ДР Аналитическая геом

Домашняя работа
«Аналитическая геометрия на плоскости»
1. Напишите уравнение прямых, проходящих через точку М, одна из которых
параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой l.
1. 𝑀(−2; 1), 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0.
16. 𝑀(−2; 2), 𝑙: 4𝑥 + 𝑦 − 3 = 0.
2. 𝑀(3; −3), 𝑙: 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0.
17. 𝑀(3; −1), 𝑙: 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
3. 𝑀(2; −1), 𝑙: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0.
18. 𝑀(−2; −2), 𝑙: 2𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0.
4. 𝑀(−1; 4), 𝑙: 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0.
19. 𝑀(1; −5), 𝑙: 3𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0.
5. 𝑀(−5; 0), 𝑙: −𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0.
20. 𝑀(2; −3), 𝑙: −2𝑥 + 5𝑦 − 4 = 0.
6. 𝑀(4; −1), 𝑙: 𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0.
21. 𝑀(−3; −4), 𝑙: 𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0.
7. 𝑀(1; −1), 𝑙: 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0.
22. 𝑀(5; 1), 𝑙: −2𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0.
8. 𝑀(2; 0), 𝑙: −4𝑥 + 𝑦 + 2 = 0.
23. 𝑀(−2; 4), 𝑙: 4𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.
9. 𝑀(6; −1), 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0.
24. 𝑀(1; 6), 𝑙: −2𝑥 + 𝑦 = 0.
10. 𝑀(1; −3), 𝑙: −3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
25. 𝑀(0; −3), 𝑙: 2𝑥 − 5𝑦 + 21 = 0.
11. 𝑀(1; 1), 𝑙: 𝑥 − 𝑦 + 10 = 0.
26. 𝑀(2; 4), 𝑙: −𝑥 − 5𝑦 − 2 = 0.
12. 𝑀(2; −2), 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0.
27. 𝑀(−4; 4), 𝑙: 𝑥 + 5𝑦 + 13 = 0.
13. 𝑀(−1; 1), 𝑙: 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0.
28. 𝑀(−3; 0), 𝑙: 4𝑥 − 𝑦 + 13 = 0.
14. 𝑀(2; 2), 𝑙: 3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0.
29. 𝑀(3; 3), 𝑙: −4𝑥 + 𝑦 − 2 = 0.
15. 𝑀(2; 1), 𝑙: 𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0.
30. 𝑀(1; 4), 𝑙: −2𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0.
2. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M и через
точку пересечения прямых 𝑙1 и 𝑙2 .
1. 𝑀(1; −2), 𝑙1 : 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0.
2. 𝑀(−4; 0), 𝑙1 : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0.
3. 𝑀(1; −1), 𝑙1 : 7𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0.
4. 𝑀(4; 3), 𝑙1 : 5𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0.
5. 𝑀(3; 3), 𝑙1 : 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 7𝑦 + 4 = 0.
6. 𝑀(4; 4), 𝑙1 : 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0.
7. 𝑀(0; −3), 𝑙1 : 𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0; 𝑙2 : 𝑥 + 5𝑦 + 4 = 0.
8. 𝑀(2; −2), 𝑙1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0.
9. 𝑀(−2; 0), 𝑙1 : 2𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0; 𝑙2 : −𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0.
10.𝑀(1; −2), 𝑙1 : 2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0; 𝑙2 : 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0.
11.𝑀(2; 1), 𝑙1 : 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0; 𝑙2 : 3𝑥 + 5𝑦 + 11 = 0.
12.𝑀(−1; −3), 𝑙1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0.
13.𝑀(−1; 1), 𝑙1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0.
14.𝑀(2; −3), 𝑙1 : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0.
15.𝑀(4; 0), 𝑙1 : 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0.
16.𝑀(3; −2), 𝑙1 : 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0; 𝑙2 : 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0.
17.𝑀(0; 1), 𝑙1 : 𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0; 𝑙2 : −𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.
18.𝑀(1; 0), 𝑙1 : 4𝑥 − 𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0.
