СРС ДМ-МЛ -2023

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Электротехнический факультет
Кафедра автоматики и телемеханики
СРС по дисциплине «Дискретная математика и математическая логика»
(Вариант 11)
Выполнил: студент группы КОБ-20
Иванов И.И.
Проверили:
Ассистент НИКИТИН М.С.,
Доцент, к.т.н. КАМЕНСКИХ А.Н.
Профессор кафедры АТ
Заслуженный изобретатель РФ,
доктор технических наук,
профессор ТЮРИН С.Ф.
Пермь –2021 г.
Варианты заданий по дисциплине «Дискретная математика и
математическая логика»
Номер варианта соответствует номеру студента по списку группы.
Теоретическое задание
В отдельной тетради для конспектов лекций и самостоятельной
работы должны быть представлены записанные от руки ответы на все
вопросы к экзамену, как подтверждение факта их глубокого изучения.
Практическое задание (ДЗ)
Выполняется во второй, отдельной тетради - решение задач по
вариантам, номер варианта соответствует номеру по списку группы.
Теория множеств.
Задание 1:
Выполнить операции над множествами.
1.1. Множества M, А, В, С – произвольные, множество I – универсальное
(универсум),  - пустое множество.
1.2. Представить результат графически на диаграмме Эйлера для трех взаимно
пересекающихся множеств А, В, С и записать в виде объединения пересечений
(конституент единицы) с использованием, где необходимо операции дополнения.
Получить то же алгебраически.
Вариант 1. 1)  \М = (написать ответ),
(А\В) ( B  C ) =
Вариант 2. 1) M  M  (написать ответ),
2) (( A  C ) \ B)  ( A  B) =
Вариант 3. 1) M  I  (написать ответ),
2) ( A \ B )  ( B \ C )  (C \ A) =
Вариант 4. 1) M  M  (написать ответ),
2) (( A \ B )  ( B \ C ) =
Вариант 5. 1)  \I  (написать ответ),
2 ( A  B)  ( B  C )  ( A  C ) =
Вариант 6. 1) M  I  (написать ответ),
2) A  B  C =
Вариант 7. 1) M  I  (написать ответ),
2) (( A  B ) \ C )  A =
Вариант 8. 1) M \ I  (написать ответ),
2) ((C \ A)  B)  ( A  B  C )) =
Вариант 9. 1) I  M  (написать ответ),
2) (( A  B )  ( A  C )  ( B  C )) \ ( A  B  C ) =
Вариант 10. 1)  \M =(написать ответ),
2) ( A  B  C ) \ A =
Вариант 11. 1) M  I  (написать ответ),
2) ( B  C ) \ ( B  C ) =
Вариант 12. 1) I   =(написать ответ),
2) ( A \ ( B  C )) \ ( B \ C ) =
Вариант 13. 1) I  I =(написать ответ),
2) ( A  B)  ( A  C ) \ ( B  C ) =
Вариант 14. 1) I \ M =(написать ответ),
2) (( A  B ) \ C )  (( A  C ) \ B ) =
Вариант 15. 1) M  M =(написать ответ),
2) (( B  C ) \ C )  B  A =
Вариант 16. 1) M \ I =(написать ответ),
2) ( A  B  C )  ( A  B) =
Вариант 17. 1) M  I =(написать ответ),
2) (( A  B ) \ C )  A =
Вариант 18. 1) I  I =(написать ответ),
2) (C \ ( A  B ))  ( B \ ( A  C ) =
Вариант 19. 1) M \ M =(написать ответ),
2) ( A  B  C )  ( A  B  C ) =
Вариант 20. 1) M   =(написать ответ),
2) (( A  C )  ( A  B))  C =
Вариант 21. 1) M \ M =(написать ответ),
2) ( A  C  B)  ( A  C ) =
Вариант 22. 1) I  M =(написать ответ),
2) ( A  B ) \ ( A  C ) =
Вариант 23. 1) M  M =(написать ответ),
2) ( A \ ( B  C  A)) =
Вариант 24. 1) I \ M =(написать ответ),
2) (( B  C ) \ A)  ( A  C ) =
Вариант 25. 1) M   =(написать ответ),
2) (( A  B)  C ) \ A =
Вариант 26. 1) M   =(написать ответ),
2) (( A  B ) \ ( A  B  C ))  C =
Вариант 27. 1) M  M =(написать ответ),
2) ( A  B  C ) \ ( A  B  C ) =
Вариант 28. 1) M \ M =(написать ответ),
2) ( A  C ) \ ( A  B ) =
Вариант 29. 1) M   =(написать ответ),
2) ( A  B  C )  ( B  C  A) =
Вариант 30. 1) M  M =(написать ответ),
2) ( A  C  B )  ( A  C  B ) =
Вариант 31. 1) M  M =(написать ответ),
2) (( A  C )  ( A  B )  ( B  C ))
Вариант 32. 1) M \ M =(написать ответ),
2) ( B  C ) \ A =
Вариант 33. 1) M  I =(написать ответ),
2) ( A \ B )  ( B \ C )  (C \ A) =
Вариант 34. 1) M  M =(написать ответ),
2) ( A \ B )  ( B \ C ) =
Вариант 35. 1)  \ I =(написать ответ),
2) ( A  B )  ( B  C )  ( A  C ) =
Задание
2:
По
заданному десятичному
числу, которое
вычисляется
следующим образом : 130 + номер по списку группы, заштриховать на
диаграмме Эйлера для трех взаимно пересекающихся множеств А, В, С
соответствующую область и записать ее в виде объединения конституэнт.
Выполнить операции объединения, пересечения и симметрической разности
заданного номером множества с множеством №211.
Комбинаторика.
Задание №3. Решить комбинаторную задачу. Выполнить
вычисления по пунктам 1-3 в EXEL и приложить скриншоты.
Вариант 1.
