Геометрический и физический смысл дробной производной

1
Физический смысл дробной производной
Аннотация
Известно, что большинство физических процессов описываются динамическими
системами, в которых учитываются производные дробных порядков.
Широкое применение дробных интегралов и производных сдерживается
отсутствием их четкого физического истолкования, такого, например, как у
обыкновенного интеграла и обыкновенной производной.
В классической геометрии нет промежуточных объектов между точкой ( n  0 ) и
отрезком прямой ( n  1), между отрезком прямой и квадратом ( n  2 ) и так далее.
Целые показатели размерности бывают только у неподвижных пространств. Это
предельный идеальный случай, который мы можем представить себе только теоретически,
ведь реальное пространство – время без движения не существует.
Зачастую дробные показатели размерности считают противоестественными. Такой
взгляд стал возможным лишь из-за того, что показатели размерности в большинстве
физических процессов мало отличаются от целых чисел ввиду малых скоростей движения
реальных физических объектов.
Дробные степени в показателях размерностей возникают также при описании
фрактальных (разномасштабных, подобных целому) сред. В фрактальной среде, в
отличие от сплошной среды, случайно блуждающая частица удаляется от места старта
медленнее, так как не все направления движения становятся для нее доступными.
Замедление диффузии в фрактальных средах настолько существенно, что физические
величины начинают изменяться медленнее первой производной и учесть этот эффект
можно только в интегрально – дифференциальном уравнении, содержащем производную
по времени дробного порядка.
В статье делается попытка дать наглядное геометрическое и простое физическое
истолкование дробным производным.
1. Геометризация физики.
Будем исходить из того, что пространство и время – это диалектические
противоположности. Диалектическое единство пространства и времени образует материю.
Чем больше в материи пространства, тем меньше в ней времени, и наоборот. Одномерная
материя образована одномерным пространством и одномерным временем; двумерная
материя образована двумерным пространством и двумерным временем и т. д. Эта
важнейшая симметрия оставалась до сих пор незамеченной, главным образом из-за того,
что многомерность времени никак не проявляется, если рассматриваются процессы,
происходящие в пространстве одного какого-либо измерения. Многомерность времени
проявляется при сравнении процессов, происходящих в пространствах различной
размерности.
Многомерность времени вытекает из закона сохранения материи, основанном на
всем предшествующем опыте физики и утверждающем, что количество материи не
изменяется при любых пространственно-временных преобразованиях. Никому еще не
удалось дать определение понятиям «пространство» и «время», а вот дать определение
понятию «материя» мы уже можем: материя – это физическая величина, равная
произведению количества содержащегося в ней пространства на количество
содержащегося в ней же времени:
M n  S n  T n  соnst (1.1)
Примем за геометрическую модель не искривленного одномерного пространства
прямую линию. В этом случае примером одномерного искривленного пространства
2
переменной кривизны может служить, например, гипербола. Важно, что такое
пространство не может существовать вне бесконечного не искривленного пространства –
плоскости.
Поверхность шара – это уже модель двумерного равномерно искривленного
замкнутого пространства, и такое пространство может существовать только в абсолютном
ньютоновом трехмерном не искривленном пространстве.
Выделим из трехмерного пространства x, y, z (рис.1) элементарное количество
(квант) пространства S 3  x  y  z (рис.1,а), которому соответствует элементарное
количество времени T 3  t x  t y  t z . Количество трехмерной материи в трехмерном
кванте материи:
M 3  S 3  T 3
Прибегнем к мысленному эксперименту. Начнем двигать S 3 вдоль оси x. При
некоторой V <с (рис.1,в) размер x сократится, согласно специальной теории
относительности в K СТО  1  V 2 / c 2 
12
число раз. Размер t x , напротив, увеличится в
такое же число раз: t x/  t x / K СТО . Количество трехмерной материи из-за сокращения
коэффициентов K СТО в уравнении материи (1.1) не изменится и останется равным его
количеству в неподвижном кванте материи:
x  y  z  t x t y  t z  x /  y   z  t x/  t y  t z  M 3
V=C
e, n=1
V<C, 0<n<1
z
V<C
V=C, n=0
f
d, 1<n<2
g
V<C
Δz
Δy
V=C
Δx
y
a, n=3
x
b, 2<n<3
c, n=2
Рис.1 Геометрические модели многомерных пространств
Пр1стр
При V  c (рис.1,с) элементарное трехмерное пространство превратится в
двумерное. С позиций нестандартного анализа, полученное нами двумерное пространство
имеет бесконечно малую, но постоянную толщину. При достижении V  c в кванте
трехмерного пространства совершается фазовый пространственно-временной переход,
сущность которого состоит в том, что в полученном двумерном пространстве как бы
срабатывает «запорное устройство» и последующее уменьшение скорости движения не
3
возвращает трехмерный квант в первоначальное состояние. Двумерная пленка остается
двумерной пленкой. Явление имеет много общего с рассмотренным нами в § 1 явлением
гравитационной неустойчивости среды.
Пространственно-временные преобразования имеют наглядную аналогию в
классической физике. Представим себе водяной пар с температурой выше 100 градусов.
Молекулы пара могут как угодно перемещаться в пространстве и обладают максимально
возможной степенью свободы. Начнем охлаждать пар. При температуре 100 градусов пар
превратится в воду. Молекулы пара потеряют одну степень свободы, они не могут
удаляться на любое расстояние друг от друга. Физики скажут, что в паре совершился
фазовый переход первого рода.
Продолжим охлаждение. При температуре ноль градусов вода превратится в лед.
Молекулы воды займут строго определенное положение в кристаллической решетке и
лишатся еще одной степени свободы. Физики опять скажут, что совершился фазовый
переход первого рода, но на этот раз – в воде. Точно так же и с пространством
совершаются пространственно-временные преобразования, только происходят они не при
изменении температуры, а при достижении пространством скорости света, и
«замораживаются» не степени свободы, а число измерений пространства.
Ничтожная, с точки зрения неподвижного наблюдателя, толщина пленки
двумерного пространства обеспечивает соблюдение закона сохранения материи и
одинаковое протекание процессов в пространствах различного числа измерений.
Несмотря на то, что коэффициенты K СТО в уравнениях материи сокращаются, мы
не имеем права продолжать мысленный эксперимент. Во-первых, мы исчерпали все
возможности одномерного времени, а во-вторых, мы достигли предельной скорости.
Преобразования для системы K / , движущейся по оси x системы K в трехмерном
пространстве со скоростью V, принимают вид:
V
t W  x  2
x V t
c
; y  y/ ; z  z/ ; t / 
(1.2)
x/ 
2 1/ 2
2 1/ 2


