MÕÕTEHÄLBED JA MÄÄRAMATUS

Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
ПОГРЕШНОСТИ и НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
MÕÕTEHÄLBED JA MÄÄRAMATUS
3.1
Mõõtesuuruse defineerimisest mõõteprotseduurini
От определения измеряемой величины до методики измерений
Согласно стандарта EVS 758:2009 измерение – экпериментальная процедура,
посредством которой получают одно или несколько значений измеряемой величины,
которые можно обоснованно присвоить величине.
Измерение начинается с определения измеряемой величины, выбора принципа
измерений и метода и описания методики измерений (процедуры измерений).
Первый шаг для каждого измерения – определение измеряемой величины.
Поскольку измерение является практическим действием, то нужно точно определить
конкретную задачу измерений, необходимую точность и, основываясь на этом,
определить измеряемую величину и описать её настолько детально, чтобы значение
измеряемой величины было одинаковым во всех её практических приложениях и не
возникало двойного толкования. Недостаточное определение измеряемой величины
обязательно приводит к неточностям при определении её значения, которые в
некоторых случаях могут оказаться очень значительными.
Второй шаг – выбор принципа измерений или научного основания измерения.
Принцип измерений – это совокупность физических явлений, на которой
основывается данное измерение. Например, измерение электрического напряжения
может основываться на эффекте Джозефсона, измерение температуры – на
термоэлектрическом эффекте, измерение скорости – на применении эффекта Доплера,
а измерение длины волны молекулярного колебания – на эффекте Рамана.
Третий шаг. Исходя из принципа измерений, выбирают метод измерений –
совокупность опытных действий, а также логический ряд теоретических
и
практических процедур, необходимых для получения результатов измерений.
В измерениях всегда целесообразно тщательно и точно описывать методы измерений
и соответственно калссифицировать их.
Например, при измерении массы испольуют так называемый метод
противопоставления. Примером этого метода является взвешивание груза на
равноплечих весах, когда измеряемая масса определяется как сумма массы гирь, ее
уравновешивающих.
К разновидностям метода сравнения с мерой относится и метод замещения,
широко применяемый в практике точных метрологических исследований. Сущность
метода в том, что измеряемая величина замещается в измерительной установке некоторой
известной величиной, воспроизводимой мерой. Замещение может быть полным или
неполным, в зависимости от чего говорят о методе полного или неполного замещения.
При полном замещении показания не изменяются и результат измерения принимается
равным значению меры. При неполном замещении для получения значения измеряемой
величины к значению меры следует прибавить величину, на которую изменилось
показание прибора.
1
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Преимущество метода замещения - в последовательном во времени сравнении
измеряемой величины и величины, воспроизводимой мерой. Благодаря тому, что обе эти
величины включаются одна за другой в одну и ту же часть измерительной цепи прибора,
точностные возможности измерений значительно повышаются по сравнению с
измерениями, проводящимися с помощью других разновидностей метода сравнения, где
несимметрия цепей, в которые включаются сравниваемые величины, приводит к
возникновению систематических погрешностей. Способ замещения применяется при
электрических измерениях с помощью мостов переменного тока, условие равновесия
которых определяется не только значениями величин, воспроизводимых элементами плеч
моста, но также и влиянием паразитных токов, емкостей, индуктивностей и рядом других
факторов. Эти причины вызывают появление погрешностей, которые могут быть
исключены, если проводить измерения методом замещения. Для этого вначале мост
уравновешивается с включенной в его цепь измеряемой величиной, которая затем
замещается известной величиной, и мост уравновешивается вновь. Если при этом никаких
изменений ни в мосте, ни во внешних условиях не происходит, то указанные выше
погрешности исключаются почти полностью.
Разновидностью метода сравнения с мерой является также нулевой метод
измерения, который состоит в том, что подбором размера воспроизводимой мерой
величины или путем ее принудительного изменения эффект воздействия сравниваемых
величин на прибор сравнения доводят до нуля. В этом случае компенсация воздействий
влияющих величин оказывается более полной, а значение измеряемой величины
принимается равным значению меры.