1.Сколькими способами можно набрать баллы после трех «контрольных точек», если
максимальное число баллов по каждой равно 10?
2.Определить число вариантов перестановок разрядов в коде доступа 01032.
3. На складе имеется три типа оборудования. Сколько комплектов можно подготовить для
оснащения им 5 торговых павильонов?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 2.
1.Сколькими способами можно занять места в аудитории, имеющей 15 мест, группой
обучающихся из 4 –х человек?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 3-х автомобилей 3-х типов?
Перечислить варианты.
3. Сколькими способами можно выбрать подгруппу из 4-х студентов из группы, состоящей
из 8-ми человек?
x 1
x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 2 x : C 2 x1  2 : 3 x N .
Вариант 3.
1.Сколько вариантов состояний имеет экономическая система из 9 подсистем, если каждая
подсистема может находиться в 5-ти возможных состояниях?
2.Сколько комбинаций банковских шифров можно получить перестановкой цифр в шифре
20287?
3. Сколькими способами можно выбрать пары состояний из пяти состояний экономической
системы?
3 x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 3 x1  120 x N .
Вариант 4.
1.Сколько вариантов состояний имеет государство из четырех губерний, каждая из
которых может находиться в одном из следующих состояний: а) экономический рост, б)
экономический спад, г) стабильное развитие?
2.Сколькими способами может руководитель фирмы назначить на 5 должностей 2-х
специалистов с высшим образованием? Перечислить варианты.
3. Сколько пар могут составить три юноши в обществе пяти девушек?
x4
3
15 C x 1  7 Ax 1
4. Решить комбинаторное уравнение
x N .
Вариант 5.
1.Сколько комбинаций двоичных коэффициентов a,b,c,d имеется для уравнения
ax-by+cz-dw=0 ?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 3-х велосипедистов? Перечислить
варианты.
3. Сколькими способами можно составить векторов-составов из 4-х предприятий трех
типов?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Вариант 6.
1.Сколько вариантов трёхсимвольных кодов из алфавита {#,@,&}
2.Сколькими способами можно расставить автомобили 10 наименований по трем
стоянкам, если на первую должно быть поставлено 3, на вторую –5, а на треть –2?
3. Сколькими способами можно выбрать три квартиры из предложенных восьми?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 7.
1.Сколько существует вариантов открытия тремя предпринимателями трех типов
промышленных предприятий?
2.Сколькими способами можно составить цепочки из символов &, *, ^, $?
3. Сколькими способами можно выбрать два особняка в Перми из предлагаемых пяти?
x 1
x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 2 x : C 2 x1  2 : 3 x N .
Вариант 8.
1.Сколькими способами пять семей приобретут по одной квартире в восьми квартирном
доме?
2.Сколькими способами можно переставить три строки и два столбца некоторой матрицы?
3. Сколько можно выбрать подгрупп из четырех специалистов, если в группе
специалистов 7 человек?
3 x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 3 x1  120 x N .
Вариант 9.
1.Подсчитайте число цепочек, состоящих из 5-ти символов 3-х типов.
2.Сколькими способами можно переставить буквы в логине «перешеек»?
3. Сколько можно составить бригад из 5 инженеров 4-х специальностей?
x4
3
15 C x 1  7 Ax 1
4. Решить комбинаторное уравнение
x N .
Вариант 10.
1. Подсчитайте число программ на языке АССЕМБЛЕР, не обязательно имеющих смысл,
состоящих из 4-х команд 3-х типов?
2. Подсчитайте число пин-кодов, получаемых перестановками символов в коде 0132?
3.Сколько пар можно выбрать из 5-ти сотрудников?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Вариант 11.
1.Сколько десятичных трехзначных номеров существует?
2.Определить число вариантов перестановок символов в слове авасд.
3. Имеется три типа альпинистской обуви. Сколькими способами можно оснастить пятерых
экстремалов?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 12.
1.Сколькими способами можно занять места на соревнованиях, в которых участвуют 15
спортсменов, командой из 4 –х человек, если никакие два участника не набирают
одинакового количества очков?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 3-х кораблей 3-х типов? Перечислить
варианты.
3. Сколькими способами можно выбрать подгруппу из 4-х экономистов в группе, состоящей
из 8-экономистов?
x 1
x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 2 x : C 2 x1  2 : 3 x N .
Вариант 13.
1.Сколько вариантов состояний имеет устройство из 9 микросхем, если каждая микросхема
может находиться в 5-ти возможных состояниях?
2.Сколько комбинаций шифров можно получить перестановкой цифр в шифре 80827?
3. Сколькими способами можно выбрать пары состояний из пяти состояний устройства?
3 x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 3 x1  120 x N .
Вариант 14.
1.Сколько вариантов состояний имеет государство из четырех республик, каждая из
которых может находиться в одном из следующих состояний: а) экономический спад, б)
стабильность, г) экономический подъём?
2.Сколькими способами может руководитель департамента экономики назначить на 5
должностей 2-х специалистов с высшим образованием? Перечислить варианты.
3. Сколько пар могут составить три девушки в обществе пяти юношей?
x4
3
15 C x 1  7 Ax 1
4. Решить комбинаторное уравнение
x N .
Вариант 15.
1.Сколько комбинаций двоичных коэффициентов a,b,c,d имеется для уравнения
ax+by+cz-dw=0 ?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 3-х гироскутеров? Перечислить
варианты.
3. Сколькими способами можно составить наборы продуктов из 4-х продуктов трех
типов?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Вариант 16.
1.Сколько трёхцветных (трёхполосных) футболок можно сшить из материала 4-х цветов?
2.Сколькими способами можно расставить автобусы 10 наименований по трем стоянкам,
если на первую должно быть поставлено 3, на вторую –5, а на треть –2?
3. Сколькими способами можно выбрать три квартиры из предложенных восьми?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 17.
1.Сколько существует вариантов приобретения тремя предприятиями трех типов сырья?
