Тема: «Приближенные вычисления»

Тема: «Приближенные вычисления»
Погрешности измерений и их оценка. Точные числа получаются в результате
подсчета каких-нибудь предметов, объектов (10 стульев, 20 столов и т.п.) либо по
установке или договоренности: например, будем считать 270 точным числом. Иногда
пишут 270 (точно). Если же значение величины получено в результате измерений и
действий над этими измеренными величинами, то результат никогда не может быть
точным, это принципиально: во всех случаях получается результат с какой-то погрешностью.
Измерения бывают прямыми и косвенными.
Прямое измерение - такое, в процессе выполнения которого значение физической
величины измеряется непосредственно с помощью прибора, например: силы тока амперметром, длины - линейкой, скорости - спидометром и т.п.
Пусть при измерении получено значение физической величины А , тогда
результат измерения записывается в виде А = А 0 ± ∆ А , где ∆А - абсолютная
погрешность измерения, выражаемая в тех же единицах, что и А0.
Выражение δА = Δ А / А 0 называют относительной погрешностью;
относительная погрешность обычно выражается в десятичных дробях или процентах
δА = ( Δ А / А 0 ) ∙ 1 0 0 %
Выражение А = А 0 ± ∆ А означает, что значение А измеряемой величины лежит в
интервале значений, границами которого являются А 0 - ∆ А и А 0 + ∆ А . Этот интервал
можно изобразить графически на числовой оси (рис.). Более точными измерениями этот
интервал можно уменьшать, но ликвидировать его принципиально нельзя.
Косвенное измерение - такое, при котором значение измеряемой величины
получают на основе прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной
определенной зависимостью.
Погрешности измерений делят на систематические и случайные.
Систематические погрешности - те, которые остаются постоянными по значению
и по знаку либо меняются по определенному закону при повторных измерениях одной и
той же величины одним и тем же прибором. Их причинами являются несовершенство
приборов, метода, неправильная установка прибора, влияние температуры, влажности и
др.
К систематическим погрешностям относятся:
-инструментальные, возникшие вследствие несовершенства конструкции прибора;
погрешности метода, возникающие из-за несовершенства метода
измерений.
Инструментальная погрешность указывается в паспорте к прибору.
Погрешности метода можно уменьшить, выбрав такой метод проведения
эксперимента, в котором погрешность минимальна. Например, при измерении удельной
теплоемкости вещества следует горячее тело опускать в холодную воду, а не холодное
тело - в горячее. В то же время погрешность метода полностью устранить зачастую не
удается.
Случайные погрешности - такие, которые при повторных измерениях принимают
различные взаимно несвязанные значения. Их причинами являются несовершенство
органов чувств, непостоянство измеряемой величины, дискретность значений величин на
шкале приборов и др.
К случайным погрешностям относятся:
-погрешность среднего арифметического, возникающая при многократных
измерениях одной и той же величины с помощью одного и того же измерительного
прибора (толщина проволоки в разных местах, длина стола, измеренная с разных сторон,
и др.);
погрешность отсчета, возникающая при снятии показания прибора; она
принимается равной половине цены деления, исключение составляет секундомер, у
которого она равна цене деления.
При вычислении погрешности среднего арифметического определяется среднее
арифметическое значение измеряемой величины, отклонение значений от среднего
арифметического и среднее отклонение. Полученная погрешность складывается с
другими.
Следует иметь в виду, что метод среднего арифметического нельзя применять, если
измерение обладает свойством воспроизводимости (например, измерение массы одного и
того же тела на одних и тех же весах). Кроме того, нельзя вычислять среднее арифметическое значений величины, полученных разными учащимися, поскольку каждый из них
работает со своей экспериментальной установкой и со своими приборами.
При вычислении погрешности косвенного измерения используют три метода:
метод подсчета значащих цифр;
метод границ;
метод границ погрешностей (метод оценки).
Метод подсчета значащих цифр
Пусть при измерении длин получены следующие значения: a = 1,4м ; b= 2,6 м. С
учетом погрешности измерений I = (1,4±0,05)м; U = (2,6 0,05) м. Тогда площадь S = 2,6
м∙1,4 м = 3,64 м2.
В значении длины две значащие цифры и в значении ширины - две, поэтому в
результате должно остаться столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим
числом значащих цифр, т.е. тоже две. Используя правило округления, получаем S = 3,6
м2.
Метод границ
При использовании метода границ находят верхнюю и нижнюю границы
измеряемой величины. При этом нужно помнить правила определения границ значений
величин (см. табл. 1).
Таблица 1
Действие над
величинами
А = В+С
А=В-С
А=В·С
А=В/С
Верхняя граница
(в)
А В = В В +С В
Ав = Вв — Сн
Ав= Вв∙Св
Ав = Вв/С н
Нижняя граница
(н)
АН = ВН + С
А н = Вн - Св
Ан= Вн∙Сн
Ан = B Н / C В
Метод границ погрешностей (метод оценки)
Вычисление погрешности измерений этим методом основано на операции
дифференцирования.
В таблице 2 приведены формулы для расчета погрешности косвенных измерений
методом оценки.
Таблица 2
Действие над
величинами
А =В + С
Относительная погрешность
А=В-С
ΔА/А=(ΔВ+ΔС)/(В-С)
А=ВС
ΔА/А=ΔВ/В+ΔС/С
ΔА/А=(ΔВ+ΔС)/(В+С)
А=В/С
ΔА/А= ΔВ/В-ΔС/С
А=В"
ΔА/А=
∙ΔВ/В
А = sin х
ΔА/А= ctgΔx
A=tgx
Δ А / А = 2ΔxSin2x