Решение квадратных уравнений по формуле. Word document

Kвадратные уравнения
Квадрат, квадратный стол, квадратная площадь - за всеми этими выражениями мы видим
ясный наглядный смысл. И вдруг появляется квадратное уравнение, квадратный корень.
Что же квадратное мы видим, например, в уравнении x2 + 10x = 39 или в числе
? Мы
привыкли произносить "икс квадрат", "квадрат суммы", "удвоенный квадрат", не придавая
этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на
алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось
решать геометрические задачи на вычисление площадей.
В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена
такая задача. "Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего
составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего
квадрата?"
Решить такую задачу - это все равно, что решить уравнение
.В
клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются
необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню x = 30.
Фактически вавилонский метод дает решение системы
, которая представляет
собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и
площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает
решение этой системы с решением квадратного уравнения.
Аналогичная связь находилась уже в "Началах" Евклида, где сформулированы в виде
некоторых геометрических тождеств правила решения квадратного уравнения или, что то
же самое, написанной выше системы.
Вот одна из теорем Евклида: "Если отрезок разделен на два неравных отрезка, то площадь
прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, сложенная с площадью
квадрата, сторона которого равна их полуразности, равна площади квадрата, сторона
которого равна половине исходного отрезка".
Обозначив длину отрезка через p, а длины его частей через x и y, мы запишем теорему
Евклида в виде тождества
Из этого тождества, зная xy = q, находится
. Зная
и
, мы
легко находим x и y. Если ответ записать в виде алгебраического выражения, то мы и
получим формулу корней квадратного уравнения: x2 - px + q = 0:
, которую мы выведем чуть позже (обозначив коэффициент
при x через p, а не -p, как в предыдущей задаче).
Знаменитое уравнение Аль-Хорезми: x2 + 10x = 39 (IX век) тоже имеет в оригинале
геометрическую формулировку: "Квадрат и десять корней равны 39". Напомним, что
геометрический метод его решения соответствует выделению полного квадрата:
x2 + 10x = 39
x+5=8
x=3
Этот метод, примененный к уравнению x2 + px = q с произвольными положительными
коэффициентами, дает аналогичную формулу (теперь у нас свободный член равен -q, а не
q):
x2 + px = q
Итак, приступая к решению квадратных уравнений, мы будем помнить, что решение
таких уравнений представляет собой первую непростую (математики говорят
"нетривиальную") алгебраическую задачу, которая была решена многократно в древности.
От этого она не стала легче, и вам предстоит большая и интересная работа по
исследованию квадратного трехчлена и нахождению его корней. В этой работе большой
помощью вам будут навыки в преобразовании алгебраических выражений, в
доказательстве неравенств, в выполнении действий с квадратными корнями, то есть все
содержание курса алгебры, которое вы изучили к настоящему времени.
Выводим формулу корней квадратного уравнения
Настала пора, когда от численных примеров мы можем перейти к выводу общей формулы
корней квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение x2 + px + q = 0. Выделим полный квадрат из трехчлена
P = x2 + px + q.
P = x2 + px + q =
=
.
Обозначим число p2 - 4q через D = p2 - 4q и назовем это число дискриминантом
квадратного трехчлена P. Используем это обозначение для сокращения записи P:
.
Далее рассмотрим три случая.
1. D > 0. Тогда D является квадратом числа
множителя: P =
и мы разложим трехчлен P на два
=
.
Приравнивая P к нулю, получаем два корня исходного квадратного уравнения:
и
, или
. Иногда их объединяют одной формулой:
.
2. D = 0. Тогда P является полным квадратом: P =
имеет один корень
. Квадратное уравнение P = 0
.
3. D < 0. Дальнейшее разложение невозможно. Уравнение P = 0, которое можно записать в
виде
квадрат.
не имеет решений, так как справа стоит отрицательное число, а слева -
Зафиксируем результат рассуждений в виде теоремы.
Теорема. Решение квадратного уравнения x2 + px + q = 0 зависит от знака его
дискриминанта, числа
D = p2 - 4q.
1) Если D > 0, то уравнение имеет два корня, вычисляемые по общей формуле
.
2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень
.
3) Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Общая формула для решения квадратных уравнений ax2+bx+c=0.
D=b2-4ac.
Если D>0, то x 
b D
.
2a
Если D=0, то x 
b
.
2a
D<0, то уравнение не имеет решений.