Часто методы классифицируют по принципу измерения (пьезоэлектрический метод) или
связи средства измерения и объекта измерений между собой (контактный и
бесконтактный),
или по каким-либо другим признакам, например, по свойствам
измерительного сигнала – аналоговый и дигитальный метод.
Четвертый шаг. Исходя из метода измерений формируют методику измерений
(процедуру измерений) – совокупность тщательно описанных действий для
проведения конкретного измерения, составление модели измерения и обработки
полученных результатов.
Методику измерений описывают настолько подробно и тщательно, чтобы измеритель
мог бы при помощи этой методики провести измерения, обработать полученные
результаты и представить их таким образом, чтобы у него (измерителя) не возникало
необходимости в поиске дополнительной информации.
Дальнейшее заключается уже в практическом измерении измеряемой величины.
3.2
3.2.1
Погрешности измерения (Mõõtehälbed)
Причины возникновения погрешностей измерения (Mõõtehälvete
põhjustajad)
2
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
В практических измерениях всегда возникают погрешности измерения, который
зависят от многих причин. Одной из причин является то обстоятельство, что
измеряемая величина Xi является случайной величиной, что означает, что она не
имеет истинного значения. При её измерении полученнные результаты измерения xij
отклоняются (друг от друга) потому, что средства измерения ( эталоны в том числе),
методы измерения, а также сами объекты измерения – неполные и неидеальные.
Помимо этого на результат измерения влияют условия окружающей среды, а также
опыт и навыки измерителя. В добавок к этому следует учитывать изменение всех
влияющих факторов во времени и пространстве.
Для многих измерений основными факторами влияния окружающей среды являются
температура, давление, влажность, напряжение в сети, электрические и магнитные
поля, значение которых может изменяться даже в процессе измерений. Фактор
наблюдения зависит от человека-измерителя, свойств его личности – внимательности,
остроты зрения, навыков, опыта, способности оценивать ситуацию. Помимо этого
может случиться, когда результат измерения оклоняется по причине заблуждения
измерителя, неверно выбранного метода измерений или некий фактор остался вовсе
неучтенным.
3.2.2 Погрешность измерения ( Mõõtehälve)
Поскольку измеряемая величина Xi, - случайная величина, то результат измерения –
произведение численного значения на размер {Xi}∙[Xi] – всегда носит случайный
характер и очевидно никогда точно не совпадет со значением измеряемой величины
Xi.
Мы рассматривали случайный характер результата измерения, исходя из числовых
значений, полученных при повторных измерениях, или с их помощью полученных
измерений, а также воспользовались предположением, действующим в идеальных
условиях, что измеряемой величине можно присвоить некоторое точное значение.
Продолжим анализ случайного характера измеряемой величины с точки зрения теории
измерений и рассмотрим распределение измеряемой величины, предположив, 1. что
оно известно. Следовательно, тогда известно среднее значение распределения или
значение измеряемой величины. Напомним ещё раз, что практически измерение
невозможно провести в таких идеальных условиях. В действительности мы можем 2.
в качестве результата измерения лишь оценить измеряемую величину. Более того,
можно утверждать, что
3. значение измеряемой величины, т.е. значение в
соответствии с определением рассматриваемой конкретной величины, в принципе
неопределимо и оценить это значение можно только посредством измерений. Другими
словами, значения измеряемой величины не существует до проведения
измерений.
Здесь можно привести высказывание лорда Кельвина из лекции в The Institution of
Civil Engineers, 3. mai 1883: «Когда мы можем измерять то, о чем мы говорим, и
выразить это в цифрах, то мы знаем что-то об этом явлении; но когда мы не можем
его измерить и не можем выразить его в цифрах, наши знания являются неполными
и неудовлетворительными; возможно, это только начало знаний, но вряд ли в своих
изысканиях вы уже вышли на этап, где начинается наука».
Таким образом, в действительности теоретический анализ измерения не
используется, но необходим для описания сущности измерения, а также для более
глубокого понимания измерения. Позже сопоставим теоретическую точку зрения на
измерения с обстоятельствами, возникающими в практических измерениях.