V 
V 
1  W 2 
1  W 2 
c 
c 


Интересно, что формулы (3.2) были получены самим Лоренцем уже через 7 лет
после создания Эйнштейном специальной теории относительности, однако, объяснить
физический смысл коэффициента W он не смог. В настоящее время формулы (1.2)
используются в так называемой расширенной специальной теории относительности.
При W = 1 формулы (1.2) дают преобразования Лоренца и специальную теорию
относительности. При W = 0 формулы (1.2) дают преобразования Галилея и механику
Ньютона.
Из (1.1) следует, что
(1.3)
dx  dt  1 ,
Что позволяет нам завершить полную геометриацию физики:
dn f m
 f nm
(1.4)
n
dt
m
n
mn
(1.5)
 f  dt  f
t
dn f m
 f
dx n
f
m
mn
 dx n  f
(1.6)
mn
(1.7),
x
В формулах (1.4) … (1.7) f n и f m - физические величины, имеющие размерность
n и m в абсолютной системе измерения физических величин.
4
2. Абсолютная система измерения физических величин.
В основу построения абсолютной системы измерения физических величин
положена формула (2.1), вытекающая из (1.1):
1
T
(2.1)
L
Где L и T - единицы измерения времени и расстояния в системе СИ.
В абсолютной системе измерения физических величин можно все величины
выразить либо в метрах, либо в секундах. Например, чтобы выразить все величины в
метрах, надо в формулу равномерного движения
S
V 
(2.2)
t
подставить размерности S ~ L1 , t ~ T 1  1 / L1  L1 . В результате получаем размерность
скорости в абсолютной системе измерения физических величин:
L1
V ~ 1  L2
L
Подбирая физические формулы таким образом, чтобы в них входила лишь одна
физическая величина неизвестной размерности, можно вычислить размерности всех
физических величин в абсолютной системе единиц измерения.
Так, например, размерность L1 имеют: длина, частота, угловая скорость, градиент
скорости, объемный расход, электрический заряд, поток электрического смещения,
напряженность магнитного поля, абсолютная магнитная проницаемость, температура, и
т.д.
Размерность L2 имеют: площадь, угловое ускорение, скорость, масса, удельный
вес, динамическая вязкость, индуктивность, магнитная проводимость, и т.д.
Размерность L3 имеют: объем, ускорение, объемная плотность энергии, давление,
кинематическая вязкость, напряженность гравитационного поля, Коэффициент диффузии,
электрическое сопротивление, удельная теплоемкость, газовая постоянная, и т.д.
Размерность L4 имеют: импульс, поверхностное натяжение, плотность потока
энергии, момент инерции, потенциал гравитационного поля, напряженность
электрического поля, удельное электрическое сопротивление, магнитный поток,
магнитный момент контура с током, удельное количество теплоты, и т.д.
Размерность L5 имеют: сила, постоянная планка, момент импульса, действие,
электрическое напряжение, теплопроводность, и т.д.
Размерность L6 имеют: энергия, работа, момент силы, количество теплоты, и т.д.
Размерность L7 имеет мощность.
Размерность L0 имеет плоский и телесный угол.
Анализ абсолютной системы измерения физических величин показывает, что
механическая сила, постоянная Планка, электрическое напряжение и энтропия имеют
одинаковую размерность: L5 . Это означает, что законы механики, квантовой механики,
электродинамики и термодинамики – инвариантны. Например, второй закон Ньютона и
закон Ома для участка электрической цепи имеют одинаковую формальную запись:
(2.3)
F  m  a ~ L5  L2  L3
5
2
3
(2.4)
U  I R~ L  L L
При больших скоростях движения во второй закон Ньютона (2.4) вводится
переменный безразмерный множитель специальной теории относительности:
K СТО
 V2
 1 
 c2




