие реального источника А заменяется действием
в совокупности элементов поверхности S. Все эти вторичные колебания (так как их фазы
и амплитуды задаются первичным колебанием) и, их амплитуды (интенсивности I ) можно
складывать. Следует учесть, что амплитуда dE0 колебания в точке Р одним произвольным
элементом dσ, пропорционально отношению площади dσ соответствующего участка
волновой поверхности S к расстоянию r от него до точки Р не зависит от угла α между
внешней нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента dσ в точку Р.
Тогда согласно Френеля введем некий коэффициент k(α) который принимает
максимальное значение, когда нормаль n совпадает с r (α = 0) и обращается в нуль при α ≥
π/2. Введение k(α) означает отсутствии обратной волны, направленной внутрь
поверхности S.
E00 exp(ika) exp[i(kr – ωt)]
dE0 = K(α) ———— —————— dσ
a
r
Для вычисления результата интерференции вторичных волн сделаем следующие:
Соединим точки А и Р. Затем разобьем поверхность сферы с центром в точке А(которая
совпадает с фронтов волны идущей из А) на зоны такого размера, чтоб расстояние от
краев зоны до Р отличалась на λ/2, т.е.
C1P – C0P = C2P - C1P = … = CnP – Cn-1P = λ/2
(3.2)
Тогда колебания возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами противоположны
по фазе, так как разность хода от сходственных точек этих зон до точки Р равна λ/2.
Следовательно результирующая амплитуда колебания в точке Р будет равна
E = E01 – E02 + E03 – E04 + …
(3.3)
Величина Е0m зависит от площади σм m-ой зоны и угла αm между внешней нормалью
к поверхности в каждой точке ее прямой, r, направлена из этой точки в точку Р.
В то же время с увеличением
номера зоны ее вклад в
уменьшается из-за увеличения
угла α относительно точки Р,
другими словами
уменьшается амплитуда Е0m.
Она уменьшается с ростом m
так же и вследствие
увеличения расстояния от
зоны до точки Р.
|CB| = rm – внешний радиус m-ой зоны;
|ВО| = hm высота шарового сегмента
Из ∆АСВ и ∆СВР следует, что
r2m = a2 – (a – h2m) 2 = (b + mλ/2)2 – (b + hm)2
пренебрегая λ2≪b и а
2аhm – h2m = mλb – 2bhm – h2m
2(a + b) hm = mbλ
mbλ/2
hm = ——— ;
(a + b)
(3.4)
rm = √2ahm
(3.5)
пренебрегаем h2m т.к. h2m ~ (λ/2)2
rm = √abmλ
mabλ
rm= √———
a+b
(3.5a)
Кроме того, мы можем наитии площадь шарового сегмента
πаbmλ
Sш = 2πаhm = ———
a+b
πаbλ
Тогда S1 = —— ,
a+b
Площадь двух первых зон
2πаbλ
S1+2 = ———, ⇒ что площади двух первых зон одинаковы (что справедливо и для ∀
a+b
других зон)
2πabmλ
σ1 + σ2 + … + σm = 2πah = ——— - все зоны Френеля равновелики
a+b
В то же время с увеличением номера зоны Френеля ее вклад в ∑Е2 = I уменьшается
из – за увеличения угла α относительно точки Р, другими словами уменьшилась
амплитуда Е0m. Она уменьшилась с ростом m также и вследствие увеличения расстояния
от зоны до точки Р. Таким образом
E01 > E02 > E03 > … E0n > …
Общее числи зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной к точке Р ( т.к. от
другой части. k(α) = 0, для α ≥ π/2) очень велико
b + Nλ/2 = √ (a2 + b2)2 – a2 ⇒ N = 2[(√b2 + 2ab) – b]/λ
(3.6)
r2 = a2 + (a + b) 2 – 2ab (a + b)cosθ ( по теореме
косинусов)
2rdr = 0 + 0 + 2a (a + b)sinθdθ
dσ = a2sinθdθdφ (φ – азимутальный угол)
Амплитуда колебаний в т. Р одним произвольным элементом dσ
E00 exp (ika) exp (ikr)
dE0 = km(α) ————— ———— dσ
a
r
Суммарное возмущение
E00 exp(ika)
E0(p) = —————
A
1
km(α) — exp(i[kr]) dσ = A00
r
S
dσ = a2sinθdθdφ
1
dr = — a(a + b) sinθ dθ
r
r dr
dσ = ———
a(a + b)
1
km(α) — exp(i[kr]) dσ
r
S
r dr
——— = a sinθ dθ
a (a + b)
2πA00 km (α)
2iλ (-1) n + 1 km (α) E00 exp [i (k (a + b)]
E0(p) = —————— exp(ikr) dr = ————————————————
a+b
a+b
(3.7)
В пределах не слишком больших изменений m зависимость амплитуды Аm от m
является линейной, т.е
Аm = ½(Аm – 1 + Аm + 1)
(*)
Из уравнения (3.7) ⇒, что интегральное действие всех зон Френеля сведется к ∑
знакопеременного ряда (3.3) или (3.7)
Знакопеременный ряд (3.7) является сходящимся, так как для него выполняется
признак Лейбница. (Знакопеременный ряд сходится если его абсолютные величины
убывают, а общий член стремиться у нулю, т.е. А1>А2>А3… lim An = 0, т.к. k(α) c
n→ ∞
ростом m стремится к 0)
k1 – k2 + k3 - … + (-1) n + 1kn
(3.8)
A1 – A2 + A3 - …
Перегруппируем
k1/2 + (k1/2 – k2 + k3/2) + (k3/2 – k4 + k5/2) + … = k1/2 ± kn/2
(3.9)
A1/2 + (A1/2 – A2 + A3/2) + (A3/2 – A4 + A5/2) + … = A1/2
Так как по (*) все выражения стоящие в скобках равны 0, то формулы (3.9) показывают,
что результирующие действия, т.е. амплитуда суммарного колебания в точке Р равна полу
сумме (или полу разности) амплитуды колебания, создаваемых в этой точке только первой
и m-й зонами Френеля.