2.Сколькими способами можно составить последовательности из символов &, ^, *, $?
3. Сколькими способами можно выбрать два участка в Заозерье из предлагаемых пяти?
x 1
x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 2 x : C 2 x1  2 : 3 x N .
Вариант 18.
1.Сколькими способами пять семей приобретут по одной квартире в восьми квартирном
доме?
2.Сколькими способами можно переставить три столбца и две строки некоторой
матрицы?
3. Сколько можно выбрать подгрупп из четырех специалистов, если в группе
специалистов 7 человек?
4. Решить комбинаторное уравнение
C
3 x 1
3 x 1
 120
x N .
Вариант19.
1.Подсчитайте число слов, не обязательно имеющих смысл, состоящих из 5-ти букв из
множества {а,е,о}?
2.Сколькими способами можно переставить буквы в слове «Веремеев»?
3. Сколько можно составить бригад из 5 -ти рабочих 4-х специальностей?
x4
3
15 C x 1  7 Ax 1
4. Решить комбинаторное уравнение
x N .
Вариант 20.
1. Подсчитайте число программ, не обязательно имеющих смысл, состоящих из 4 команд
трех типов?
2. Подсчитайте число последовательностей, получаемых перестановками символов в
последовательности 0132?
3.Сколько пар можно выбрать из 5-ти бухгалтеров?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Вариант 21.
1.Сколькими способами может набрать очки спортсмен после трех выстрелов по мишени из
9-ти секторов?
2.Определить число вариантов перестановок разрядов в векторе 010323.
3. Имеется три типа снаряжения. Сколькими способами можно оснастить 4-х спасателей?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 22.
1.Сколькими способами можно занять места в аудитории, имеющей 10 мест, группой
учащихся из 4 –х человек?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 4-х автомобилей 4-х марок?
Перечислить варианты.
3. Сколькими способами можно выбрать подгруппу из 4-х учащихся из группы, состоящей
из 9-ми человек?
x 1
x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 2 x : C 2 x1  2 : 3 x N .
Вариант 23.
1.Сколько вариантов состояний имеет система из 8 подсистем, если каждая подсистема
может находиться в 5-ти возможных состояниях?
2.Сколько комбинаций шифров можно получить перестановкой цифр в шифре 202870?
3. Сколькими способами можно выбрать пары состояний из пяти состояний экономической
системы?
3 x 1
4. Решить комбинаторное уравнение
C 3 x1  120 x N .
Вариант 24.
1.Сколько вариантов состояний имеет государство из трёх губерний, каждая из которых
может находиться в одном из следующих состояний: а) экономический рост, б)
экономический подъём, г) нестабильность?
2.Сколькими способами может руководитель фирмы назначить на 4 должностей 2-х
специалистов с высшим экономическим образованием? Перечислить варианты.
3. Сколько пар могут составить три джентльмена в обществе пяти леди?
x4
3
15 C x 1  7 Ax 1
4. Решить комбинаторное уравнение
x N .
Вариант 25.
1.Сколько комбинаций двоичных коэффициентов a,b,c,d имеется для уравнения
ax-by+cz+dw=0 ?
2.Сколькими способами можно построить колонну из 3-х автомобилей? Перечислить
варианты.
3. Сколькими способами можно составить наборы инструментов из 3-х устройств трех
типов?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Вариант 26.
1.Сколько трёхцветных трёхполосных билбордов можно предложить из материала 3-х
цветов?
2.Сколькими способами можно расставить автокраны 10 наименований по трем стоянкам,
если на первую должно быть поставлено 3, на вторую –5, а на треть –2?
3. Сколькими способами можно выбрать три земельных участка из предложенных восьми?
1
2
4. Решить комбинаторное уравнение
Ax * C x  48 x N .
Вариант 27.
1. Подсчитайте число паролей, состоящих из 5 символов {@,$,+}?
2. Подсчитайте число последовательностей, получаемых перестановками символов в
последовательности 013270?
3.Сколько пар можно выбрать из 8-ми специалистов?
1
2
3
4. Упростить выражение 1  7 C n  12 C n  6 C n
x N .
Теория графов.
Задание №4 а) Задан неориентированный граф без петель из пяти
вершин строками матрицы смежности в виде шестнадцатеричного
числа, где первая цифра - первая строка, вторая цифра – вторая
строка и т.д. Изобразить по заданному шестнадцатеричному числу
граф в виде рисунка и определить степени всех вершин,
цикломатическое и хроматическое число.
( Вариант соответствует номеру по списку подгруппы).
Вариант 1). 9221
Вариант 2). А321
Вариант 3). В331
Вариант 4). С421
Вариант 5). Д431
Вариант 6). 9221
Вариант 7). F531
Вариант 8). E631
Вариант 9). D521
Вариант 10). C431
Вариант 11). B321
Вариант 12). F721
Вариант 13). 9431
Вариант 14). F321
Вариант 15). E231
Вариант 16). D431
Вариант 17). C521
Вариант 18). B731
Вариант 19). A731
Вариант 20). 9531
Вариант 21). F221
Вариант 22). C721
Вариант 23). B531
Вариант 24). A621
Вариант 25). D231
Вариант 26). 9220
Вариант 27). 9221
Изучить программный продукт Grin (GRaph INterface) (http://graphsoftware.narod.ru/main.html). Представить распечатки решения задачи определения
хроматического числа, определения Эйлерова и Гамильтонова циклов для графа по
своему варианту.
Задать произвольно веса рёбер и решить задачу определения кратчайшего пути.
б) Задан ориентированный граф из четырёх вершин
четырёхразрядным шестнадцатеричным числом, где каждая цифра
соответствует двоичной строке матрицы смежности 4×4.
Получить матрицу всех путей длиной 2 путем возведения в
квадрат соответствующей булевой матрицы (вместо суммирования
используется операция дизъюнкции).