3
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Поскольку в теории возможно значение величины рассматривать как точное
значение, то с точки зрения теории измерений можем случайный характер результата
измерений описать различием результата измерений и значения измеряемой
величины. Отсюда происходит широко распространенное раньше понятие «истинное
значение величины». Названное различие есть с теоретической точки зрения
отклонение от идеального, т.е. погрешность.
В измерениях под погрешностью понимают разность между значением величины и
выбранной исходной величиной. Если исходной величиной выбрана некая
договорная величина, тогда разность между результатом измерения и исходной
величиной называют погрешностью измерений. Если же за исходную величину
принято идеальное понятие – истинное значение величины, то разность между
результатом измерения и истинным значением величины называют ошибкой
измерения.
Таким образом, ошибка измерений – идеальное понятие, которое используется в
теоретических рассуждениях.
Заметим, что в практических измерениях не существует договорной величины,
поскольку если бы она была, то исчезла бы надобность в измерениях (oleks tarbetu
mõõtmisega üldse vaeva näha). Однако можем говорить о договорной величине, когда
имеем дело с непосредственным сравнением, как например при калибровке средства
измерения, т.е. сравнения его с эталоном. Насколько выбранная договорная величина
совпадает со значением измеряемой величины Xi , настолько можем сказать что
погрешность измерений – это оценка ошибки измерений:
ei=xij-{Xi}·[Xj]
(3.1)
Оба понятия обозначим маленькой буквой «е» от английского «error».
В случае если результатом измерения измеряемой величины Xi будет x ij , а
арифметическое среднее совокупности измерений
-хi
, то
__
ei = xi -{Xi}∙[Xi]
(3.2)
В теории измерений обычно говорят, что ошибка измерений состоит
систематической es и случайной ошибок ej :
e = es + ej
из е
из
(3.3)
Систематическая ошибка – разность между арифметическим средним
измерений и значением измеряемой величины, которая получается при
бесконечном количестве измерений в повторяющихся условиях.
Случайная ошибка – разность между измерением и арифметическим
средним той же измеряемой величины, которая получается при бесконечном
количестве измерений в повторяющихся условиях.
Эти определения точно говорят, что оба определения являются
теоретическими, для реализации которорых необходимы идеальные
условия, т.е. бесконечное число повторяющихся опытов (измерений).
4
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
На практике вместо понятия «систематическая ошибка» используют
понятие «систематическая погрешность».
Систематическая
погрешность
измерений
–
разность
между
арифметическим средним совокупности измерений и принятым значением
измеряемой величины.
Вместо понятия «случайная ошибка» на практике используют понятие
«случйная погрешность».
Случайная погрешность измерений – оценка ошибки, полученная при
конечном числе измерений в повторяющихся условиях.
При разделении ошибок измерений на систематические и случайные исходят из
того, что явления, порождающие эти отклонения, - различной природы. В
действительности их различение невозможно, если не принимать во внимание
такие систематические эффекты, которые происходят из-за неправильного
процесса измерения. Это означало бы такую ситуацию, где величина, которую мы
практически измеряем, уже не та величина, значение которой мы хотим измерить.
Поскольку в современных практических измерениях требуется, чтобы все
эффекты, которые могут оказывать влияние на результат измерения, были
учтены уже в модели измерений (см. методика измерений), то при оценке
неопределенности
результата
измерения
необходимость
учитывать
систематические эффекты отпадает. Притом исходим из понимания, что
физический мир по своей природе имеет причинный характер, из чего следует, что
какие-либо погрешности являются причиной какого-либо эффекта. Разумеется, мы
не можем знать и обнаружить, соответственно – оценить и регистрировать все
эффекты или влияющие факторы. Но и таковой практической необходимости тоже
нет, поскольку все суммарное влияние или эффект влияния мы учитываем
случайной погрешностью.
