Формула включения-исключения. Полиномиальные

с5
Полиномиальная формула. Формула включения-исключения.
10.10.2011
Формула включения-исключения
1. В комнате площадью 6 уложены три ковра площадью 3 каждый (форма комнаты и ковров произвольная). Докажите, что какие-то два из этих трёх ковров перекрываются по площади, не меньшей 1.
2. Найти количество чисел, меньших 1001 и не делящихся на 7,11,13.
3. В компании из n человек проводится празднование Нового Года. Каждый приносит из дома один
подарок. Потом подарки кладутся в мешок и произвольно распределяются между участниками праздника,
по одному подарку. Новый Год считается удачным, если никто не получил своего подарка. а) Найдите
долю случаев (вероятность), когда праздник удался. Вычислите вероятность счастливого Нового Года в
компании из 5 человек. б)* Как ведет себя эта вероятность при n, стремящемся к бесконечности?
4. На полке стоят 10 книг. Сколькими способами их можно переставить так, чтобы на месте осталось
ровно 4 книги?
5. Сколькими способами можно расселить 20 туристов по 5 домикам, чтобы ни один домик не оказался
пустым?
6.∗ Множество X содержит x элементов, множество Y содержит y элементов. Сколько существует
различных сюръективных отображений f : X → Y ?
Биномиальные и полиномиальные формулы
7. Сколько различных "слов" можно получить, переставляя буквы в слове:
а) "математика";
б) "пропорциональность"?
8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на
первой линии шахматной доски?
9. Сколькими способами можно выдать 18 различных задач пяти студентам, чтобы
а) один (любой) из студентов получил две задачи, а остальные – по четыре задачи?
б) двое получили по три задачи, а остальные – по четыре задачи?
10. В школьной программе Карабаса-Барабаса планируется в неделю 5 пар математики, 4 пары физкультуры, 3 пары музыки, 2 пары киноведения и 1 пара литературы. Сколькими способами можно составить
расписание по 3 пары 5 дней в неделю (суббота, воскресенье – выходные)?
11. Посчитать коэффициенты при x57 и x58 в разложении (x2 + x7 + x9 )20 .
12. В каком из выражений (1 + x2 − x3 )1000 или (1 − x2 + x3 )1000 будет после раскрытия скобок и приведения
подобных членов больший коэффициент при x17 ?
13.∗ Докажите следующую формулу:
1
x1 x2 . . . xn = (x1 + x2 + . . . + xn )n −
n!

−
(xi1 + xi2 + . . . + xin−1 )n +
i1 <i2 <...<in−1
+

i1 <i2 <...<in−2
n
n−1
(xi1 + xi2 + . . . + xin−2 ) − . . . + (−1)
n

xni .
i=1
Суммы степеней.
14. Найти формулу для а) суммы квадратов; б) суммы кубов, используя биномиальные коэффициенты.