Вариант 1). 5382Н
Вариант 2). 6382Н
Вариант 3). 5А82Н
Вариант 4). 5В82Н
Вариант 5). 4А82Н
Вариант 6). 3А82Н
Вариант 7). 7В82Н
Вариант 8). 53С2Н
Вариант 9). 63С2Н
Вариант 10).63С6Н
Вариант 11).63САН
Вариант 12).63СЕН
Вариант 13).53СЕН
Вариант 14).43СЕН
Вариант 15). 53D2Н
Вариант 16). 53D6Н
Вариант 17). 53D4Н
Вариант 18). 53DАН
Вариант 19). 53DЕН
Вариант 20). 5ВD2Н
Вариант 21). 5ВD6Н
Вариант 22). 5ВD4Н
Вариант 23). 5ВDЕН
Вариант 24). 5ВD8Н
Вариант 25). 4ВD6Н
Вариант 26). 7ВD6Н
Автоматы.
Задание
5:
По
заданному десятичному
числу
получить
номер
переключательной функции трёх переменных в двоичном, восьмеричном и
шестнадцатеричном кодах, таблицу истинности соответствующей функции
(ПФ), определить СДНФ, СКНФ, символическую форму функции.
Минимизировать функцию по кубу соседних чисел и карте Карно.
Варианты заданий: соответствуют номеру по списку группы.
1)
ПФ №241
2)
ПФ №165
3)
ПФ №155
4)
ПФ №143
5)
ПФ №70
6)
ПФ №29
7)
ПФ №183
8)
ПФ №248
9)
ПФ №234
10)
ПФ №77
11)
ПФ №253
12).
ПФ №249
13)
ПФ №71
14)
ПФ №224
15)
ПФ №229
16)
ПФ №90
17)
ПФ №88
18)
ПФ №133
19)
ПФ №247
20)
ПФ №161
21)
ПФ №244
22)
ПФ №150
23)
ПФ №181
24)
ПФ №39
25)
ПФ №157
26)
ПФ №251
27)
ПФ №79
28)
ПФ №67
29)
ПФ №105
30)
ПФ №142
31)
ПФ №43
Б). Получить
булевы производные первого порядка минимизированной
функции по всем переменным. Выполнить проверку.
В).Представить
функцию в базисе Жегалкина. Выполнить проверку
полученного полинома.
Задание 6: Построить асинхронный автомат Мили – распознаватель заданной
последовательности для двух бинарных входов:
Вариант
Последовательность
Вариант
Последовательность
1
20132
15
10231
2
01313
16
10131
3
02023
17
13102
4
10132
18
13131
5
02013
19
13201
6
01023
20
13232
7
02023
21
23102
8
01013
22
23132
9
02310
23
23201
10
10232
24
23231
11
13202
25
23232
12
13132
26
20231
13
02313
27
23201
14
10231
28
23131
Кодирование.
Задание7: Построить матрицу Хэмминга, уравнения кодирования и декодирования для заданного
количества информационных разрядов. Привести пример кодирования и декодирования.
1) N=6
2) N=7
3) N=8
4) N=9
5) N=10
6) N=11
7) N=12
8) N=13
9) N=14
10) N=15
11) N=16
12) N=17
13) N=18
14) N=19
15) N=20
16) N=21
17) N=22
18) N=23
19) N=24
20) N=25
21) N=26
22) N=27
23) N=28
24) N=29
25) N=30
26) N=31
27) N=32
28) N=33
29) N=34
30) N=34
31) N=34
Задание 8: Закодировать с помощью циклического кодирования (порождающий
полином G(X3) = X3 + X + 1 ) информационную посылку, десятичный номер которой
соответствует сумме номера студента по списку и числа 100.
Продемонстрировать декодирование при передаче информации а) без ошибки;
б) с однократной ошибкой; в) с многократной ошибкой; г) с ошибкой, кратной
порождающему полиному.
Варианты – по заданию 5
1. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. –
М.: Финансы и статистика, 2006. –357 с.
2. С.Ф.Тюрин. Аляев Ю.А. Практическая дискретная математика и
математическая логика – М.: Финансы и статистика, 2010. – 384 с.
3. Тюрин С.Ф., Ланцов В.М. Дискретная математика & математическая логика:
учеб. пособие. Перм. нац. исслед. политехн. ун-т. – Пермь: Изд-во ПНИПУ,
2013. – 271 с.
4. Дискретная математика + математическая логика. Учеб. пособие / C.Ф. Тюрин.
– Пермь: Изд-во Перм. нац. иссл. политех. ун-та, 2020. –50 с.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Формальная логика
Задание №9. Доказать или опровергнуть умозаключение
заданному модусу путём построения диаграмм Эйлера.
по
Варианты заданий в формате: (номер варианта, номер фигуры силлогизма, название фигуры)
Вариант
Название
Фигура
1
Celarent
1
2
Darii
1
3
Ferio
1
4
Cesare
2
5
Camestres
2
6
Festino
2
7
Baroko
2
8
Darapti
3
9
Disamis
3
10
Datisi
3
11
Felapton
3
12
Bocardo
3
13
Ferison
3
14
Bramantip
4
15
Camenes
4
16
Dimaris
4
17
Fesapo
4
18
Fresison
4
19
Camenos
4
20
Camestrop
2
21
Cesaro
2
22
Barbari
1
23
Celaront
1
24
Celarent
2
25
Darii
3
26
Ferio
4
27
Cesare
3
28
Camestres
3
29
Festino
1
30
Baroko
1
31
Darapti
1
Логика и алгебра высказываний.
Задание №10:
Формализовать заданное высказывание. Получить СДНФ, СКНФ, ДНФ, КНФ.
Представить высказывание в виде суперпозиции только следующих
операций 1) «Штрих Шеффера», 3) «Стрелка Пирса», 3)»Импликация» и
«Отрицание», 4) «Импликация» и «Константа нуля»(«0»).