E0 (p) = ½ (E01 ± E0m)
(3.10)
«±» зависит m – четное или нечетное
При полностью открытом фронте E0m→0, т.к. k(π/2) = 0 поэтому
A = A1/2 или E0(p) = E0,1(P)/2
сравнивая
n+1
2iλ (-1)
E00 exp [ik(a + b)]
E00 exp [ik(a + b)]
Kn ———————— = ———————— ⇒
a+b
a+b
(3.11)
exp[-i(π/2)]
ik1λ = 1 ⇒ k1 = —————
λ
Следовательно, (а) при полностью открытом фронте амплитуда суммарного колебания
точки Р равна половине амплитуды колебания, создаваемая в этой точке только первой
зоной
1
A = — A1
(3.12)
2
(b)интенсивность измерения пропорциональна квадрату амплитуды колебания, и ⇒
1
I = A2 = — A21
2
(3.13)
При a = b = 1м, S ≤ 1 мм2 для видимого диапазона. Тогда подучается, что в
результате интерференции как бы уничтожается действие всех зон, кроме первой. Таким
образом с достаточно большой точностью можно сказать, что в свободном пространстве
свет от источника А в точку Р распространяется прямолинейно, т.е. было снято
противоречие между волновой и геометрической оптикой. При нахождении
результирующего колебания в точке Р удобно складывать колебания от разных зон
графически, так как любой вектор задается модулем и направлением, составляющим
некоторый угол с заранее выбранном направлением. Для графического изображения
действия одной зоны разобьем ее на равные малые участки, чтобы воображаемые
источники каждого участка можно было считать излучаемыми в одной фазе. Действие
такого участка изобразим вектором длина которого дает амплитуду, а направление
определяет фазу, обусловленную этим участком. Действие соседнего участка изобразим
вектором такой же длины но повернутым относительно первого. Последний участок зоны
излучает почти в противофазе с первым, так как их расстояния отличается до точки Р на
λ/2.
При увеличении числа участков (с уменьшением размеров) ломанная линия
превратится в дугу окружности. Таким образом, векторная диаграмма действия
центральной зоны имеет вид полуокружности, где вектор ОР1 выражает результирующее
колебание, вызванное действием только одной зоны. Для того, чтобы учесть действие
второй зоны надо продолжить векторную диаграмму. Тогда мы получим рис.3.9, причем
хорда дуги Р1Р2 несколько меньше, чем у дуги ОР1 в следствии возрастающего наклона
зоны kn(α). Продолжая наше построение получим, диаграмму действия всей волны,
изображенной на рис.3.10.
Проведенные рассуждения показывают, что действия (амплитуда), вызванное всем
волновом фронтом, примерно равное половине действия центральной зоны, а не действию
половины центральной зоны. Действие половины центральной зоны – вектор ОК, который
отличается от вектора ОР.
Предположим, что все зоны, кроме первой закрыты. Тогда интенсивность
увеличивается в четыре раза.(А = А1/2, I = А2 = А21/4) по сравнению с полностью
открытым фронтом. Таким образом, интенсивность света в точке Р можно увеличить,
изготовив так называемую – зонную пластинку, которая закрывает все четные зоны
Френеля (или все нечетные). Для ее создания следует учесть а и b и воспользоваться
формулой
mabλ
rm= √———
a+b
Установив пластинку в строго определенном месте между А и Р получим заметное
увеличение освещенности в области пространства точки Р, так как в данном случае в ряду
(3.3) остаются лишь члены одного знака. Действие этого экрана – зонной пластинки –
аналогично действию собирающей линзы.
Будем считать, что величина f = r2m /mλ является заданной, и найдем значения а и b,
для которых волны, проходящие через прозрачные кольца пластинки, оказываются
синфазны с помощью (3.5) получим
1
1 mλab
f = — r2m = — ———
mλ
mλ a + b
или
1
1
1
—=—+—
f
a
b
(3.14)
(3.15)
В отличии линзы, зонная пластинка дает не одно, а много изображений источника.
Если в пределах каждого кольца укладывается любое нечетное число 2n + 1 зон Френеля,
тогда
1
1
2n + 1
1
f
— + — = ——— = — ; fn = ———
a
b
f
fn
2n + 1
(3.16)
Можно говорить, что у данной пластинки существует много фокусных расстояний, n = -1,
-2, … - имеем расходящиеся волны, ибо именно для расходящихся волн разность фаз
между возмущениями от более удаленных и от менее удаленных зон – отрицательна. Еще
больший эффект получится, если изготовить ступенчатую зонную пластинку, которая
будет менять фазы колебаний от соседних зон на π. Для этого высоту ступеньки δ
необходимо выбрать так чтобы оно удовлетворяло соотношению
2πδ(n – 1)
————— = π
λ
или
λ
δ = ——— ,
2(n – 1)
c
n=—
υ
n – показатель преломления вещества из которого изготовлена ступенчатая зонная
пластинка.
Простейшие дифракционные проблемы.
Явление огибания препятствий (экранов и краёв диафрагм) носят название явлений
дифракции (Д).
Гипотеза Френеля.
Часть фронта световой волны, прикрытая непрозрачным экраном, не действует
совсем, а неприкрытые участки фронта действуют так, как если бы экрана совсем не было.
Гипотеза хорошо описывает дифракцию в случае, когда размеры отверстия значительно
больше длины волны λ. При достаточно больших отверстиях влияние краевой зоны
незначительно и практически не учитывается.
Дифракция на круглом отверстии.