1/ 2
5
Если такой же множитель ввести в закон Ома (2.4) , то получим:
U
(2.5)
R  K СТО
I
Согласно (2.5) закон Ома допускает появление сверхпроводимости, так как K СТО
при низких температурах может принимать значение, близкое к нулю. Абсолютная
система измерения играет в физике такую же роль, какую в химии играет периодическая
система элементов Менделеева. Если бы в физике с самого начала применялась
абсолютная система измерения физических величин, то явление сверхпроводимости
наверняка было бы предсказано вначале теоретически, а уже потом обнаружено
экспериментально, а не наоборот.
Инвариантность физических законов объясняется тем, что размерности физических
величин образуют математическую группу. Можно показать, что размерности образуют
операционные множества, в которых действуют процедуры умножения, а также
выполняются условия замкнутости, имеются тождественный и обратный элементы, и они
обладают свойством ассоциативности, то есть выполняются четыре обязательные для
групп аксиомы. Теория групп призвана найти все логические следствия из этих аксиом.
Теория групп – это наведение порядка в математическом языке.
Уравнения различных разделов физики могут принадлежать одной и той же
группе, поэтому становится возможным вместо этих уравнений рассмотреть
соответствующую им группу и распространить полученные законы на решение какойлибо частной задачи любого из разделов физики. Это экономит средства и открывает
новые возможности физики.
Физические элементы в группе обладают важным свойством, состоящим в том, что
производная по времени от физической величины меньшей размерности является
физической величиной большей размерности, а интеграл по времени от физической
величины большей размерности есть физическая величина меньшей размерности.
Например, в механике интеграл от мощности – это энергия, от энергии – сила, от силы –
импульс, от импульса – ускорение, от ускорения – скорость, а от скорости – расстояние. В
электродинамике производная от величины заряда – это электрический ток, от тока –
электрическое сопротивление, от сопротивления – магнитный момент, от магнитного
момента – электрическая сила, от силы – электрическая энергия, а от энергии –
электрическая мощность.
3.Физический смысл дробной производной.
Однако (1.2) – это формулы линейной динамики. В теории многомерных
пространств мы будем применять нелинейную динамику, в которой релятивистский
корень К СТО  1  W  V 2 / c 2 
пространств
Г 3 / 2 
КТМП  n 
Г Z 
1/ 2
заменяется коэффициентом теории многомерных
(3.1)
Где Г  Z  - гамма-функция , а линейная динамика (1.2) заменяется нелинейной
динамикой с дробными производными:
Г k 1 k  n
dn k
x