19.𝑀(−1; −4), 𝑙1 : 2𝑥 − 𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 𝑥 + 𝑦 − 7 = 0.
20.𝑀(2; −4), 𝑙1 : 3𝑥 − 𝑦 + 10 = 0; 𝑙2 : −𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.
21.𝑀(2; −5), 𝑙1 : 3𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0; 𝑙2 : 4𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0.
22.𝑀(2; 1), 𝑙1 : −2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 2𝑦 + 1 = 0.
23.𝑀(1; −4), 𝑙1 : −2𝑥 + 2𝑦 − 11 = 0; 𝑙2 : 2𝑥 + 3 = 0.
24.𝑀(−2; 4), 𝑙1 : −𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : −7𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0.
25.𝑀(2; 3), 𝑙1 : −𝑥 + 𝑦 − 4 = 0; 𝑙2 : −7𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0.
26.𝑀(1; −4), 𝑙1 : 3𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0; 𝑙2 : −3𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0.
27.𝑀(3; 2), 𝑙1 : −3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0; 𝑙2 : 7𝑥 − 9𝑦 − 3 = 0.
28.𝑀(−3; 3), 𝑙1 : −3𝑥 + 4𝑦 + 14 = 0; 𝑙2 : 7𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0.
29.𝑀(1; 7), 𝑙1 : −2 + 5𝑦 + 9 = 0; 𝑙2 : 3𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0.
30.𝑀(−1; 5), 𝑙1 : 5𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0; 𝑙2 : 4𝑥 + 5𝑦 + 7 = 0.
3. Найдите расстояние от точки Р до прямой 𝑙.
1. 𝑃(1; 4), 𝑙:
𝑥−2
2. 𝑃(−2; 2), 𝑙:
3. 𝑃(2; 3), 𝑙:
4. 𝑃(3; 2), 𝑙:
=
3
𝑥+3
2
𝑥−4
3
𝑥−2
1
𝑦+1
=
=
=
𝑥−1
2
7. 𝑃(3; −1), 𝑙:
𝑦−2
1
−2
.
4
3
−2
.
=
.
𝑦+1
2
9. 𝑃(−2; 1), 𝑙:
.
𝑥
−3
1
𝑥−4
4
14.𝑃(3; 1), 𝑙:
𝑥−2
−4
𝑥+2
1
𝑦−2
𝑦−3
4
=
=
𝑥+5
−1
=
=
.
3
=
𝑥+3
12.𝑃(−1; −2), 𝑙:
13.𝑃(1; 1), 𝑙:
=
−4
11.𝑃(−1; 3), 𝑙:
𝑦+3
2
𝑥+5
10.𝑃(−3; 1), 𝑙:
𝑦−3
𝑦+2
𝑥−1
.
.
4
𝑥
=
8. 𝑃(1; 1), 𝑙:
𝑦−2
5. 𝑃(−1; −1), 𝑙: =
6. 𝑃(2; 4), 𝑙:
.
2
.
𝑦−2
−2
.
𝑦−1
3
𝑦−3
=
1
𝑦+2
2
.
𝑦−1
2
.
.
.
15.𝑃(3; −1), 𝑙:
16.𝑃(−2; 1), 𝑙:
17.𝑃(3; −2), 𝑙:
18.𝑃(−3; 0), 𝑙:
19.𝑃(−2; 1), 𝑙:
20.𝑃(0; −1), 𝑙:
21.𝑃(0; 2), 𝑙:
−6
𝑥+3
−2
𝑥+2
8
𝑥−2
−3
𝑥−3
2
𝑥
−4
𝑥+3
−2
22.𝑃(1; −4), 𝑙:
4.
𝑥+3
=
=
=
=
=
=
𝑥+1
3
=
𝑦+2
.
8
𝑦−5
.
4
𝑦+2
.
6
𝑦+1
24.𝑃(1; 2), 𝑙:
25.𝑃(1; −2), 𝑙:
𝑦−1
27.𝑃(−3; 1), 𝑙:
−1
3
.
28.𝑃(2; 3), 𝑙:
.
𝑦−4
1
𝑦−4
−2
.