Волна ∑, идущая из А, встречает на пути экран
MN с круглым отверстием (рис. 3.13). Поверхность
Френеля будет касаться экрана MN. В зависимости от
размера отверстия в нем может уложится большее или
меньшее число зон. Так, например, если отверстие
открывает одну или три зоны Френеля, то действие в
точке Р будет больше, чем в отсутствие экрана. Одна
зона Френеля – вектор ОР1, три зоны Френеля ОР3.
Наименьшая освещенность соответствует двум
открытым зонам – вектор ОР2. При этом в
центральной точке поля появляется темное пятно
(пятна Пуасонна). Этот неожиданный результат
нельзя объяснить с точки зрения геометрической
оптики, согласно которой тень от отверстия
представляет собой равномерно
освященное светлое пятно. При увеличении отверстия
все большее число зон Френеля принимает участие в
создании освещенности, и эффект пропадает т.к.
амплитуда стремится к ОР – вектору открытой волны.
(Проблему Пуасонна позднее Арго показал на опыте,
что при установке круглого непрозрачного экрана, в
центре
тени
возникает
светлое
пятно,
предсказываемое теорией). При смещении точки
наблюдения в сторону от точки Р, условия
изменяются, т.к. отверстие пропускает для боковых
точек не целое число кольцевых зон. Но вследствие
симметрии всего расположения вокруг линии АР
распределение света в плоскости, перпендикулярной
к АР, должно быть симметрично, т.е. области одинаковой освещенности должны
располагаться кольцеобразно около точки Р,(можно наблюдать несколько
концентрических областей max и min освещенности, плавно переходящие друг в друга).
Дифракция на круглом экране.
Для точки Р, лежащей на линии АР (рис. 3.15), соединяющей источник А с центром
экрана, построение Френеля дает первую зону от края экрана до линии пересечения
поверхности волны с конусом, образующая которого равна b + λ/2, вторая зона b + λ и
т.д.
Если, например, закрыты две первые зоны Френеля то колебания в точке Р
определяются вектором M2N (вместо ON). Он мало отличается от ON – интенсивность
почти такая же, как при отсутствие диска (рис. 3.16). Когда диск закрывает несколько
центральных зон, то первая открытая зона берет на себя роль центральной, т.е её действие
почти не отличается от действия центральной зоны открытой волны (если радиус диска
мал). Таким образом, в центре тени, отбрасываемой диском, наблюдается светлое пятно.
Сама тень окружена чередующимися светлыми и темными кольцевыми полосами. Свет
как бы “попадает” в область тени, что является следствием его волновой природы света.
То что в самом центре геометрической тени должна быть светлая точка, было
выдвинуто Пуассоном в 1818г., чтобы опровергнуть теорию Френеля, однако Арго
произвел соответствующий опыт и показал, что выводы Пуассона соответствуют
действительности и, следовательно, лишь подтверждают теорию Френеля. При
увеличении размеров препятствия, первая открытая зон будет иметь всё больший номер,
а, следовательно, растет угол α между n и направлением на точку Р. Интенсивность
вторичного измерения от зоны в точку Р сильно падает, и светлое пятно в центре картины
пропадает. Таким образом, дифракция наблюдается лишь при малых экранах,
закрывающих небольшое число зон. Кроме того, необходимо, чтобы диск был круглым и
имел ровные края, лишь в этом случае он будет закрывать определенное число зон и
вызывать дифракцию.
Дифракция на краю экрана , на узкой щели, на узком длинном экране.
При прохождении света через узкую щель
или мимо экрана с резким прямолинейным
краем, прикрывающим часть фронта
световой волны, в этих случаях
количественный расчет наблюдаемой
картины по методу зон Френеля неудобен,
так как прямолинейный край экрана не
выделяет целых зон Френеля, а пересекает
их. Поэтому учет действия частично
открытых зон затруднителен. В этом случае
удобно иначе разбить на зоны.
Пусть свет идет из А в B и на пути лучей
имеется бесконечный экран D
(перпендикулярный плоскости рисунка).
Проведем из В линии ВМ0, ВМ1, ВМ2,…, и
ВМ1/, ВМ2/ … отличающиеся по длине на λ/2 , т.е.
ВМ0 = ВМ2 - ВМ1/ = … = λ/2
Через центр А проведем плоскости,
параллельные ребру экрана D, пересекающие
фронт волны в точках М0, М1, М2,…, и М1/, М2/ …
(рис. 3.18). При этом поверхность волны
разобьётся на части, которые не будут равны
между собой, т.к. расстояния М0М1, М1М2,
М2М3,…, отличны друг от друга. На рис. 3.19
показан вид одной из зон Френеля, где
АМ0 = АМ1 = АА /= АА// - радиусы сферы. По
мере удаления от центральной полосы площади
зон убывают. Это убывание идет сначала
быстро, а потом медленнее. Световое
возбуждение от соседних зон приходит в точку В в
противофазе. Как и прежде, однако их амплитуды убывают
значительно быстрее.
Рассмотрим векторную диаграмму для учета действия
различных зон. У нас снова должна получится спираль, как и
в случае кольцевых зон Френеля. Однако, поскольку площади
зон убывают при удалении от точки М0, эта спираль
получается более пологой, т.к. зоны убывают теперь
гораздо быстрее, чем прежде (раньше они убывали
только из-за увеличения α). Спираль, на рисунке
3.20, М0М1М2N изображает действие только верхней
половины сферической волны. Если экран
отсутствует, то возмущение в точке В создаётся
обеими половинами волны. Диаграмма имеет вид
симметричной спирали, называемой спиралью
Карно (рис. 3.20). Действительное колебание,
создаваемое всей волной, изображается вектором
ОN, соединяющим фокусы спирали. Интенсивность
(I), создаваемая первой зоной М0М1. Колебания,
создаваемые в В верхней половиной волны,
Изображается вектором М0N.