Учитывая выше сказанное, а также, что разделение ошибки измерений ( а значит – и
погрешности измерений как оценки ошибки измерений) на систематические и
случайные составляющие не отражает принципиальных различий между ними, а
только отображает применение разделения в процессе измерения, рассмотрим эти
составляющие в теории измерений. Следует заметить, что разделение на виды
составляющих ошибки может измениться в зависимости от избранного процесса
измерения и требуемой точности.
Рассматриваемые понятия проиллюстрируем графически на рис. 3.1..
3.2.3 Случайные погрешности измерения
При многократном измерении (i= 1,2, ..., N) измеряемой величины Xi
произвольные воздействия являются причиной рассеяния полученных
результатов измерений хij = (1,2, ...,n i ) вокруг арифметического среднего
_
xi этой совокупности результатов измерений, что означает случайные
погрешности ej,ij измеренных значений величины х ij
относительно
арифметического среднего
_
xi . Таким образом, эти погрешности описывают суммарное влияние всех как
нерегистрируемых, так и регистрируемых, но в данной ситуации неучтенных
эффектов на результаты измерения.
5
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Рис. 3.1 Разъясняющая схема измеренного значения величины хij, полученного при
измерении величины Xi’, и погрешность измерения eij = es,i + ej,ij как разность
между значением измеряемой величины EX’ = {Xi’}∙[Xi’] и результатом измерения хij.
_
хij - единичное измеренное значение величины, xi – среднее арифметическое
совокупности измерений,
EX’ = {Xi’}∙[Xi’] - значение измеряемой величины,
es,i - систематическая ошибка измерения ( для простоты на схеме показана как
константное слагаемое),
Кi = - es,i - поправка ( с помощью которой можно уменьшить влияние постоянных и
изменяющихся систематических эффектов на результат измерения),
xp,i = xi’ – результат измерения с поправкой, оценка значения величины Хi’ ;
ej,ij↔_хi - случайная погрешность измерения единичного измеренного значения величины
хij от среднего арифметического совокупности измерений
_
xi ;
ej,x↔ЕХ - средняя случайная погрешность арифметического среднего совокупности
измерений или отклонение от теоретического среднего значения величины EXi,
которая в действительности была объектом измерения;
ej,ij - случайная погрешность единичного измерения хij ;
eij = es,i + ej,ij - погрешность единичного измерения хij
_
Распределение единичных измеренных значений величины хij вокруг xi
арифметического среднего позволяет результат измерения без поправки
дополнить экпериментальным стандартным отклонением s(xij), которое
характеризует типичную случайную погрешность совокупности измерений и
является оценкой стандартного отклонения σi погрешности измерения
измеряемой величины Xi .
6
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
При этом оценкой значения {Xi}∙[Xi] величины Xi ((i = 1, 2, ..., N) является
арфметическое среднее совокупности измерений xij (i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ..., ni)
_
xi . И достоверность этой оценки характеризует экспериментальное стандартное
отклонение s(xij).
s2(xij) – экпериментальная дисперсия, которая дает оценку дисперсии σ2 (хij)
распределения вероятности единичных измерений xij .
_
Так как в теории измерений xi - это среднее арифметическое произвольно
выбранной совокупности элементов ni из распределения измеряемой величины Xi ,
то ясно , что это среднее арифетическое в общем случае не совпадает со средним
значением распределения EXi.
_
Отклонение арифметического среднего xi от среднего значения распределения
измеряемой величины EXi составляет случайную погрешность
_
e j,-x = xi — E(Xi) , потому что при повторении этого измерения по всей
вероятности получим другое среднее значение.
Рассеяние арифметического среднего от среднего значения
стандартное отклонение арифметического среднего:
характеризует
Изменение каждого единичного значения измерения xij ((i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ...,
ni) в совокупности измерений может происходить и из того обстоятельства, что
измеряемая величина Xi сама или объект измерения как носитель измеряемой
величины при измерении изменяется, т.е. измеряемое свойство объекта –
измеряемая величина подвержена случайным колебаниям. И хотя измерения
стараются проводить в неизменяющихся условиях (повторяющихся условиях), но на
практике невозможно полностью предотвратить изменения. Если эти изменения не
учтены систематическим эффектом, то необходимо их рассматривать случайными
изменениями. В этом случае эти изменения добавляются к другим нерегистрируемым
7
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
эффектам и теряется возможность их различать. Несмотря на это, и здесь
целесообразно вычислять
_
арифметическое среднее xi и экспериментальное стандартное отклонение s(xij).