30.𝑃(3; 4), 𝑙:
−1
𝑥+3
2
𝑥−1
3
−1
−3
3
𝑦−3
4
.
𝑦−4
.
2
=
=
=
=
𝑥−3
𝑥+3
=
=
𝑥−1
𝑥−1
29.𝑃(−2; 1), 𝑙:
.
−2
1
26.𝑃(−2; 1), 𝑙:
4
𝑥+1
𝑥+1
.
𝑦+5
=
23.𝑃(−2; 0), 𝑙:
𝑦−5
2
.
𝑦−2
−1
.
𝑦−3
−1
.
𝑦+1
2
.
𝑦
= .
=
1
𝑦−1
−4
.
В треугольнике ABC составьте уравнения:
1) стороныBC;
2) высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;
3) медианы, проведенной из вершины C.
1. 𝐴(−3; 3), 𝐵(5; 1), 𝐶(6; −2).
16.𝐴(3; 2), 𝐵(−1; 3), 𝐶(1; −2).
2. 𝐴(2; 0), 𝐵(5; 3), 𝐶(3; 7).
17.𝐴(3; 3), 𝐵(2; 1), 𝐶(5; 2).
3. 𝐴(2; −1), 𝐵(4; 5), 𝐶(−3; 2).
18.𝐴(5; 4), 𝐵(4; 1), 𝐶(7; 2).
4. 𝐴(3; −3), 𝐵(5; 1), 𝐶(−6; 2).
19.𝐴(2; 2), 𝐵(1; −1), 𝐶(4; 0).
5. 𝐴(2; 1), 𝐵(−1; −1), 𝐶(3; 2).
20.𝐴(2; 1), 𝐵(1; −2), 𝐶(4; −1).
6. 𝐴(0; 1), 𝐵(−2; 2), 𝐶(3; −2).
21.𝐴(2; 7), 𝐵(1; 4), 𝐶(4; 5).
7. 𝐴(−2; −1), 𝐵(1; 1), 𝐶(4; 0).
22.𝐴(2; 0), 𝐵(1; −3), 𝐶(4; −2).
8. 𝐴(3; −1), 𝐵(−3; 1), 𝐶(1; 4).
23.𝐴(2; 6), 𝐵(1; 3), 𝐶(4; 4).
9. 𝐴(4; −2), 𝐵(1; 6), 𝐶(−3; 1).
24.𝐴(−1; 0), 𝐵(1; 5), 𝐶(4; −3).
10.𝐴(4; 2), 𝐵(−1; 3), 𝐶(1; −2).
25.𝐴(2; 5), 𝐵(1; 2), 𝐶(4; 3).
11.𝐴(0; 4), 𝐵(−3; −2), 𝐶(0; 1).
26.𝐴(−3; −2), 𝐵(2; 2), 𝐶(4; −1).
12.𝐴(2; 0), 𝐵(−2; 1), 𝐶(1; −1).
27.𝐴(−2; 2), 𝐵(1; −1), 𝐶(4; 1).
13.𝐴(−1; 1), 𝐵(1; −2), 𝐶(3; 1).
28.𝐴(2; 7), 𝐵(−3; −3), 𝐶(3; −1).
14.𝐴(1; 1), 𝐵(−2; −3), 𝐶(2; 0).
29.𝐴(1; −4), 𝐵(3; 2), 𝐶(−3; 1).
15.𝐴(2; 4), 𝐵(1; 1), 𝐶(4; 2).
30.𝐴(2; 5), 𝐵(1; 2), 𝐶(4; 3).
5.
1. 𝐶(3; −2) – вершина прямого угла равнобедренного треугольника, 2𝑦 −
5𝑥 + 1 = 0 - уравнение его гипотенузы. Напишите уравнения катетов
этого треугольника.
2. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(−2; 6) и
составляющей с осью Ox угол, вдвое меньший угла, который составляет с
осью Ox прямая √3𝑦 − 3𝑥 + 5 = 0.