Рассмотрим теперь дифракцию на краю
экрана (рис. 3.17) с помощью спирали
Карно. В точке В на границе
геометрической тени действует верхняя
половина волны, соответствующая вектору
М0N на спирали Карно, т.к. М0N = ½ОN,
амплитуда в В равна половине амплитуды
полной волны, наблюдаемое в отсутствии
экрана D.При смещении вверх от точки В (в
освещенной области) начинают действовать
зоны «нижней» половины волны.
Например, на рис. 3.21 в точке В/ действует
одна «нижняя» зона М1М0/. Чтобы учесть ее
действие начало вектора на спирали Карно
следует расположить на нижней половине.
Так, если кроме всей «верхней» половины
действует одна зона «нижней» половины,
то возмущение в точке В описывается
вектором М1/N0 (см. рис.3.20). Если в
добавлении к «верхней» половине волны
действует две «нижние» зоны, то
результатом будет вектор М2/N меньшей
длины. Таким образом, смещение точки В к
точке В/ соответствует смещению начала
вектора по нижней половине спирали
Карно. Конец вектора остается в точке N, так как для всех
точек освещенной области «верхняя» половина волны
действует целиком. При этом длины векторов проходят
через ряд max. больших, чем ОN и ряд min. меньших чем
ON.
При смещении вниз от точки В (в область тени)
прикрывается часть зон верхней половины волны рис.
3.22; это соответствует движению начала
результирующего вектора по верхней половине спирали
Карно. При этом видно, что его длина монотонно
убывает. Таким образом, зависимость интенсивности
света от положения точки В имеет вид рис.3.23. Здесь I0 - интенсивность без экрана (ON)2.
Интенсивность в точке B равна ¼ I0, так как амплитуда равна ½А0, I0 ∼А02. Видимость
полос постепенно спадает при удалении В/ от В в освещенную область, так как при этом в
В действует все большее число зон «нижней» половины.
Дифракция плоских волн на отверстиях различных форм.
Дифракция в параллельных лучах впервые была рассмотрена Н. Фраунгофером ( в
1821-1822 г.). Наибольший практический интерес представляет случай дифракции,
наблюдающиеся при прохождении плоской волны сквозь узкую щель или круглое
отверстие в непрозрачном экране и дифракционную решетку.
Пусть волна падает нормально плоскости щели. Для оценки интенсивности потока света
составляющего угол φ с нормалью плоскостью щели, разобьем плоский фронт волны на
зоны Френеля. По общему правилу Френеля излучения соседних зон должно приходить в
точку наблюдения в противофазе. Линза собирает параллельные лучи и не вносит
дополнительной разности хода, кроме того амплитуды
наших элементарных волн будут одинаковы, так как
выбранные элементы имеют одинаковые площади и
одинаково наклонены в направлении наблюдения.
Графически результат сложения амплитуд для любой
точки экрана можно представить векторными
диаграммами. Диаграмма 2а соответствует совпадению
направления наблюдения и первоначального
направления волны, φ=0, при котором элементарные
волны не приобретают никакой разности фаз.
Результирующая амплитуда S=А0. Диаграмма рис.2b,
соответствует направлению, при котором крайний
элемент волнового фронта в пределах щели дают
разность фаз, равную π, т.е. разность хода равную ½λ.
Результирующая амплитуда S=2A0/π, ибо S равно
диаметру полуокружности длина которого равняется
А0. Диаграмма рис. 2С соответствует разности хода от
крайних элементов волнового фронта равной λ, т.е.
определяемому условию bsinφ = λ. Результирующая
амплитуда равна нулю, т.е. min интерференционной
картины. Нулевая амплитуда соответственно будет и
при разности хода 2λ, 3 λ, … , n λ, т.е. min
соответствуют направлениям
∆ = DE = bsinφ = λ, 2 λ, 3 λ, … , n λ,
число.
где n – целое
М1В/ - М0В = М2В// - М1В/ = … = ½λ
Где В,В/,В//, … лежат на фронте плоской волны
идущей под углом φ, а М0, М1, М2 –границы зон
Френеля. Если на границе укладывается четное число
зон, то в соответствующей точке экрана будет
наблюдаться min света. При ширине щели b это
приводит к условию
bsinφ = nλ
Это видно из того что для последней зоны (рис.3) и она должна равняться четному числу
полуволн (четное число открытых зон), т.е. целому числу волн.
Проведем теперь аналитическое рассмотрение амплитуды волны дифрагирующей от
щели под углом φ (рис.4). Амплитуда волны одним элементарным элементом щели dx,
пропорционально его ширине сdx. Множитель с получен из условия, что при φ = 0,
амплитуда S=А0
⌠
А0 = ⎮
⌡
b
c dx = cb, т.е. с = А0/b
0
Таким образом, световое возмущение в соответствующем участке щели выразится
соотношением
ds = А0/bcosωtdx
для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом φ с
первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую
волну, доходящие от различных элементов волнового фронта, до точки наблюдения Вφ.