Выполнить разложение Шеннона дизъюнктивное и конъюнктивное по
старшей переменной.
1.1 Если нарушитель пытается взломать систему безопасности, то блокируется дверь и
автоматически подаётся сигнал вызова охраны
1.2 Если сотрудник покажется охраннику подозрительным или не пройдёт биометрический
контроль, то его задерживают до выяснения обстоятельств
1.3 Если возникает угроза захвата специальной документации, её необходимо уничтожить
установленным образом и доложить непосредственному начальнику.
1.4 Подтверждение №1 или №2 осуществляется тогда и только тогда, когда реализуется план В.
1.5 Если срабатывает датчик YW, то это означает ситуацию вторжения на объект R или на объект
Q
1.6 Угроза типа F возникает тогда и только тогда, когда ситуация №1 эквивалентна ситуации №2
1.7 Угроза типа F не возникает тогда и только тогда, когда если пароль отменяется, то
запрашивается биометрическая идентификация.
1.8 Неверно, что если система функционирует без отказов и фиксируется ситуация А, то
осуществляется переход в режим 2
1.9 Если поступает сообщение «Кедр», то неверно, что система функционирует без отказов и
фиксируется ситуация А
1.10 Угроза типа F не возникает тогда и только тогда, когда система неисправна или требует
обслуживания.
1.11 Неверно, что если сотрудник пытается выключить систему безопасности, то блокируется
дверь и автоматически подаётся сигнал вызова охраны.
1.12 Неверно, что если сотрудник покажется охраннику подозрительным или не пройдёт
биометрический контроль, то его задерживают до выяснения обстоятельств
1.13 Неверно, что, если возникает угроза захвата специальной документации, её необходимо
уничтожить установленным образом и доложить непосредственному начальнику.
1.14 Неверно, что подтверждение №1 или №2 осуществляется тогда и только тогда, когда
реализуется план В.
1.15 Неверно, что если срабатывает датчик YW, то это означает ситуацию вторжения на объект
R или на объект Q
1.16 Неверно, что гроза типа F возникает тогда и только тогда, когда ситуация №1 эквивалентна
ситуации №2
1.17 Неверно, что угроза типа F не возникает тогда и только тогда, когда если пароль
отменяется, то запрашивается биометрическая идентификация.
1.18 Если система функционирует без отказов и фиксируется ситуация А, то не осуществляется
переход в режим 2
1.19 Если поступает сообщение «Кедр», то неверно, что система функционирует без отказов и
не фиксируется ситуация А
1.20 Неверно, что угроза типа F не возникает тогда и только тогда, когда система неисправна
или требует обслуживания.
1.21 Если нарушитель пытается взломать систему безопасности, то блокируется дверь и
автоматически подаётся сигнал вызова охраны
1.22 Если сотрудник покажется охраннику подозрительным или не пройдёт биометрический
контроль, то его задерживают до выяснения обстоятельств
1.23 Если возникает угроза захвата специальной документации, её необходимо уничтожить
установленным образом и доложить непосредственному начальнику.
1.24 Подтверждение №1 или №2 осуществляется тогда и только тогда, когда реализуется план
В.
1.25 Если срабатывает датчик YW, то это означает ситуацию вторжения на объект R или на
объект Q
1.26 Угроза типа F возникает тогда и только тогда, когда ситуация №1 эквивалентна ситуации
№2
1.27 Угроза типа F не возникает тогда и только тогда, когда если пароль отменяется, то
запрашивается биометрическая идентификация.
1.28 Неверно, что если система функционирует без отказов и фиксируется ситуация А, то
осуществляется переход в режим 2
1.29
Задание №11: Доказать или опровергнуть общезначимость формулы,
используя законы алгебры логики и формулы равносильных
преобразований, а также путем построения дерева доказательства
и таблицы истинности.
2.1 [( X  Y )  Z ]( X  Y )  Z .
2.2 ( X  Y )( X  Z )( Z  P ) P  Y .
2.3 [( X  Y )  ZW }( W  Z )  ( X  Y ).
2.4 [( X  Y )( Z  P )( X  Z )]  (Y  P ).
2.5 [( X  Y )( Z  W )] X Y  ZW .
2.6. [( X  Y )( X  Z )(Y  P )]  ( Z  P ).
2.7. [ X  (Y  Z )][ X  Z ( Z  Y )]  X .
2.8 (Y  X )( X  Z ) Z  Y .
2.9. ( XY  Z Y )( Z  Y )  ( X  Y ) .
2.10. [( X  Y )  Z ]( P  X )(Y  P )  Z .
2.11 [( X  Y )  Z ]( X  Y )  Z .
2.12 ( X  Y )( X  Z )( Z  P ) P  Y .
2.13 [( X  Y )  ZF }( F  Z )  ( X  Y ).
2.14 [( X  Y )( Z  P)( X  Z )]  (Y  P).
2.15 [( X  Y )( Z  V )] X Y  ZV .
2.16. [( X  Y )( X  Z )(Y  P)]  ( Z  P).
2.17. [ X  (Y  Z )][ X  Z ( Z  Y )]  X .
2.18 (Y  X )( X  Z ) Z  Y .
2.19. ( XY  Z Y )( Z  Y )  ( X  Y ) .
2.20. [( X  Y )  Z ]( P  X )(Y  P )  Z .
2.21 ( X  Y )[( X  Y )  Z ]  Z .
2.22 ( Z  P )( X  Y )( X  Z ) P  Y .
2.23 ( W  Z )[( X  Y )  ZW }  ( X  Y ).
2.24 ( X  Z )( Z  P )( X  Y )  ( P  Y ).
2.25 Y X [( X  Y )  ( Z  W )]  WZ .
2.26. [(Y  P)( X  Y )( X  Z )]  ( Z  P).
2.27. [ X  Z ( Z  Y )][ X  (Y  Z )]  X .