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(1; −2) и
составляющей с осью Ox угол, вдвое больший угла, который составляет с
осью Ox прямая √3𝑥 − 3𝑦 + 13 = 0.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(−3; −3) и
составляющей с осью Ox угол, втрое больший угла, который составляет с
осью Ox прямая 𝑥 − 𝑦 − 17 = 0.
5. Вершины треугольника 𝐴(2; −1), 𝐵(4; 5), 𝐶(−3; 2). Напишите
уравнение прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести
треугольника АВС.
6. Вершины треугольника 𝐴(2; 0), 𝐵(5; 3), 𝐶(3; 7). Напишите уравнение
прямой, проходящей через вершину В и параллельно медиане АМ
треугольника.
7. Вершины треугольника 𝐴(1; −2), 𝐵(−1; 3), 𝐶(3; 2). Напишите
уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и
параллельных его сторонам.
8. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из начала координат
на прямую, заданную уравнением 𝑥 − 𝑦 − 17 = 0.
9. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями 𝑥 − 5𝑦 − 2 =
0 и 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0.
10. При каком значении p прямые 3𝑥 − 𝑝𝑦 − 3 = 0 и 2𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0
параллельны?
11. При каком значении l прямые 3𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0 и 𝑙𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
перпендикулярны?
12. При каком значении l прямая 𝑙𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 параллельна прямой,
проходящей через точки 𝑀(−1; 2) и 𝑁(1; 4)?
13. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку 𝑀(−2; 2) и
отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.
14. Точки 𝐴(2; 1), 𝐵(4; 2), 𝐶(−3; 3) – последовательные вершины
параллелограмма ABCD. Напишите уравнения сторон этого
параллелограмма.
15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку Р(2; −1) и
составляющей угол 450 с прямой 2𝑥 + 5𝑦 + 1 = 0 .
16. Найдите расстояние между параллельными прямыми, заданными
уравнениями 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 и 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0.
17. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку 𝑀(−1; 2) под
углом 450 к прямой 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 .
18. Из точек 𝐴(1; 2) и 𝐵(3; 1) проведены прямые через начало координат.
Вычислите угол между этими прямыми.
19. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку 𝐴(1; 1) и
отсекающих на оси 𝑂𝑥 отрезок вдвое больший, чем на оси 𝑂𝑦.
20. Найдите длину высоты, проведенной к стороне АВ, в треугольнике с
вершинами в точках 𝐴(2; 0), 𝐵(4; 2), 𝐶(−3; 3).
21. Прямые 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 и 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 являются сторонами
прямоугольника, прямая 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 - одна из его диагоналей.
Напишите уравнения двух других сторон прямоугольника.
22. Напишите уравнение средней линии, параллельной стороне АС
треугольника АВС, если заданы его вершины 𝐴(1; −1), 𝐵(4; 2), 𝐶(−3; 3).
23. Напишите уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника АВС, параллельных его сторонам, если заданы координаты
вершин треугольника 𝐴(1; −1), 𝐵(−4; 2), 𝐶(3; 1).
24. Напишите уравнения прямых, отстоящих на расстояние 3 от начала
координат и образующих угол 600 с осью 𝑂𝑥.
25. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М(1; 3) и
отсекающих на оси 𝑂𝑦 отрезок втрое больший, чем на оси 𝑂𝑥.
26. Прямые 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 и 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 – смежные стороны
параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, а 𝑃(−2; −1) – точка пересечения его диагоналей.
Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.
27. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 найдите точку пересечения высот, если заданы
его вершины 𝐴(1; 0), 𝐵(−4; 1), 𝐶(−2; 2).
28. Даны 7𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0 и 2𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0 - уравнения двух сторон
равнобедренного треугольника. Напишите уравнение третьей стороны
треугольника, если точка 𝑀(2,8; 0) – ее середина.
29. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 найдите расстояние от вершины А до медианы,
проведенной из вершины С, если заданы координаты вершин
𝐴(2; 1), 𝐵(−2; 0), 𝐶(0; 3).
30. Вершины треугольника 𝐴(2; 1), 𝐵(4; −5), 𝐶(−3; 3). Напишите
уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку
пересечения высот треугольника АВС.