ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
(МТУСИ)
Кафедра теории электрических цепей
Лабораторная работа №15
«Исследование БИХ-фильтров»
Выполнил студент группы ************ _______________ **********
Проверил
__________________ **********
Москва 2007
1. Цель работы
С помощью программы Micro-Cap получить основные временные и частотные
характеристики фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХфильтров).
2. Предварительные расчеты
2.1 Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра первого
порядка. Структурная схема фильтра изображена на рисунке 1.
Рисунок 1
Где
yi = a0xi + a1xi-1 + b1yi-1 — алгоритм работы цифрового фильтра первого порядка;
a0 = 0, a1 = 1, b1 = 0,4 — коэффициенты.
Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):
H(z) =
𝑎0 +𝑎1 𝑧 −1
1−𝑏1 𝑧 −1
=
𝑧 −1
1−0,4𝑧 −1
2.2 Проверить фильтр на устойчивость
2
1 − 0,4𝑧 −1 = 0 ; z = 0,4 — полюс передаточной функции находится внутри
единичной окружности z-плоскости, значит данный БИХ-фильтр устойчивый.
2.3 Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.
// Расчеты проведены в программе Scilab 6.0.2
// Лабораторная работа № 15
// Выполнил студент группы **********************8
// Рассчитаем импульсную характеристику
// Входные отсчеты xi
x = [1 0 0 0 0 0 0];
// Рассчет выходных отсчетов yi
y = [0 0 0 0 0 0 0];
for i=2:1:7
y(i) = a(1)*x(i)+a(2)*x(i-1)+b*y(i-1);
end
y
y =
0. 1. 0.4 0.16 0.064 0.0256 0.01024
// График импульсной характеристики
i=1:1:7;
plot2d3(i,y)
xgrid()
3
xtitle('Импульсная характеристика БИХ-фильтра','i','g(iT)')
Рисунок 2
2.3 Найти выражение для комплексного коэффициента передачи H(jωT).
Построить графики АЧХ — |H(jωT)| и ФЧХ — arg(H(jωT)) от частоты ωT ϵ [0;2π].
Для получения дальнейших характеристик проведем замену в H(z): z = ejωT
Комплексный коэффициент передачи:
H(z) =
𝑎0 +𝑎1 𝑒 −𝑗𝜔𝑇
1−𝑏1 𝑒 −𝑗𝜔𝑇
=
𝑒 −𝑗𝜔𝑇
1−0,4𝑒 −𝑗𝜔𝑇
Построение графиков АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра.
// Частота, рад/c
wT = 0:%pi/50:2*%pi;
// Комплексный коэффициент передачи H(jwT)
4
H1 = exp(-%i.*wT)./(1 - 0.4.*exp(-%i.*wT));
H1 = exp(-%i.*wT)./(1 + 0.4.*exp(-%i.*wT));
// Построение графика АЧХ БИХ-фильтра при b = 0,4
plot(wT,abs(H1))
xgrid()
xtitle('График АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')
// Построение графика АЧХ БИХ-фильтра при b = -0,4
plot(wT,abs(H2))
xgrid()
xtitle('График АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')
Рисунок 3 — АЧХ БИХ-фильтра при b = 0,4
5
Рисунок 4 — АЧХ БИХ-фильтра при b = -0,4
2.4 Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра второго
порядка. Схема фильтра изображена на рисунке 5.
6
Рисунок 5
Где
yi = a0xi + a1xi-1 + a2xi-2 +b1yi-1 + b2yi-2 — алгоритм работы цифрового фильтра
второго порядка.
a0 = 1, a1 = 1, a2 = -2; b1 = 0,2; b2 = -0,4 — коэффициенты.
Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):
H(z) =
𝑎0 +𝑎1 𝑧 −1 +𝑎2 𝑧 −2
1−𝑏1 𝑧 −1 −𝑏2 𝑧 −2
=
1+𝑧 −1 −2𝑧−2
1−0,2𝑧 −1 +0,4𝑧 −2
2.5 Проверка фильтра на устойчивость.
1 − 0,2𝑧 −1 + 0,4𝑧 −2 = 0; 5 − 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 = 0; 5𝑧 2 − 𝑧 + 2 = 0
D = 1 – 40 = -39;
z1,2 =
1±6,245𝑗
10
= 0,1 ± 0,625𝑗
7
// Проверка на устойчивость
deff('y=f(x)','y=sqrt(1 - x^2)');
x = -1:1/100:1;
plot(x,f(x),'k-')
mtlb_hold('on')
plot(x,-f(x),'k-')
plot([0.1 0.1],[0.625 -0.625],'o')
xgrid()
xtitle('График единичной Z-окружности','Re(z)','Im(z)')
График единичной z-окружности изображен на рисунке 6.