Вдобавок к выше изложеному важным источником рассеяния измеренных значений
величины xij может быть неоднородность состава опытного объекта или объекта
измерения. Это также относится к случайным погрешностям ej,ij . Здесь следует
заметить, что учитывать или нет эти погрешности зависит от цели измерения. Если
стоит задача определения свойства точного объекта, то нет необходимости учитывать
другие свойства этого объекта. Но если стоит задача на основе известной выборки
получить оценку, например, прочностных свойств материала на разрыв или свойств
партии деталей, то следует неоднородность элементов выборки обязательно
принимать во внимание. Способ получения выборки здесь имеет решающее значение.
Эти два разных подхода не находятся в противоречии между собой, поскольку
измеряемая величина, оценку значения которой хотим получить в ходе измерений, в
обоих случаях разная. Это подчеркивается потому, что понимание изменения
измеряемой величины в соответствии с целеполаганием в среде измерителей
недостаточное, особенно в области испытаний.
3.2.4
Систематические эффекты и погрешности
Систематические эффекты разделяются на две группы.
В первую группу относятся те эффекты, которые оказывают неизменное влияние с
известным знаком (+ или - ) на результат измерения. Эти эффекты, которые
приводят к погрешности измерения и которые выявленны при калибровке или
неправильной юстировке средства измерения.
Во вторую группу относятся эффекты, которые являются причиной того, что
результаты измерения отклоняются в известном направлении, например, дрейф
средства измерения, объекта измерения или среды измерения.
Если изменяющиеся во времени или пространстве систематические эффекты можно в
результатах измерения обнаружить, оценить и уменьшить их влияние с помощью
поправок, то неизменные систематические эффекты довольно трудно оценить и
предотвратить.
Например, каждое единичное измеренное значение величины xij и, следовательно, на
основнии совокупности единичных измеренных значений величины xij (i = 1, 2, ..., N; j
= 1, 2, ..., ni) полученное
_
-среднее арифметическое xi
содержит обычно неизменного значения
систематическую ошибку es,i и в общем случае её невозможно определить при
поворении измерений в повторяющихся условиях. Чтобы оценить эти компоненты и
критически проанализировать процесс измерения, нужно основательно знать
измеряемую величину и процесс измерения. Часто систематические эффекты можно
обнаружить, при повторении измерений в измененных условиях, пользуясь,
например, другим методом или принципом измерения.
8
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Ранее теория измерений рассматривала на момент измерений необнаруженные
эффекты и систематическую ошибку разделяли на известную es,t и неизвестную es.u
ошибки.
Современное рассмотрение неопределенности измерений исходит из
предположения, что все известные эффекты, оказывающие влияние на точность,
учтены. Влияние таких эффектов, существование которых будет обнаружено когда-то
позднее, можно благодаря прозрачности (прослеживаемости) добавить к результату
измерения, если в этом возникнет необходимость.
Влияние как постоянных, так и изменяющихся систематических эффектов на
результат измерения можно уменьшить, добавив к измеренному значению величины
(mõõdis) xij поправку Kij. Это – измеренное значение величины с поправкой:
xpij = xij + Kij.
Если поправки к измеренному значению величины не используются, тогда речь идет
-о среднем арифметическом xi совокупности измеренных значений величины xij .
Если предполагаем, что эффект постоянный, то можно применить поправку Ki = Ki1
=Ki2 = ... = Kin к среднему арифметическому :
-xp,i, = xi + Ki.
На рис. 3.1 в целях упрощения исходят именно из этого предположения ( эффект
– постоянный).