Так как линза L2 не вносит дополнительной разности фаз, то достаточно определить
разность хода, возникшей на пути от плоскости FE до плоскости FD. Из рис.4 видно, что
NP = x sinφ
Тогда световое возмущение в точке Р плоскости FD
ds = А0/bcos(ωt-kx sinφ)dx, где k=2π/λ
(1)
Результирующие возмущение в Вφ выразится интегралом повсе ширине щели (0 ≤ x ≥ b)
S=
А0/bcos(ωt-kx sinφ)dx = A0
Aφ = A0
sin(½bk sinφ)
sin(½bk sinφ)
cos(ωt - ½kb sinφ)
(2)
½bk sinφ
sin[(bπ/λ)sinφ]
= A0
(bπ/λ)sinφ
½bk sinφ
Aφ = A0
или для малых φ, т.е. sinφ = φ
(3)
sin(bπφ/λ)
(3a)
bπφ/λ
Обозначим bπφ/λ = u, тогда
Aφ = A0 sinu/u
(4)
Iφ = I0 [sinu/u]2
Исследуем выраженеи (4)
Imax при φ = 0, т.к. lim
u→ 0
sinu
u
= 1 и Iφ = I0
Imin будет иметь место при φ ≠ 0, sinu = 0, u ≠ 0 ⇒u = ± nπ, где n = 1, 2, 3, … или
(bπ/λ)sinφ = ± nλ
bsinφ = ± nλ
(5)
Тогда 1ый минимум можно наблюдать под углом
sinφ = ± λ/b
Остальные экстремумы выражения (3) или (4)
можно найти по обычному правилу ,
дифференцируя его по φ и приравнивая нулю
значения производной.
dAφ
du
cosu
= A0(
u
sinu
u
-
cosu
) = A0 —— (u – tgu) = 0
u2
(6)
или
dAφ
= 0, т.е. tgu = u
du
(7)
Решение уравнения (7) дает
u = 3π/2, 5π/2, … - условие побочных max I
(I1 ≈ 5%, I2 ≈ 2%)
I0 : I1 : I2 = 1000 : 47 : 17
При уменьшении ширины щели b расстояние
min от центра возрастает, т.е. тем шире
центральный max. При b = λ центральный max
расплывается на всю полуплоскость
sinφ = 1, т.е. φ = π/2
Дальнейшее уменьшение щели не имеет
смысла, т.к. будет наблюдаться монотонное
уменьшение I.
Обычно в эксперименте по дифракции b≫λ
и ⇒ φ ≪ π/2 (рис. 7)
При разборе задач о дифракции на щели мы допускали, что по всей ширине щели
амплитуда и фаза вторичных волн одинакова, т.е. мы пренебрегали искажением за счет
краев щели или b≫λ.
Если щель имеет ограниченную длину l, т.е. представляет собой прямоугольник со
сторонами b и l, то, очевидно, и в направлении длины щели будет наблюдаться
дифракционная картина. Дифракционная картина шире в том направления, для более
короткой стороны прямоугольника. В случае квадратного отверстия картина в обоих
направлениях будет симметричной. Она имеет вид двух систем перпендикулярных
пересекающихся темных и светлых полос (дифракционный «крест»).
Аналитическое выражение для интенсивности при дифракции на прямоугольнике b на l
отверстие можно записать по аналогии (3), используя два угла φ и ψ
sin2(πbsinφ/λ) sin2(πlsinψ/λ)
Iφ,ψ = I0 —————— ——————
(πbsinφ/λ)2
(πlsinψ/λ)2
(8)
I0 имеем для φ = 0 и ψ = 0, и т.к sinφ ≈ φ, sinψ ≈ ψ перепишем
sin2(πbφ/λ) sin2(πlψ/λ)
Iφ,ψ = I0 —————— ——————
(πbφ/λ)2
(πl/λ)2
(9)
При дифракции на круглом отверстии вычисление I сложнее и приводит к специальным
функциям Бесселя. Однако, разлагая их в ряд при малых углах, можно получить
упрощенное, приближенное выражение. Картина в этом случае имеет вид темных и
светлых колец, соответствующих min и max света.
Угловой радиус темных колец определяется приближенно соотношением
I(u) ∼ [2I1(u)/u]2,
I1(u) где u = 2πbsinφ/λ (b – радиус отверстия)
Первый корень, соответствующим первому min освещенности, получится при значении
sinφ = 0.61λ/b
Как видно из выражения для Iφ, Aφ, амплитуды и интенсивности дифрагированного
света зависят от длины волны λ. При наблюдении в белом свете мы получим спектральное
разложение (окраску дифракционных полос). Для дифракции на одном отверстии эта
окраска выражена слабо.
Дифракция на двух щелях.
Положение дифракционных max и min не будет
зависеть от положения щелей, ибо положение экстремумов
не будет зависеть от положения щелей, ибо положение max
определяется направлением, по которому идет большая
часть испытавшего дифракцию света. Если на обе щели
подает один и тот же волновой фронт, волны, идущие от
первой и второй щелей, когерентны и должны
интерферировать. В тех направлениях, по которым не одна
из щелей не посылает света, будут min света. В перегородке
К две щели шириной b, разделенные не прозрачным
промежутком а , так что а + b = d. В направлениях, в которых колебания от двух щелей
взаимно уничтожаются будут Imin , следовательно, разность хода λ/2, 3λ/2, … для волн
идущих от соответственных точек обеих щелей.
для одной щели bsinφ = λ, 2λ, 3λ, …, ⇒Imin
из рис. 9 видно, что
MP = MN sinφ = dsinφ = λ/2, 3λ/2, … ⇒Imin
и наоборот, в направлениях, определяемых из условия
dsinφ = λ, 2λ, … , ⇒Imax
Действие одной щели усиливает действие другой щели, следовательно главные max .
Итак:
Прежние min
bsinφ =
Добавочные min
dsinφ =
Главные max
dsinφ = 0,
λ,
λ/2,
2λ,
3λ/2,
λ,
3λ, …,
5λ/2,…,
2λ,
3λ … ,
т.е. между главными Imax располагается один
добавочный Imin. При увеличении расстояния
между щелями d, Imax станут уже и чаще, но
площади под кривыми не изменяться (только
перераспределятся). Так как, для одной щели
центральный max гораздо интенсивнее
боковых, то и для двух щелей, почти весь свет
сосредоточен в области центрального max, т.е.
в пределах sinφ = ± λ/b.Таким образом,
угловая ширина основной дифракционной
картины равна 2λ/b.