Рисунок 6
Полюсы передаточной функции лежат внутри единичной z-окружности, значит
фильтр устойчивый.
8
2.6 Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.
// Коэффициенты
a = [1 1 -2]; b = [0.2 -0.4];
// Входные отсчеты
x = [1 0 0 0 0 0 0];
// Расчет выходных отсчетов
y = [1 1.2 0 0 0 0 0];
for i = 3:1:7
y(i)= a(1)*x(i) + a(2)*x(i-1) + a(3)*x(i-2) + b(1)*y(i-1) + b(2)*y(i-2);
end
y
y =
1. 1.2 -2.16 -0.912 0.6816 0.50112 -0.172416
// Поcтроим график импульсной характеристики
i = 0:1:6; plot2d3(i,y)
plot([0 7],[0 0],'k-')
xgrid()
9
xtitle('Импульсная характеристика БИХ-фильтра','i','g(iT)')
Рисунок 7
2.7 Найти комплексный коэффициент передачи H(jωT). Построить графики АЧХ
— |H(jωT)| от частоты ωT ϵ [0; 2π] данного фильтра.
Комплексный коэффициент передачи:
𝑎0 +𝑎1 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 +𝑎2 𝑒 −2𝑗𝜔𝑇
H(z) =
1−𝑏1 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 −𝑏2 𝑒 −2𝑗𝜔𝑇
=
1+𝑒 −𝑗𝜔𝑇 −2𝑒 −2𝑗𝜔𝑇
1−0,2𝑒 −𝑗𝜔𝑇 +0,4𝑒 −2𝑗𝜔𝑇
// Частота, рад/c
wT = 0:%pi/50:2*%pi;
// Комплексный коэффициент передачи
10
H = (1 + exp(-%i.*wT) - 2.*exp(-%i.*2.*wT))./(1 - 0.2.*exp(-%i.*wT) + 0.4.*exp(%i.*2.*wT));
// График АЧХ БИХ-фильтра
plot(wT,abs(H))
xgrid()
xtitle('АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')
Рисунок 8
11
3. Машинный эксперимент
3.1 Исследуемая схема
Рисунок 9
3.2 АЧХ БИХ-фильтра первого порядка при b1 = 0,4.
U, В
Рисунок 10
12
f, Гц
3.3 АЧХ БИХ-фильтра первого порядка при b2 = -0,4.
U, B
f, Гц
Рисунок 11
3.4 АЧХ БИХ-фильтра второго порядка
U, B
f, Гц
Рисунок 12
13
Вывод: Графики, полученные в ходе машинного эксперимента, совпадают с
графиками, полученными в ходе предварительных расчетов. Это показывает, что
предварительные расчеты проведены верно.
4. Контрольные вопросы
4.1 Какие фильтры называются БИХ-фильтрами?
Ответ: Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром)
называют фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать
отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений k = 0, 1, 2, … .
∞
𝑥1 𝑥2
𝑋(𝑧) = 𝑥0 + + 2 + ⋯ = 𝑥0 + 𝑥1 𝑧 −1 + ⋯ = ∑ 𝑥(𝑘)𝑧 −𝑘
𝑧 𝑧
𝑘=0
4.2 Привести условие устойчивости БИХ-фильтров.
Ответ: БИХ-фильтр будет устойчивым, если полюсы его передаточной функции
1 − ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘 𝑧 −𝑘 = 0 лежат внутри единичной окружности z-плоскости.
4.3 Дать определение импульсной характеристики цифрового фильтра.
Ответ: Импульсная характеристика g(k) представляет собой реакцию цифрового
фильтра на дискретный единичный импульс.
δ1(k)
g(k)
Цифровая система
4.4 Дать определение передаточной функции цифрового фильтра.
Ответ: Передаточной функцией стандартного линейного ЦФ называется отношение
z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала.
4.5 Какова связь между импульсной и частотной характеристиками цифрового
фильтра?
14
Ответ: Частотная характеристика цифрового фильтра связана с импульсной
характеристикой соотношением, подобным дискретному преобразованию Фурье.
∞
𝐻(𝑗𝜔𝑇) = ∑ 𝑔(𝑘𝑇)𝑒 −𝑗𝜔𝑘𝑇
𝑘=0
15