Помимо этого для того, чтобы показать особенности систематического эффекта,
предположили, что величина Xi , при измерении значения которой получили оценку
xi , в практических измерениях не совпадает с величиной Xi , нахождение значения
которой было целью измерения, т.е.:
Xi' = Xi + e s.i
3.2.5
(3.4)
Графическое пояснение погрешностей измерения
Измеренные значения xij величины Xi – это реализация случайной величины Xi
Случайная величина Xi
подчиняется законам распределения случайных
величин, важнейшими парметрами которых являются среднее значение EXi и
стандартное отклонение σi.
В соответствии с нашим подходом существование систематических эффектов влияет
на изменение измеряемой величины ( см. формулу 3.4). Таким образом, можем
сказать, что средняя величина EXi , оценкой которой является арифметическое
-среднее xi совокупности измеренных значений xij измеряемой величины Xi , значение
которой {Xi}·[Xi]. С точки зрения теории измерений средняя величина EXi –
предельное значение арифметического среднего, если количество измерений
бесконечно ni —> ∞ .
9
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Стандартное отклонение σi – мера
рассеяния вычисленных случайных
погрешностей e j,ij между полученными единичными результатами измерений xij и
средней величиной EXi при бесконечном измерении физической величины Xi .
Значения параметров EXi и σi случайной величины Xi в общем нам не известны.
Перед нами стоит задача при помощи совокупности измеренных значений xij
измеряемой величины Xi дать оценку значению измеряемой величины xi , а
также на основе погрешностей измерения es,i и ej,ij оценить её (оценки)
достоверность при помощи неопределенности измерений.
-Обычно для оценки среднего значения EXi используют арифметическое среднее xi и
экспериментальное стандартное отклонение s(xij), которое является оценкой
стандартного отклонения σi , характеризующего распределение измеренных значений
величины xij.
Поскольку измеренные значения xij величины Xi являются в данном случае
реализацией значения {Xi}·[Xi] величины Xi , то согласно рис. 3.1. полученный
--
результат без поправки, которым является арифметичское среднее xi , имеет
случайную погрешность:
--
e j,x = xi - EXi.
Также экпериментальное стандартное отлонение s(xij) отклоняется от
страндартного отклонения σi .
На рис. 3.1 совокупность измеренных значений величины составляет
распределение выборки измеряемой величины Xi , среднее значение которой
EXi .
Значение измеряемой величины
{Xi´}·[Xi´], которое хотели получить
результатом измерений, из-за наличия систематического эффекта отличается от
теоретического среднего значения EXi на величину систематической ошибки
es,i.
Для упрощения на схеме отсутствует кривая распределения плотности f (x)
измеряемой величины. Случайная погрешность измерения арифметического
среднего совокупности измерений
ej,x↔EX есть отклонение от теоретического
среднего значения измеряемой величины EXi .
Поскольку измеренные значения величины xij распределяются по какому-либо
закону распределения, например, нормальному закону распределения, то тогда
--
при помощи среднего арифметического xi и экпериментального стандартного
отклонения s(xij)
можно определить доверительный интервал, который
характеризует сходимость результата измерения и среднего значения EXi .
Полученный доверительный интервал получается на основании свойств
конкретного закона распределения и, следовательно, действителен только для
этого закона распределения плотности измеренных значений величины.
--
Такой доверительный интервал окружающий арифметическое среднее xi
покрывает среднее значение EXi с заданным уровнем достоверности 1- а.
10
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Доверительный интервал – статистическое определение, которое означает, что
полученный при многократном повторении измерений доверительный интервал,
который тоже есть случайная величина, состоит из распределения среднего значения
EXi с вероятностью 1 – а, где а – доверительная вероятность, значение которой на
практике выбирается равным 0,90 – 0,95, а в ответственных случаях – 0,99.
Доверительный интервал, таким образом, описывает влияние случайных
погрешностей ej,ij на результат измерения
xi.
3.3
Неопределенность результата измерений
3.3.1 Общая характеристика
Итак, как было выяснено, погрешности измерений относятся к случайным
величинам. Следовательно, их значения неизвестны и их невозможно точно знать.