2.28 ( X  Z ) Z (Y  X )  Y
2.29. ( Z  Y )( XY  Z Y )  (Y  X ) .
2.30. ( P  X )(Y  P )[( X  Y )  Z ]  Z .
Арифметизация БФ и ПБФ.
Задание №12: а). Выполнить арифметизацию функции, номер которой указан в
задании №5:
Получить разложение в ряд Фурье этой функции.
б). Выполнить арифметизацию псевдо булевой функции, получаемой путём
суммирования значений бинарной ПФ (по варианту задания 5а) с
соответствующими значениями 0,1,2,4,4,3,2,0.
Например, бинарная ПФ имеет вектор 1,1,1,0,0,0,1,0 (по наборам
0,1,2,3,4,5,6,7). Получаем ПБФ 1,2,3,4,4,3,3,0.
Получить ряд Фурье для этой ПБФ.
Логический вывод
Задание №13: Проверить аргумент методом резолюций. Получить
все следствия из данных посылок.
3.1 «Если объект не обладает свойством X или обладает свойством Y, то он обладает свойством Z.
Если объект обладает свойством X, то он обладает свойством Y., следовательно, объект
обладает свойством Z.»
3.2 «Если Петр поедет в Севастополь, то Иван поедет в Курск. Петр поедет в Читу или в
Севастополь. Если Петр поедет в Читу, то Анна останется в Москве. Но Анна не останется в
Москве. Следовательно, Иван поедет в Курск.
3.3 «Если неверно, что событие Х или событие Y, то и событие Z, и событие Z1. Не событие Z
или не событие Z1. Следовательно, событие X или событие Y.
3.4 «Если сегодня вечером будет дождь, то я пойду в экстрим парк. Если завтра будет снег, то я
пойду на дискотеку. Сегодня вечером будет дождь или завтра будет снег. Следовательно, я
пойду в экстрим парк или на дискотеку.»
3.5 «Если
функция линейная или монотонная, то если она самодвойственна, то сохраняет
константу нуля. Данная функция и не линейна, и не монотонна. Следовательно, она
самодвойственна и не сохраняет константу нуля.
3.6 «Яна и Борис – ровесники или Яна старше Бориса. Если Яна и Борис - ровесники, то Оля и
Борис разного возраста, Если Яна старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно, Оля
и Борис – разного возраста или Борис старше Коли»
3.7 «Если алгоритм X, то (алгоритм Y тогда и только тогда, когда алгоритм Z). Если алгоритм X,
то алгоритм Z и (если алгоритм Z, то алгоритм Y). Следовательно, алгоритм X.
3.8 «Если получить зачет по контрольной работе, то будет допуск к экзамену. Я получу зачет,
если научусь проверять правильность аргументов методом резолюций. Я не разобрался в этом
методе. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.»
3.9 «Если и программа X, и программа Y, то и программа Z, и не программа Y. Не программа Z
или программа Y., следовательно, не программа Y или не программа X.»
3.10 «Если я достану учебник или конспект, то сдам зачет. Если мой приятель не уедет в Крым, то
я достану учебник. Если я достану конспект, то он уедет в Крым. Значит, я сдам экзамен»
3.11 «Если объект обладает свойством X или обладает свойством Y, то он обладает свойством Z.
Если объект обладает свойством X, то он обладает свойством Y., следовательно, объект
обладает свойством Z.»
3.12 «Если Петр не поедет в Севастополь, то Иван поедет в Курск. Петр поедет в Читу или в
Севастополь. Если Петр поедет в Читу, то Анна останется в Москве. Но Анна не останется в
Москве. Следовательно, Иван поедет в Курск.
3.13 «Если неверно, что событие Х или событие Y, то и событие Z, и событие Z1. Не событие Z
или событие Z1. Следовательно, событие X или событие Y.
3.14 «Если сегодня вечером будет дождь, то я не пойду в экстрим парк. Если завтра будет снег,
то я пойду на дискотеку. Сегодня вечером будет дождь или завтра будет снег. Следовательно,
я пойду в экстрим парк или на дискотеку.»
3.15 «Если функция линейная или монотонная, то если она самодвойственна, то не сохраняет
константу нуля. Данная функция и не линейна, и не монотонна. Следовательно, она
самодвойственна и не сохраняет константу нуля.
3.16 «Яна и Борис – ровесники или Яна старше Бориса. Если Яна и Борис - ровесники, то Оля и
Борис разного возраста, Если Яна старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно,
неверно, что Оля и Борис – разного возраста или Борис старше Коли»
3.17 «Если алгоритм X, то (алгоритм Y тогда и только тогда, когда алгоритм Z). Если алгоритм X,
то не алгоритм Z и (если алгоритм Z, то алгоритм Y). Следовательно, алгоритм X.
3.18 «Если получить зачет по контрольной работе, то будет допуск к экзамену. Я не получу зачет,
если не научусь проверять правильность аргументов методом резолюций. Я не разобрался в
этом методе. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.»
3.19 «Если и программа X, и программа Y, то и не программа Z, и не программа Y. Не программа Z
или программа Y., следовательно, не программа Y или не программа X.»
3.20 «Если я не достану учебник или конспект, то не сдам зачет. Если мой приятель не уедет в Крым,
то я достану учебник. Если я достану конспект, то он уедет в Крым. Значит, я сдам экзамен»
3.21 «Если объект не обладает свойством X или не обладает свойством Y, то он обладает свойством
Z. Если объект обладает свойством X, то он обладает свойством Y., следовательно, объект
обладает свойством Z.»
3.22 «Если Петр не поедет в Севастополь, то Иван не поедет в Курск. Петр поедет в Читу или в
Севастополь. Если Петр поедет в Читу, то Анна останется в Москве. Но Анна не останется в
Москве. Следовательно, Иван поедет в Курск.
