Введение Современный этап развития фотоники характеризуется тем, что основными структурными объектами ее исследования становятся не структуры из массивных кристаллических материалов, а выполненные на их основе тонкие пленки, многослойные тонкопленочные структуры, нити, наночастицы и наноточки. Малость размеров этих перечисленных структур в каком-либо из геометрических направлений 𝛼, сравнимых по величине с длиной волны де Бройля 𝛼 ≥ 𝜆𝑑𝐵 , согласно законам квантовой механики приводит к изменению в них энергетического спектра носителей заряда. Энергетический спектр становится дискретным при движении вдоль направления, в котором имеется ограничение размера. Наличие этого «размерного» квантования при определенных условиях может существенным образом повлиять на физические свойства рассматриваемых квантоворазмерных структур и привести к возникновению у них совокупности уникальных оптических и электрических свойств отличных от свойств, наблюдаемых у объемных монокристаллических материалов. Энергетический спектр наноразмерных структур В твердых телах квантовой ограничение может быть реализовано в трех пространственных направлениях. Количество направлений в твердотельной структуре, в которых эффект квантового ограничения отсутствует, используется в качестве критерия для классификации элементарных наноструктур по трем группам. В связи с чем, среди низкоразмерных наноструктур можно выделить три базовые элементарные структуры. Это квантовые ямы, квантовые нити (или квантовые проволоки) и кантовые точки. Эти элементарные структуры представляют собой кристаллический материал, пространственно ограниченный в одном, двух и трех измерениях, соответственно. Уникальные физические свойства веществ в нанокристаллическом состоянии обусловлены волновой природой частиц, например, электронов, поведение которых подчиняется законам квантовой механики. Для описания электрического спектра и волновых функций низкоразмерных систем наиболее часто используется та или иная форма метода эффективной массы (kP-теория возмущений), детально разработанного для объемных твердых тел. Привлекательность этого подхода основана на том, что он в ряде случаев позволяет получать аналитические результаты, явно учитывающие граничные условия и форму наноразмерных структурных элементов. Кроме того, в рамках kP-теории возмущений относительно легко учесть взаимодействия электронной подсистемы низкоразмерных систем с колебаниями решетки, статическими деформациями и внешними полями. Данный подход позволяет объяснить многие качественные закономерности, присущие низкоразмерным системам, даже на основе простейшей двухзонной модели полупроводника, которая явно учитывает лишь одну зону проводимости (𝐸𝑐 ) и одну валентную зону (𝐸𝑣 ). Основная идея kP-теории возмущений заключается в том, что волновая функция электрона (дырки) представляет собой линейную комбинацию произведений быстро осциллирующих в области элементарной ячейки кристалла блоховских амплитуд 𝑢(𝑟) и медленно меняющихся в масштабе элементарной ячейки огибающих волновых функций 𝜓(𝑟). Согласно зонной теории твердого тела энергетический спектр и огибающие волновых функций носителей заряда во внешнем поле являются решением стационарного уравнения Шредингера и=в приближении эффективной массы [− ℎ 2 ∇ + 𝑉(𝑟)] 𝜓(𝑟) = 𝐸𝜓(𝑟), 2𝑚∗ (1) где 𝑉(𝑟) – потенциальная энергия носителя заряда во внешнем поле (потенциальная яма, ограничивающая движение заряженной частицы); 𝐸 – полная энергия заряда, отсчитанная от края зоны носителя заряда в отсутствии нижнего поля; 𝑚∗ - эффективная масса носителя заряда в окрестности края соответствующей энергетической зоны; 𝜓(𝑟) – волновая функция (огибающая). Энергетический спектр носителей заряда в объемной кристаллической структуре Свободный электрон, движущийся в трехмерной системе, имеет потенциальную энергию 𝑉(𝑟) = 0, а соответствующая ему волновая функция описывается выражением 𝜓(𝑟) = exp(𝑖𝑘𝑟) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑖𝑝𝑟 ), ℏ (2) где 𝑘 – квази-волновой вектор. Тогда полная энергия электрона равна его кинетической энергии, величина которой в соответствии с пространственными компонентами его квазиимпульса 𝑝 = (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) составляет: 1 ℏ2 2 2 2 𝐸= (3) (𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑝𝑧 ) = (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 ). ∗ ∗ 2𝑚 2𝑚 В результате, для прямозонной кристаллической структуры зависимость энергии электрона вблизи краев зоны проводимости и валентной зоны будет описываться выражениями: 𝑝2 ℏ2 𝑘 2 𝐸𝑐 (𝑝) = 𝐸𝑔 + = 𝐸𝑔 + , 2𝑚𝑒∗ 2𝑚𝑒∗ (4) 𝑝2 ℏ2 𝑘 2 𝐸𝑣 (𝑝) = − =− , 2𝑚ℏ∗ 2𝑚ℏ∗ (5) где 𝐸𝑔 – энергия запрещенной зоны; 𝑚𝑒∗ , 𝑚ℏ∗ - эффективные массы электрона и дырки, соответственно. На рисунке показана дисперсионная зависимость для прямозонного полупроводника Плотность состояний электронов в энергетической зоне При исследовании оптических спектральных характеристик кристаллических веществ важной величиной является плотность состояний носителей в той или иной энергетической зоне. Предположим, что свободные электроны занимают условный кубический объем (ящик) со стороной грани длиной 𝐿. Считая объем кристалла бесконечно большим, введем граничные условия для волновой функции: 𝜓(𝑥 + 𝐿) = 𝜓(𝑥), (6) которые аналогичным образом выполняются и для других направлений 𝑦 и 𝑧. С учетом (2) и (4) имеем: 𝜓(𝑥 + 𝐿) = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝐿 = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 , откуда получаем: 𝑘𝑥 = ±𝑛𝑥 2𝜋 , 𝐿 (7) где 𝑛𝑥 – целое число. Согласно (3) энергия электрона квадратично зависит от величины его квазиволнового вектора 𝑘 и не зависит от направления его движения, а каждому его состоянию соответствует точка в пространстве квазиимпульсов (рис. 3). Причем каждой точке соответствует наличие двух электронов, имеющих противоположно направленные импульсы. Каждое состояние электрона в пространстве квазиимпульсов отдельно 2𝜋 друг от друга расстоянием . Поэтому можно считать, что каждый электрон 𝐿 2𝜋 занимает в этом пространстве ячейку с элементарным объемом ( )3 . Тогда 𝐿 число электронов в объеме квазипространства, ограниченном сферой радиуса 𝑘, будет равно 4𝜋𝑘 3 /3 𝑉 𝑁=2 = 3 𝑘3, 2𝜋 3𝜋 ( )3 𝐿 (8) множитель 2 учитывает тот факт, что в элементарном объеме могут находиться два электрона с противоположными направлениями спина. 2𝑚∗ 𝐸 1 Из (3) находим значение для 𝑘 = ( 2 )3 . Подставляя это выражение в ℏ (8), получаем зависимость для функции плотности состояний электронов: 𝑑𝑁 𝑑 𝑉 2𝑚∗ 𝐸 3 𝑉 2𝑚∗ 3 1 2 𝐷3𝐷 (𝐸) = = ( ) ] = 2( )2 𝐸 2 . [ 𝑑𝐸 𝑑𝐸 3𝜋 2 ℏ2 2𝜋 ℏ (9) На рис. 4 показана зависимость плотности состояний электронов в прямозонном полупроводнике, как функции его энергии, нормированной на величину энергии Ферми (𝐸𝐹 ).