Таким образом, погрешностям измерения можно дать только оценку.
То же самое относится и к неопределенности результата измерений, которая
выражает влияние эффектов, являющихся причиной погрешностей измерения.
В случае погрешности измерений исходим из того, что
некоторой договорной величиной и результатом измерения.
это разность между
А в случае неопределенности исходим из того, что результат измерения –
наилучшая оценка значения измеряемой величины, при этом неопределенностью
результата измерений выражается случайный характер измеряемой величины,
который является причиной условной достоверности результата измерений.
Различие неопределенности, ошибки и погрешности измерения поясняет рис. 3.3.
Результат измерения
Значение измеряемой величины
Ошибка измерения
Расширенная
неопределенность
Расширенная
неопределенность
Погрешность
измерения
Договорное значение
измеряемой величины
11
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Рис. 3.3. Схема, поясняющая различия между неопределенностью, ошибкой и погрешностью
измерения.
Даже в том случае если оценочные значения неопределености малы, нет никакой
гарантии, что погрешность измерения может быть маленькой. Причин может быть
несколько. Например, при определении поправки какой –либо систематический
эффект может остаться неизвестным. Поэтому неопределенность не характеризует
безусловно то обстоятельство, насколько близок результат измерения к
значению измеряемой величины. В случае погрешности измерений можем это
оценить хотя бы приблизительно ( см. рис. 3.1. и 3.3), но только при условии, что есть
некая исходная (эталонная)
договорная величина, относительно которой
рассматриваем погрешность. Может быть и иначе, что полученный результат
измерения как оценка неизвестного значения измеряемой величины может оказаться
довольно близким к этому значению, несмотря на то, что в результате анализа
неопределенности измерения вынуждены присвоить неопределенности бОльшее
значение. Это показывает то, что неопределенность измерения нельзя толковать как
погрешность измерения. Поскольку слово «неопределенность» означает «сомнение» ,
то понятие неопределенность в широком значении выражает сомнение в
действительности (достоверности) результата измерений.
Неопределенность как дефиниция – связанный с результатом измерения
неотрицательный параметр, который характеризует дисперсию (рассеяние,
распределение) присвоенного значения измеряемой величине.
В большинстве случаев это распределение значений близко к нормальному
рапределению. Следовательно, неопределенность – это не интервал значений
величины, а количественно выраженный параметр. Наиболее часто этот параметр
выражается экпериментальным стандартным отклонением.
Плотность нормального распределения вероятностей случайной величины (распределение
Гаусса)
Плотность распределения:
Среднее значение EX случайной величины X находят из соотношения:
12
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
Дисперсия DX :
Из этих соотношений следует, что параметрами нормального распределения а и σ
случайной величины Х являются соответсвенно среднее значение ЕХ и стандартное
отклонение.
Определение неопределенности указывает на то, неопределенность – это свойство
результата измерения. Таким образом, принципиально неверно присваивать
понятие неопределенности средству измерения или методу измерения. Логичнее
говорить о непоределенности результата измерения, полученного при этом методе
измерения или при калибровке средства измерения – о неопределенности полученной
поправки.
Из определения понятия неопределенности следует также, что полученный результат
измерения известной исходной измеряемой величины в общем случае является
одной из возможных оценок измеряемой величины в ряду бесконечного множества.
Эти оценки более или менее находятся в соответствии с измеренным значением
величины, исходными данными и нашими знаниями физического мира.
Неопределенность характеризует распределение вероятностей оценок, которые
обоснованно присваиваются этой величине, причем основанием для этого является
вся известная информация о процессе измерения.
3.3.2 Источники неопределенности результата измерений
Отправным пунктом оценки неопределенности результата измерений считаем то
обстоятельство, что результат измерения измеряемой величины есть наилучшая
оценка значения измеряемой величины. При нахождении неопределенности
измерений учитываются все составляющие неопределенности, в том числе и те,
которые обусловлены поправками и используемыми эталонами. При этом
предполагается, что все известные ранее систематические эффекты учтены
поправками. Неопределенность результата измерения отражает то, что у нас
отсутствуют точные данные значения измеряемой величины. И после устранения
всех известных систематических эффектов результат измерения является лишь
оценкой значения измеряемой величины потому, что невозможно устранить все и
полностью эффекты, которые являются причиной случайных и систематических
погрешностей измерения.