3.23 «Если неверно, что событие Х или событие Y, то и событие Z, и событие Z1. Не событие Z
или не событие Z1. Следовательно, не событие X или событие Y.
3.24 «Если сегодня вечером будет дождь, то я пойду в экстрим парк. Если завтра будет снег, то я
пойду на дискотеку. Сегодня вечером будет дождь или завтра будет снег. Следовательно, я
пойду в экстрим парк или на дискотеку.»
3.25 «Если
функция линейная или монотонная, то если она самодвойственна, то сохраняет
константу нуля. Данная функция и не линейна, и не монотонна. Следовательно, она не
самодвойственна и не сохраняет константу нуля.
3.26 «Яна и Борис – ровесники или Яна старше Бориса. Если Яна и Борис - ровесники, то Олег и
Борис разного возраста, Если Яна старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно, Олег
и Борис – разного возраста или Борис старше Коли»
3.27 «Если алгоритм X, то (алгоритм Y тогда и только тогда, когда алгоритм Z). Если алгоритм X,
то алгоритм Z и (если алгоритм Z, то алгоритм Y). Следовательно, алгоритм X.
3.28 «Если получить зачет по контрольной работе, то будет допуск к экзамену. Я получу зачет,
если научусь проверять правильность аргументов методом резолюций. Я не разобрался в этом
методе. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.»
3.29 «Если и программа X, и программа Y, то и программа Z, и не программа Y. Не программа Z
или программа Y., следовательно, не программа Y или не программа X.»
3.30 «Если я достану учебник или конспект, то сдам зачет. Если мой приятель не уедет в Крым, то
я достану учебник. Если я достану конспект, то он уедет в Крым. Значит, я сдам экзамен»
Формальная логика, логика предикатов.
Задание №14. Формализовать умозаключение по заданному модусу
в логике предикатов. Доказать или опровергнуть умозаключение
по заданному модусу путём построения диаграмм Эйлера и методом
резолюций с использованием двух моделей.
Модель 1.
A( SaP ) : x[ S ( x)  P ( x)],
I ( SiP ) : x[ S ( x) P ( x)],
E ( SeP) : x[ S ( x)  P ( x)].
O( SoP) : x[ S ( x) P( x).
Модель 2.
A: xS ( x)x[ S ( x)  P( x)],
I: xS ( x) P( x),
E: x[ S ( x)  P( x)],
O: xS ( x)  x[ S ( x) P( x).
Варианты заданий - соответствуют заданию 1
Теория автоматов и алгоритмов
Задание №15.
Построить
машину Тьюринга в виде графа для вычисления
минимизированной логической функции по заданию №5.
Построить машину Поста для той же задачи.
Алфавит включает символы 0,1 для значений переменных, заданных на
ленте, символ , символ *.
Значение функции записать после *.
Задание №16.
Построить машину Тьюринга в виде графа для распознавания заданной
последовательности (задание №6) символов на ленте.
Построить машину Поста для той же задачи.
Алфавит включает указанные символы, символ , символ *.
После обнаружения заданной последовательности записать символ* в
следующую ячейку и остановиться, либо остановиться при обнаружении .
Нечёткая логика
Задание №17.
Разработать систему нечёткого вывода по заданию
Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика –
М.: Финансы и статистика, 2006 с. 353 в пакете Fuzzy logic toolbox в среде MatLab.
Прибыль 0…200 млн. руб, в данный год 70+ номер по списку группы.
С.Ф. Тюрин. Аляев Ю.А. Практическая дискретная математика и
математическая логика – М.: Финансы и статистика, 2010, Стр.364-381.
Задание №18.
Логическое программирование на языке ПРОЛОГ-Д
Написать
ПРОЛОГ
программу
для
определения
некоторых
родственников по собственному дереву родства.
С.Ф.Тюрин. Аляев Ю.А. Практическая дискретная математика и
математическая логика – М.: Финансы и статистика, 2010, Стр.358-364.
Привести пример модифицированного дерева опровержения по аналогии
с:
С.Ф.Тюрин. Аляев Ю.А. Практическая дискретная математика
математическая логика – М.: Финансы и статистика, 2010, Рис.П 5.6, Стр.36.
Вопросы к экзамену ДМ –МЛ- 2021
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
Основные понятия теории множеств. Антиномия Рассела.
Операции над множествами.
Соответствия, отображения и функции.
Отношения и их свойства. Применение отношений в базах данных.
Цифровое задание множеств. Конституенты I, .
Операции на множествах, понятие алгебры. Основные типы алгебр.
Алгебра Кантора. Решение уравнений
Размещения.
Перестановки.
Сочетания.
Треугольник Паскаля.
Бином Ньютона.
Латинские прямоугольники и квадраты.
Понятие о комбинаторных блок-схемах. Плоскость Фано.
Разбиения и числа Стирлинга. Число Белла.
Принцип включения-исключения.
Рекуррентные соотношения.
Задача о разбиении плоскости и пространства
Обобщённый факториал и числа Каталана.
Основные определения теории графов. Задание графов.
Типы графов. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.
Цикломатическое и хроматическое числа.
Определение всех путей длиной два в орграфе.
Основные типы задач на графах.
Задача о Ханойской башне.
Переключательные функции и их задание.
Алгебра переключательных функций. Формулы равносильных преобразований.
Минимизация переключательных функций. Метод Квайна-Мак-Класки.
Минимизация переключательных функций. Метод карт Карно. Куб соседних чисел.
Минимизация переключательных функций. Минимизация методом поразрядного сравнения.
Конечные автоматы. Автоматы Мили и Мура. Вероятностные автоматы.
Синтез комбинационных автоматов. Этапы синтеза.
Синтез последовательностных автоматов с детерминированной и с не детерминированной входной последовательностью. Этапы синтеза.
Эквивалентность автоматов. Теорема Мура.
Кодирование по Хэммингу. Определение числа контрольных разрядов. Получение матрицы Хэмминга. Получение уравнений кодирования и декодирования.
