Document 530048

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
В.Н. Демидов
Тема работы: Точечные и интервальные (доверительные) оценки параметров
нормально распределенной случайной величины.
Цель работы: Научиться определять точечные и интервальные оценки математического
ожидания и дисперсии нормально распределенных случайных величин.
Задание: Построить точечную и двустороннюю интервальную оценку для истинного
значения измеряемой величины (при известной и неизвестной дисперсии); построить
точечную и двустороннюю интервальную оценку для точности измерений (при известном
и неизвестном значении измеряемой величины) по заданной совокупности результатов
эксперимента x1 , x2 , , xn .
Теоретическая часть
Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины.
Допустим, что все n измерений x1 , x2 , , xn величины a взаимно независимы и
произведены с одинаковой точностью  (которая предполагается известной, например,
по результатам предыдущих измерений), и ошибки измерений подчиняются стандартному
нормальному распределению. Тогда случайный интервал

 

, x  uq
 x  uq

n
n

есть доверительная оценка величины a с мерой надежности 1   , т. е.

 

P x  u q
 a  x  uq
  1  .
n
n

1
Здесь x 
n
n
x
- точечная оценка измеряемой величины, u q - квантиль стандартного
i
i 1
нормального распределения уровня q  1   / 2 , определяемый из решения уравнения
 uq  1   / 2 ,
 
x
 t2 
1
exp  dt - функция стандартного нормального распределения, 
где  x  
 2   2 

- уровень значимости.
Если точность измерений не известна, то сначала вычисляется оценка
среднеквадратичной ошибки
1
s
n 1
n
 x  x 
2
i
,
i 1
а затем строится доверительный интервал
s
s 

, x  t q ,n1
 x  t q ,n1
,
n
n

(1)
где t q ,n 1 - квантиль уровня q  1   / 2 распределения Стьюдента с n  1 степенями
свободы, определяемый как корень уравнения
Fn1 t q ,n1  q  1   / 2 ;


Fn1 x  - функция распределения Стьюдента с n  1 степенями свободы. Если для оценки
среднеквадратичной ошибки используется смещенная оценка дисперсии
1
S
n
n
 x  x 
2
i
,
i 1
то доверительный интервал (1) для параметра a записывается в виде
S
S 

, x  t q ,n1
 x  t q ,n1
.
n 1
n 1 

Доверительный интервал для точности измерений.
2
Доверительные интервалы (при доверительной вероятности p  1   ) для дисперсии 
нормально распределенной случайной величины при известном и неизвестном значении
величины a имеют соответственно вид:


n 2
n 2
2
  2
c R2 , p
cL ,p
и
n  1s 2
d R2 , p

2

n  1s 2

,
d L2, p
где
1

2 
n
Квантили c
уравнений:
2
L ,p
,c
2
R ,p
n
 x  a 
и d
2
i
i 1
2
L ,p
,d
2
R ,p
,
1
s 
n 1
2
n
 x  x  .
2
i
i 1
распределения «хи-квадрат» находятся как корни

,
2

 2n1 d L2, p   ,
2
 2n cL2 , p  

,
2

 2n1 d R2 , p   1 
2
 2n cR2 , p   1 
при n и n  1 степенях свободы соответственно.
Важно помнить, что интервальные оценки не должны зависеть от самого
оцениваемого параметра.
Порядок выполнения задания
1. Присвойте переменной ORIGIN значение равное единице, а переменной n - указанное в
задании число, равное количеству элементов эмпирической выборки.
2. Введите (с использованием функции READPRN(“путь к файлу”)) вектор выборочных значений.
2
2
3. Вычислите точечные оценки x , s и S .
4. Определите 95%-ные доверительные интервалы для
Вычислите длины доверительных интервалов.
a
при известной и неизвестной дисперсии.
5. Определите 95%-ные доверительные интервалы для  при известной и неизвестной величине a .
Вычислите длины доверительных интервалов.
6. Повторите вычисления п.п.4 – 5 при ином значении доверительной вероятности, например, p  0.99 .
2
Сравните полученные результаты.
7. Разделите выборку на две части (взяв, например, первые n / 2 значений в качестве первой выборки,
оставшиеся значения – в качестве второй выборки). Проделайте вычисления п.п.3 – 6 для каждой из двух
выборок. Сравните результаты для частичных выборок и для полной выборки.
8. Сохраните рабочий документ.