Применение дифракции
Р
ис.
С помощью дифракции на двух щелях, можно определить (измерить) угловое
расстояние, или угловой диаметр двойных звезд. Пусть имеются две звезды на угловом
расстоянии θ друг от друга, столь малом, что в фокальной плоскости телескопа
изображение этих звезд различить не возможно, но если объектив телескопа прекрыт
щитом с двумя щелями на расстоянии D друг от друга, то от каждой звезды будет
получена дифракционная картина в виде мелких ярких полос. Система полос от каждого
из двух источников сдвинута друг относительно друга на угловое расстояние θ.
Центральная полоса Р0 сдвинута относительно ближайшей полосы соей системы Р1 на
угловое расстояние φ.
Dsinφ = λ
или
λ
φ=—
(рис)
D
Когда φ = 2θ, максимумы одной системы накладываются на минимумы другой. При
этом видимость полос будет плохой – полосы пропадают. При дальнейшем изменение
расстояния, полосы появляются снова. Измерив расстояния между щелями D0, при
котором произошло первое ухудшение видимости полос, мы можем определить угловое
расстояние θ из условия.
λ
θ=—
2D0
Майкельсон в 1920 г. измерил этим методом угловое расстояние между
компонентами двойной звезды Капеллы, оказавшемся равным 0,042″.
Современные дифракционные решетки.
Уточним в начале физические принципы действия решеток. Заметим, что при выводе
формулы
sinu sinNβφ
I0N2d2
2
2
Iφ = I0 (——) (———) = ——— sin2(πmb/d)
u
sinβφ
b2π2m2
Следует отметить, что соотношение
Iφ∽ 1/m2
не является универсальным. При выводе формулы Iφ предполагалось, что плоскость
каждой щели совпадает с плоскостью каждой решетки и не учитывалась дополнительная
разность фаз, возникающая при прохождении плоской волны тела самой решетки. Т.е.
решилась не только одномерная , но и линейная задача, в которой никак не усчитывалась
форма штрихов. Все эти ограничения приближенно соблюдались в старых решетках,
называемые амплитудными и формула Iφ хорошо согласовывалась с данными
экспериментами.
Современная решетка представляет собой систему штрихов, в которой фактически
нет плоских промежутков. На стеклянной или металлической поверхности нанесено
громадное количество бороздок в полнее определенной формы (профильные штрихи),
непосредственно примыкающие друг к другу – фазовая решетка.
Плоская волна примыкает в профильный штрих, причем отдельные его элементы
создадут запаздывание по фазе, тaк как волновая поверхность достигает разных участков
штриха в различные моменты времени. Это запаздывание по фазе следует учитывать при
расчете дифракционной картины. Это приводит к тому, что (sinu/u)2 в выражении Iφ нужно
заменить другой, зависящей от геометрии штриха. Соответственно измениться и
распределение интенсивности между главными max. Второй множитель в Iφ , практически
останется прежним. Для фазовых решеток Iφ∽ 1/m2 ни в коем случае не справедливо.
В отраженных решетках max Iφ дифрагировавшего света
наблюдается направление луча, зеркально отраженного от
одной из плоскостей штриха. Это значит, что при угле
падения θ max дифрагировавшего света наблюдается под
углом φ, который определяется из условия
Imax, φ → φ = θ + 2ε
где ε – угол исследуемой грани штриха к поверхности
решетки.
Imax, φ → φ =2dsinε = mλ
2dsinε
m = ———
λ0
Где m тот порядок дифракционного спектра, в котором должна наблюдаться max
интенсивность волны λ0. С удовлетворительным приближением можно считать, что
распределение интенсивности по главным max как бы сдвинется относительно прежнего,
для которого функция (sinu/u)2 имела максимальное значение при m=0. Так, например,
при значении ε, удовлетворяющего условию
2dsinε
——— = 3
λ0
Imax, φ излучения длины волны λ0 наблюдается в (m = 3) третьем порядке, где
интенсивность света, дифрагировавшего на амплитудной решетке при соотношении d/b =
3 была бы равна нулю.
Так же следует отметить, что классическая теория дифракции связана с решением
скалярной задачи, в которой не учитывается поляризация излучения, которая оказывается
наиболее выражена при использовании металлических дифракционных решеток.
Известно, что для идеального проводника проникновение волны в металл, ничтожно мала,
тангенсальная составляющая электрического поля исчезает (Е∥ = 0), а Нτ (Н∥ ) терпит
разрыв. В результате прозрачная дифракционная решетка с чередованием проводящих и
непроводящих элементов (для достаточно длинных волн) как весьма эффективный
поляризатор, пропускающий лишь ту волну, в которой вектор Е перпендикулярен
штрихам решетки (Е⊥).
Разное взаимодействие Е∥ и Е⊥ с металлической поверхностью и для отражательных
решеток. Оно существенно зависит от формы штриха (разное проникновение
тангенсальной Е∥ и нормальной Е⊥ - составляющих в глубь тела решетки), и возникает
различие в коэффициентах отражения (ρ∥ и ρ⊥), что приводит к поляризации
дифрагировавшей волны.
Так например, для d = 3 мкм (300 штрихов на 1 мм)
при λ > 1 мкм отношение ρ⊥/ ρ∥ резко возрастает, т.е.
решетка начинает работать как поляризатор.
Величину эффекта можно изменять, варьируя форму
штриха решетки. При создании на дне штриха
плоской площади шириной от d/6 до d/3 для обеих
компонент можно напряженности электрического
поля (Е∥ и Е⊥) условия отражения становятся
примерно одинаковыми и отношение ρ⊥/ ρ∥ мало
отличается от единицы.
Дифракция света на правильной структуре (Дифракционная решетка)
При дифракции света на правильной структуре необходимо учесть взаимодействие
пучков, дифрагировавших на многих однотипных отверстиях в непрозрачном экране.