Кодирование с использованием математического аппарата умножения и деления полиномов.
Сигнатурный анализ.
История математической логики. Аристотелевская силлогистика.
Формальная логика. Понятие. Операции над понятиями.
Формальная логика. Суждение. Категорические и модальные суждения.
Формальная логика. Умозаключение. ПКС.
Индуктивные умозаключения. Математическая индукция.
Доказательство правильности силлогизмов с помощью диаграмм Эйлера.
Синтаксис логики высказываний. Формализация высказываний и формулы логики высказываний.
Алгебра высказываний. Законы алгебры логики.
Равносильные преобразования в логике высказываний.
Преобразование форм представления формул в логике высказываний.
Разложение Шеннона.
Определение свойств ПФ.
Минимизация логических функций.
Функциональная полнота двоичных ПФ. Избыточные базисы - функционально-полные толерантные (ФПТ) ПФ.
Закон контрапозиции. Необходимые и достаточные условия.
Условные силлогизмы. Аргументы.
Modus ponens, Modus tollens.
Проверка правильности логических выводов.
Получение следствий из данных посылок.
Метод резолюций в логике высказываний.
Синтаксис логики предикатов первого порядка. Кванторы. Свободные и связанные переменные.
Тождественные преобразования формул логики предикатов.
Универсум Эрбрана. Семантическое дерево.
Подстановки и унификация. Резольвенция и факторизация.
Принцип резолюции в логике предикатов.
Принцип логического программирования.
Понятие о формальных теориях и формальных системах.
Исчисление высказываний
Исчисление предикатов.
Доказательство в смысле Гильберта и в смысле Генцена. Система натурного вывода
Теоремы Гёделя.
Понятие о математической лингвистике. Формальный язык. Кодирование цепочек.
Формальные грамматики и их свойства.
Алгоритм и его свойства. Схемы алгоритмов.
Рекурсивные функции.
Машина Тьюринга.Машина Поста. Нормальные алгорифмы Маркова.
и
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
Универсальная абстрактная машина и проблема самоприменимости в теории алгоритмов.
Сложность алгоритмов. P, NP, NP-complete.
Задачи теории алгоритмов.
Современные модальные логики.
Классификация функций К-значной логики
Функциональная полнота многозначных ПФ.
Понятие о нечеткой логике. Нечёткий вывод.
Понятие о логическом программировании на языке Пролог.
Арифметизация булевых функций. Использование в логико-вероятностном методе оценки вероятности безотказной работы.
Псевдобулевы функции.
Представление булевой функции рядом Фурье.
Матрица Адамара. Спектральные коэффициенты БФ и ПБФ.
Понятие о реляционной алгебре и реляционном исчислении.
Доказательство правильности программ
Современные модальные логики.
Понятие о нечеткой логике. Нечёткая логика в системе МАТЛАБ.
Коллективы автоматов. Формальный нейрон.
Задачи к зачёту.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Выполнение операций над множествами
Решение задач в алгебре множеств.
Решение уравнений в алгебре множеств.
Задание множества десятичным кодом на универсуме.
Решение комбинаторных задач и уравнений.
Задание графов и определение их свойств.
Задача о Ханойской башне.
Задача определения кратчайшего пути в графе с ребрами произвольной длины.
Минимизация по кубу соседних чисел.
Минимизация методом Квайна-Мак –Класки.
Минимизация по карте Карно.
Минимизация методом Л.Ф.Викентьева
Абстрактный синтез комбинационного автомата.
Структурный синтез комбинационного автомата.
Абстрактный синтез последовательностного автомата с детерминированной последовательностью
Абстрактный синтез последовательностного автомата с не детерминированной последовательностью
Сигнатурный анализ цифровой схемы
Кодирование по Хэммингу.
Кодирование с использованием математического аппарата умножения и деления полиномов.
Равносильные преобразования переключательных функций и формул логики высказываний.
Формализовать высказывание. Получить СДНФ, СКНФ, ДНФ, КНФ, ПЖ.
Представить высказывание в виде суперпозиции только следующих операций 1) «Штрих Шеффера», 3) «Стрелка Пирса», 3)»Импликация» и «Отрицание», 4) «Импликация» и
«Константа нуля»(«0»). Получить разложение Шеннона.
Доказать или опровергнуть общезначимость формулы, используя законы алгебры логики и формулы равносильных преобразований, а также путем построения дерева
доказательства.
Проверить аргумент методом резолюций. Получить все следствия из данных посылок.
Формализовать умозаключение по заданному модусу в логике предикатов. Доказать или опровергнуть умозаключение по заданному модусу методом резолюций с
использованием двух моделей.
Выполнить арифметизацию БФ, ПБФ
Получить ряд Фурье для БФ, ПБФ.
Определить свойства БФ.
Получить вероятность безотказной работы по структурной схеме надёжности логико-вероятностным методом.
Получить цепочку формального языка по ее номеру, получить номер цепочки в заданном алфавите.
Проверить правильность умозаключения Аристотелевской силлогистики с помощью кругов Эйлера.
Получить машину Тьюринга для вычисления переключательной функции.
Получить машину Тьюринга для распознавания последовательности.
Получить машину Поста для вычисления переключательной функции.
Написать программу на языке ПРОЛОГ для определения отношения родства.
Выполнить операции над нечёткими множествами.
Традиционно у нас на экзамене представляют конспект лекций с ответами рукописными на все вопросы. Вопросы к экзамену распечатываются из СРС и наклеиваются на внутреннею
сторону обложки. Дело в том, что на лекциях рассматриваются не все теоретические вопросы. Предполагается, что студент может ответить на любой вопрос. Кроме того,
представляется тетрадь СРС. И, наконец, студент может пояснить все задания СРС и показать (например, на ноутбуке) выполнение тех заданий, которые используют системы
компьютерной математики. Например, работу в программе Grin.