К интегрируемости уравнений движения заряженной частицы в

XLII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 9 – 13 февраля 2015 г.
К ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ
Д.Н. Габышев
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, Россия,
gabyshev-dmitrij@rambler.ru
В работе [1] формулы, определяющие координаты заряженной частицы в поле плоской
квазимонохроматической электромагнитной волны, в общем случае зависят от интегралов
def 
def 
0
0
I nc       cos nd  , I ns       sin nd  ,
(1)
где      — фаза волны,  и  – постоянные,   t  z c , t – время, z – координата
частицы по оси Z , вдоль которой распространяется волна, c – скорость света, n  N –
натуральное число,    – некоторая плавная функция. В [1] задача решена в низшем
порядке по параметру  ~ 1  b в адиабатическом приближении   1 (    меняется
заметно при изменении  на  b ). Однако определенный интерес представляет учет всех
поправок по степеням  и поиск точно интегрируемых случаев. Можно ввести комплексную
~
величину I ncs  I nc  iI ns , представимую в виде функционального ряда Дирихле



 k   
k  
~
(2)
I ncs    
exp  i n    
k 1
2  
k  0 n 

0
~
~
~
~
разделимого на разность двух рядов I ncs  Rncs    Rncs  0  , причем ряд Rncs   удовлетворяет
простому дифференциальному уравнению
~

dRncs
 
 n      exp i n   ,
(3)
d
2 

def 

 k   
k  
~
exp  i n    .
где Rncs    
k 1
2 
k 0 n 

Функция    сама может быть представлена разложением в ряд. Если это ряд
~
Маклорена, то I ncs выражается через неполную гамма-функцию Эйлера. Аналогично, если
   задана некоторым аппроксимирующим полиномом. Для    в форме ряда Тейлора с
k
раскрытием степеней   a  по биному Ньютона ( a — точка разложения) интегрирование
сводится к предыдущим двум случаям. Если    задана рядом Лорана, при интегрировании
его главной части возникает интегральная показательная функция, а для    , заданной
рядом Дирихле, интегрирование не выводит из класса элементарных функций. Функция   
, разложенная в ряд Фурье, также интегрируема в квадратурах.
Следовательно, выбором нужного представления    можно достичь более или менее
просто вычислимых интегралов в уравнениях движения заряженной частицы в плоской
квазимонохроматической электромагнитной волне.
Литература
[1]. Андреев С.Н., Еремеичева Ю.И., Макаров В.П., Рухадзе А.А. "О движении заряженной
частицы в плоской квазимонохроматической электромагнитной волне". Препринт ИОФ
РАН, 2013, №3.
1