Дополнительный интерференционный эффект будет наблюдаться лишь при правильном
их распределении, т.е. когда расстояния между отверстиями равны друг другу или
изменяются по определенному закону. Только в таком случае (источник когерентный)
разность фаз между дифрагировавшими волнами будет сохраняться неизменной, и
интерференционный член будет отличен от нуля, при хаотическом расположении
отверстий распределение интенсивностей останется таким же, как и в случае одного
отверстия, и никаких дополнительных эффектов не возникает.
Рассмотрим правильную структуру с N параллельных щелей, с шириной каждой
щели, равной b, и расстояние между соседними щелями, равными а, (такая структура
называется дифракционной решеткой). На эту структуру нормально падает плоская
монохроматическая волна. Найдем интенсивность света Iφ распространяющегося в
направлении, составляющим угол φ с нормалью у плоскости, в которой лежат все N
щелей.
От элемента dx какой – то n – й щели в направлении φ (направляющий косинус sinφ)
распространяется волна вида
A0
dAn = — e i{ωt – k[(n – 1)d + x]sinφ} dx
b
(1)
A0
An = — e i[ωt – k(n – 1)dsinφ]
b
(2)
N
e – ikxsinφ dx
N
A = ∑ An = A0/b e ∑ e
n =1
n =1
iωt
– ik(n – 1)dsinφ
e – ikxsinφ dx
(3)
A0
—=
b
e
– ikxsinφ
sinu
dx = A0 —— , где
u
sinu
N
iωt
A = A0 —— e ∑ e
u
n =1
Рассмотрим
N
– ik(n – 1)dsinφ
(4)
(5)
∑
N
∑e
n =1
πb
u = —— sinφ
λ
– ik(n – 1)dsinφ
=∑ e
n =1
– i(2π/λ) (n – 1)dsinφ
, где k = 2π/λ
(6)
e – i2β(n – 1) = 1 + e - i2β + e – i4β + e – i8β + … + e - i2β(N – 1)
(7)
πd
обозначим —— sinφ = βφ
λ
N
∑
n =1
1 - qN
Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = exp2βφ, сумма которой ———
1–q
N
∑
e – i2β(n – 1) = (1 - e - i2Nβ) / (1 - e - i2β)
(8)
n =1
Для оценки Iφ вычислим произведение суммы на сопряженную ее величину (A2 = AA*)
N N
1 – e - i2Nβ 1 – e - i2Nβ
2 - e - i2Nβ - e - i2Nβ
2 – (e - i2Nβφ + e - i2Nβφ)
∑ ∑* = ———— ———— = ——————— = ———————— =
n =1 n =1
1 – e - i2β 1 – e - i2β
2 - e - i2β - e - i2β
2 – (e - i2βφ + e - i2βφ)
1 – cos2βφN
sin2 βφN
= —————— = ————
1 – cos2βφ
sin2 βφ
(9)
Для вычисления (9) мы использовали следующие формулы:
cosα = ½ (eiα + e –iα); sin2α + cos2α = 1 и cos2α = cos2α - sin2α
окончательно получаем, для амплитуды и интенсивности света, распространяющегося под
углом φ к нормали на правильной структуре из N щелей.
sinu sinNβφ
Aφ = A0 —— ———
u
sinβφ
sinu
sinNβφ
πb
πd
Iφ = A20 (———)2 (———)2 , где u = —— sinφ, βφ = —— sinφ
u
sinβφ
λ
λ
Множитель (sinu/u)2 характеризует распределение Iφ в результате дифракции плоской
волны на каждой щели, а множитель (sinNβφ/sinβφ)2 характеризует интерференцию между
пучками, исходящими от всех щелей.
I0 для φ = 0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку. Следовательно
при дифракции на решетке, как и при дифракции от двух щелей, почти весь свет
сосредоточен в области центрального максимума от одной щели. Угловая ширина этого
максимума равна 2λ/b. Так как ширина каждой щели b обычно очень мала, этот максимум
очень широкий, и на его протяжении укладывается несколько главных максимумов
решетки.
Проведем краткий анализ полученного результата
Усиление колебаний ⇒ dsinφ = mλ (*), m = 0, 1, 2, … - порядок дифракции
πd
βφ = —— sinφ = mπ
λ
(11)
т.е. sinNβ = 0 и sinβ = 0. Известно, что
sinNβφ
lim ——— = N и, следовательно
sinβφ→0 sinβφ
sinu
(Iφ)max = I0 (——)2 N2
u
(12)
т.е при выполнение условия (*) интенсивность света прошедшего через каждую щель
возрастает и N2 раз. Если бы N щелей располагались хаотически, то интерференционный
член равнялся бы нулю, и I пропорциональна числу щелей (неправильной структуры)
mλ
При sinφ = ——;
d
sin2 (πbm/d) sin(πmN)
A20N2d2
Im = A2 = A20 ————— ( ————)2 = ———— sin2(πbm/d) ⇒ Iφ ∽ 1/m2
(π2b2m2/d2) sin(πm)
π2b2m2
c увеличением m резко падает интенсивность для m – го max, существенно зависит от b/d,
переобозначив bm/d = m′, ⇒ sinπm′ = 0, ⇒ Imin , т.е получим условие Imin на 1 - ой щели.
Максимумы, возникающие при выполнение условия (*) называются главными
максимумами. Они появляются при одновременном
sinNβφ = 0
⇒ главные max Iφ
sinβφ = 0
(13)
Между ними появляются (N – 1) минимумов Iφ
sinNβφ = 0
⇒ (N – 1) min Iφ
(14)
sinβφ ≠0
Между этими Imin,φ (14) находятся побочные или дополнительные max, но с очень малой
интенсивностью, относительно главных Imax, особенно сростом N.