13
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
В практике измерений есть множество возможных источников неопределенности. На
неопределенность результатов измерения влияют следуюшие факторы:
- нелостаточное определение измеряемой величины
- неостаточная реализация определения измеряемой величины
- несоответствие объекта измерений определению измеряемой величины
- недостаточные знания об условиях окружающей среды и их влиянии на процесс
измерения или нелостаточное измерение параметров окружающей среды
- ошибки при снятии показаний со шкалы прибора
- оганиченный порог чувствительности или разрешения измерительногоприбора
- неточные или неправильные значения эталонов
- неточные значения констант, взятых из литературы или других источников
- используемые предположения и принимаемые решения в в процедуре измерений
или методе измерения
- при внешне идентичных повторяющихся условиях полученные различные
результаты измерения вне зависимости от того, что источники этих различий
учтены.
Перечисленные факторы могут быть между собой связаны и влиять на друг друга.
3.4. Стандартная неопределенность результата измерений –
Это неопределенность, выраженная стандартным отклонением результата
измерений.
О ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ
При вычислениях на микрокалькуляторе в ответе автоматически получается
столько цифр, сколько их вмещается на индикаторе микрокалькулятора. При этом
создается впечатление об избыточной точности результата. В то же время
результаты измерений являются приближенными числами. Напомним (см.,
например, М.Я.Выгодский, Справочник по элементарной математике), что для
приближенных чисел отличают запись 2,4 от 2,40, запись 0,02 от 0,0200 и т.д.
Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же
значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38.
Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403
или 2,398, но не 2,421 и не 2,382.
14
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
То же отличие проводится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры
верны. Если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но
записывается не в виде 380, а в виде 38·10. Запись же 380 означает, что последняя
цифра (ноль) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47·10 2
или 4,7·103.
В тех случаях, когда численные значения физических величин много больше либо
много меньше единицы, их принято записывать в виде числа между 1 и 10,
умноженного на соответствующую степень десяти.
Число знаков в окончательном результате устанавливается по следующим
правилам. Сначала ограничивается число значащих цифр погрешности.
Значащими цифрами называются все верные цифры числа кроме нулей, стоящих
впереди числа. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры, в числе 0,03085
четыре значащие цифры, в числе 2500  четыре, в числе 2,5·103  две.
Погрешность записывается всегда с одной или двумя значащими цифрами.
При этом руководствуются следующими соображениями.
Величина случайной погрешности, полученная из обработки результатов
некоторого числа измерений, сама является случайным числом, т.е., если проделать
это же число измерений еще раз, то, вообще говоря, будет получен не только
другой результат для измеряемой величины, но и другая оценка для погрешности.
Поскольку погрешность оказывается случайным числом, то, пользуясь законами
математической статистики, можно и для нее найти доверительный интервал.
Соответствующие расчеты показывают, что даже при довольно большом числе
измерений этот доверительный интервал оказывается весьма широким, т.е.
величина погрешности оценивается достаточно грубо. Так при 10 измерениях
относительная погрешность у погрешности превышает 30%. Поэтому для нее
следует приводить две значащие цифры, если первая из них 1 или 2, и одну
значащую цифру, если она равна или больше 3. Это правило легко понять, если
учесть, что 30% от 2 составляет 0,6, а от 4 уже 1,2. Таким образом, если
погрешность выражается, например, числом, начинающимся с цифры 4, то это
число содержит неточность (1,2), превышающую единицу первого разряда.
После того, как погрешность записана, значение результата должно быть округлено
таким образом, чтобы его последняя значащая цифра была того же разряда, что и у
погрешности. Пример правильного представления окончательного результата:
t=(18.7 1.2)·102 с.
15
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
16
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused TTÜ Kirjastus, 2002 matrjalide abil
17