8kl_alg_31_01

Урок 99, 100
31.01.
Самостоятельная работа №9.
Формула корней квадратного уравнения.
1. Разбор к/р. «5» – «10» – «5» – «1». Раздать работы.
Многие из вас – недорабатывают, а некоторые – страдают из-за неаккуратности,
отсутствия здравого смысла и пр.
№1а – невнимательность;
№1б – вид ответа?
№1 в – подробней, модули!
№2 а – некоторые не умеют решать.
№2 б – много ошибок – разобрать II вариант (два способа); в – два способа (см. №1б)!
№3 б – знаки.
№4 – разобрать I вариант; максимум баллов почти никто не получил!
№5 – многие не справлялись; методы проговорить!
№6 – разобрать в общем виде два способа.
№7 – разобрать.
2. Проверка д/з: вопросы? №5.10 – 5.12 (а, в).– разбор по необходимости, ответы – в
задачнике.
3. Новый материал. Решая квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, мы видели,
что иногда – это достаточно громоздкая операция. Поэтому, имеет смысл сделать ее один раз
в общем виде, получив тем самым универсальные формулы для решения произвольных
квадратных уравнений.
Рассмотрим в общем виде квадратное уравнение аx2 + bx + c = 0, где а  0, и решим его
выделением квадрата двучлена:
2
2
2
b 2  4ac
b
c
b  b
c  b
b

2
2
x  x  0  x 2 x
       x   
.

a
a
2a  2a 
a  2a 
2a 
4a 2
Обозначим: D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного уравнения («различитель» – фр.).
Что же он «различает»? [Количество корней уравнения] А именно:
1) Если D < 0, то корней нет.
2
b
b

2) Если D = 0, то  x    0  x  
– один корень.

2a
2a 
b D
b
D
b
D

3) Если D > 0, то x 
 x
– два корня.

2  x 
2a
4a
2a 2a
2a
Это и есть формула корней квадратного уравнения. Можно ли ее применять для
случая D = 0? [Да, проверим это] Именно поэтому принято считать, что если квадратное
уравнение имеет одно решение, то это – два совпадающих корня! (Мы с этим уже
сталкивались).
Пример. Решите уравнение: 3x2 – 7x + 4 = 0. Выделять квадрат двучлена – громоздко, поэтому:
7 1
4
1
D = (–7)2 – 434 = 1; x =
; x = 1 или x = . Ответ: 1; 1 .
3
3
6
4. Упражнения. 1) Т.: стр. 116, №533 (устно);
2) (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой) Т.: стр. 116, №534 в, ж, з; №535 б, г, д
[б) – умножить на –1; г) – два способа! д) переставить слагаемые]; Т.: стр. 117, №546 г [–2; 3]
3) Может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь один рациональный, а
другой иррациональный корень?
Навыки решения квадратных уравнений нам помогут и в геометрии.
4) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,
Рис. 1
является средним пропорциональным его катетов. Найдите тангенсы острых
углов этого треугольника (письменно на доске и в тетрадях с краткой
записью, см. рис. 1).
2
с
a
[|CM| = ;  с  = ab и с2 = a2 + b2  a2 – 4ab + b2 = 0;
= tg = x; x2 – 4x + 1 = 0
2  2
b
 x  2  3 . В дальнейшем мы докажем, что это углы 75 и 15]
5) Катет прямоугольного треугольника равен 20, а проекция другого катета – 9. Найдите
стороны треугольника.
(письменно на доске и в тетрадях с краткой записью).
[ x  x  9   202 , x  16 , 15, 20 и 25 – египетский треугольник]
Домашнее задание: Т.: п. 21 (до примера 3 включительно); №639 (б); №640 (б); №534 (д, е);
1
№641 (г, е, з). 1) Решите уравнения: а) ax2 +
= 0; б) ax2 + 5a = 5x2 + a2. 2) Докажите, что
a
уравнение x2 + bx + c = 0, где b и c – целые нечетные числа, не имеет рациональных корней.