Для исследования появления главных и дополнительных max запишем следующий
ряд
Nβ = 0, 2π, … (N – 1)π, Nπ,
max
min
max
(N + 1)π, … 2(N – 1)π,
min
2Nπ, …
max
Если разность хода равна целому числу длин волн, то вдоль этого направления,
волны от всех щелей будут распространятся в одной фазе. По этому направлению
произойдет интерференционное усиление волн.
Imax (гл. max) → dsinφ = 0, λ, 2λ, … , mλ
(16)
Условия Imin для решетки будут такими же, как и для одной щели
Imin → bsinφ = λ, 2λ, … , mλ
(17)
При одновременном выполнение условий (16) и (17) некоторые max будут
отсутствовать. Это возможно если, d и b соизмеримы, у решетки с а = b будут
отсутствовать четные max.
dsinφ = 0, λ, 2λ, 3λ, 4λ … , т.к. dsinφ = 2bsinφ ⇒ bsinφ = 0, λ/2, λ, 3λ/2, 2λ, …
В то же самое время, по некоторым направлениям лучи от разных щелей будут гасить
друг друга при интерференции
Например:
Для трех лучей
→ → →
а + b + c = 0, если угол 600 или 1200 или разность хода между лучами λ/3, или 2λ/3
При четырех лучах гашение происходит при сдвиге фаз между соседними лучами,
кратном π/2, т.е. при разности хода λ/4, 2λ/4, 3λ/4.
Итак для: N = 1
bsinφ = mλ (m = 1, 2, 3, …)
N=2
dsinφ = λ/2
N=3
dsinφ = λ/3, 2λ/3
N=4
dsinφ = λ/4, 2λ/4, 3λ/4
(18)
………………………………..
N = N dsinφ = λ/N, 2λ/N, … , (N – 1)λ/N
Imax,φ dsinφ = 0, λ т.е между соседними max ∃ ряд min, в зависимости от N
а) Между двумя главными max располагаются (N – 1) добавочных min (см. ф–лу (15))
b) Поскольку по обе стороны от главного max располагаются min, определяемые условием
(18), следует, что ширина светлой полосы тем меньше, чем больше число щелей N. Для
угловой ширины полосы получаем из условия
σ‫׀‬dsinφ‫ = ׀‬λ/N
dcosu σφ = λ/N
λ
σφ = ————
Nd cosφ
(19)
Чем меньше d (постоянная решетки), тем больше угловое расстояние между главными
max.
Рассмотрим случай падения плоской волны на дифракционную решетку под
некоторым углом. Обозначим через θ угол между пучка и направлением нормали к
решетке.
Для возникновения главных max вместо
dsinφ = mλ получаем условие
d(sinφ - sinθ = mλ = ∆). Случай ∆ = d(sinφ + sinθ) =
mλ – для отражательных дифракционных решеток.
Тогда
d(sinθ – sinφm) = 2dcos[(φ + θ)/2]sin[(θ – φ)/2] = mλ
при d≫λ , φm≪1 и φ≈θ, тогда
½(φ + θ)≈θ и sin½(θ – φ)≈½(θ – φ) тогда имеем
(dcosθ)( θ - φm) = mλ (для ⊥ падения dφm = mλ) т.е.
угол между направлениями на нулевой max (θ - φm)
вычисляется так же, как если бы падение было
нормальным, но решетка имела бы уменьшенный
период, d‫ = ׳‬dcosθ. Если θ → π/2, то период сильно
уменьшается.
Полученные результаты справедливы с равномерным пропусканием по щели. Если
амплитудный коэффициент пропускания τ непостоянен, то
sinu
sinNβ
Iφ = I0 (———)2 (————)2
u
sinβ
(20)
может иметь другой вид
Ex = A0/b [1 – cos(2πx/b)]
(21)
а решетка образована системой щелей b = d с пропусканием по формуле (21).
Распределение интенсивности света, дифрагированного на щели будет задаваться законом
Aφ = A0/b e iωt
[1 – cos(2πx/b)] e – ikxsinφ dx
sinu
1
Iφ = I0 (———)2 (——————) , где u = (πb/λ)sinφ
u
[1 – (u/π)2]2
πb
и при u = β = —— sinφ, тогда вместо (20) получим
λ
sin2Nβ
Iφ = I0 ——————
β2[1 – (β/π)2]2
(24)
Из уравнения (24) ⇒∃ трёх max β = 0, ±π. Другими словами будут наблюдаться лишь
нулевой и два первых (m = ±1) порядка дифракционного спектра.
Применяя решетки с малым периодом (d) и пользуясь спектрами (m) высших
порядков, мы можем получить значительные углы дифракции (φ) и таким образом очень
точно измерить длины волн (λ). Несмотря на высокое качество современных решеток, в
них нередко наблюдается некоторые незначительные искажения единого строго
выраженного на всем протяжении решетки периода, это влечет за собой отступление от
формулы (20) и такое нарушение влечет за собой появление добавочных max, «духов»,
обычно не сильных. Появление «духов» не редко приводит к ошибкам при анализе
спектра дифракционной решеткой.
Итак: Рассмотрение действия дифракционной решетки показывают, что при
большом числе щелей свет, прошедшей через решетку, собирается в отдельных, резко
отчерченных участках экрана. Положение на этих участках, определятся формулой dsinφ
= mλ, зависит от длины волны λ, т.е. дифракционная решетка есть спектральный прибор.
Чем меньше длина волны λ, тем меньше значение угла φ соответствует положению max.
Таким образом белый свет растягивается в спектр так, что внутренний край его окрашен в
фиолетовый цвет (0,4мкм), а наружный в красный (0,8 мкм). Значение m = 0 определяет
max по направлению φ = 0 для всех значений λ. Следовательно, нулевой спектр
представляет собой белое пятно.