x
(3.2)
Г k  n 1
dt n
Гамма-функция распространяет свое действие на дробные, отрицательные и даже
комплексные значения аргумента z (рис.3).
6
Г Z 
4
3
2
Г 3 / 2   0,886
1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z
1.5
Рис.2 Гамма-функция действительного переменного
Рассмотрим гамма-функцию для вещественного аргумента при z  0 (рис.3).
Г  Z  / Г 3 / 2 
x
x0 / x
n
5
4
Г Z 
Г 3 / 2 
x0
x
1V 2 / c2
3
2
А
n  К ТМП 
x 0 =1
Г 3 / 2 
Г Z 
КСТО = x0 / x
0
1
2
3
4
1 0,5 0,38
0 0,38
0,72
0,85
V
z
V /c
V
Рис.3 Физический смысл дробной производной
Сначала строим функцию
7
Г Z 
(3.3)
Г 3 / 2 
В отличие от Г  Z  , график функции
Г Z 
Г 3 / 2 
несколько вытянут по оси ординат, а
минимум его совмещен с прямой Г  Z  =1.
Затем по формуле красного смещения z строим шкалу относительных скоростей
2
V 1  z   1

(3.4)
c 1  z 2  1
Здесь мы просто придаем переменной z конкретный физический смысл:
 
(3.5)
z 0

называемый параметром красного смещения, и равный относительному увеличению
длины волны принимаемого электромагнитного сигнала.
Теперь строим функцию
Г Z 
(3.3)
Г 3 / 2 
В отличие от Г  Z  , график функции
Г Z 
Г 3 / 2 
несколько вытянут по оси ординат, а
минимум его совмещен с прямой Г  Z  =1.
Строим на том же графике кривую
x0
x
(3.4)
1V 2 / c2
Сразу же заметим, что релятивистская формула с квадратным корнем – это
формула линейной динамики. Кроме того, что она весьма приближенно описывает
процесс сокращения линейных размеров микрочастиц, она содержит в знаменателе
скорость света, что вызвало необоснованное запрещение сверхсветовых скоростей. Гамма
функция выгодно отличается от релятивистского корня еще и тем, что она определена на
всей числовой оси и даже на всей комплексной плоскости.
При z  2,2 или, что то же самое, при V / c  0,53 ошибки от применения
релятивистского корня не превышают 11%, но при V / c  0,91 релятивистская формула
занижает фактическое сокращение размеров уже в 10 раз.
Заметим, что формула дробной производной (3.2) есть всего лишь одна из формул
полностью геометризированной физики (1.4) … (1.7), а именно – это формула (1.6), если
под n понимать не только целые, но и дробные числа.
Скорость в точке А (рис.3) может быть равна нулю или скорости света или вообще
с n . Если V0  0 , то при движении вправо, будет производиться дифференцирование по
расстоянию или интегрирование по времени. Размерность дифференцируемой функции
будет плавно увеличиваться, а размерность интегрируемой функции – плавно
уменьшаться и в точке и z   размерности станут равны k  1 у интегрируемой и k  1 у
дифференцируемой функции.
dn f m
 f m1
(3.5)
n
dx
m
n
m 1
(3.6)
 f  dt  f
t
8
Если в точке А скорость V0  с , то при движении влево производится
интегрирование по расстоянию или дифференцирование по времени. Скорость будет
плавно увеличиваться до скорости света , а размерность интегрируемой функции в точке
z  0 будет увеличиваться до k  1 и уменьшаться до k  1 у дифференцируемой функции.
.
f
m
 dx n  f
m 1
(3.7)
x
dn f m
 f
dt n
m 1
(3.8)
Заключение
Геометрическая сущность дробной производной состоит в том, что дробная
производная показывает, во сколько раз количественно уменьшается движущаяся
физическая величина по сравнению с неподвижной. Например, при n  Г 3 / 2  / Г  Z   1 / 2
отрезок, движущийся со скоростью V / c  0,55 уменьшается в размерах в 2 раза. Что
математически записывается как
d 1/ 2
x  x1 / 2
dx 1 / 2
Физический смысл дробной производной состоит в том, что дробная производная
показывает, во сколько раз движущаяся физическая величина качественно отличается от
неподвижной. Отрезок из предыдущего примера уже не отрезок, но еще не точка.
Отрезком он был при n  Г 3 / 2  Г  Z   1 , а точкой он станет при n  Г 3 / 2  / Г  Z    , то есть
при V / c   .
!9.07.2012.
В.И.Костицын