МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» Р. Б. Лапшина Типовая расчетная работа по теме: «Аналитическая геометрия» и методические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений Учебно-методическое пособие Саранск 2012 ТР Аналитическая геометрия Теоретические вопросы: 1. Уравнения прямой на плоскости. 2. Условия параллельности и перпендикулярности 2х прямых. 3. Кривые второго порядка. 4. Плоскость. Уравнение плоскости. 5. Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Расчетные задания Задание 1. Даны вершины треугольника ABC . Найти: 1) длину стороны AB ; 2) уравнение стороны AB ; 3) уравнение высоты CH ; 4) уравнение медианы AM ; 5) точку пересечения медианы AM с высотой CH ; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельную стороне AB ; 7) расстояние от точки C до прямой AB . 1.1 A 4, 4 , B 6, 2 , C 1,8 . 1.2 A 1, 6 , B 3, 4 , C 3,3 . 1.3 A 4, 2 , B 8, 6 , C 2,6 . 1.4 A 3, 2 , B 14, 4 , C 6,8 . 1.5 A 2,5 , B 3,1 , C 0, 4 . 1.6 A 4, 2 , B 6,6 , C 6, 2 . 1.7 A 4, 3 , B 7,3 , C 1,10 . 1.8 A 2, 4 , B 3,1 , C 10,7 . 1.9 A 2, 3 , B 1,6 , C 6,1 . 1.10 A 3, 1 , B 4, 5 , C 8,1 . 1.11 A 1, 2 , B 7,1 , C 3,7 . 1.12 A 3, 1 , B 11,3 , C 6, 2 . 1.13 A 3,8 , B 6, 2 , C 0, 5 . 1.14 A 10, 2 , B 4, 5 , C 3,1 . 1.15 A 0, 2 , B 7, 4 , C 3, 2 . 1.16 A 7, 2 , B 7, 4 , C 5, 5 . 1.17 A 1, 3 , B 0,7 , C 2, 4 . 1.18 A 7,0 , B 1, 4 , C 8, 4 . 1.19 A 1,0 , B 1, 4 , C 9,5 . 1.20 A 7, 2 , B 3, 8 , C 4,6 . 1.21 A 4, 2 , B 6, 4 , C 4,10 . 1.22 A 4,1 , B 3, 1 , C 7, 3 . 1.23 A 5, 2 , B 0, 4 , C 5,7 . 1.24 A 1,7 , B 3, 1 , C 11, 3 . 1.25 A 2, 6 , B 3,5 , C 4,0 . 1.26 A 1, 4 , B 9,6 , C 5, 4 . 1.27 A 4, 4 , B 8, 2 , C 3,8 . 1.28 A 3, 3 , B 5, 7 , C 7,7 . 1.29 A 5,1 , B 8, 2 , C 1, 4 . 1.30 A 6, 9 , B 10, 1 , C 4,1 . Задание 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы ( A, B - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет; y kx уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние). 2.1 а) , A 0,8 ; б) A 6, 0 , B 2 2,1 ; в) D : y 0 . 2.2 а) b 15 , F 10,0 ; б) a 13 , 2.3 а) b 2 , F 4 2,0 ; б) a 7 , 3 5 5 2.4 а) A 3, 0 , B 2, ; 3 3 4 14 ; 13 85 ; 7 5 4 б) k , ; в) D : x 4 . в) D : x 5 . в) D : y 2 . 2.5 а) 21 , A 5,0 ; 5 2.6 а) b 15 , 10 ; 25 б) A 80,3 , B 4 6,3 2 ;в) D : y 1 . 3 4 б) k , 2a 16 ; в) ось симметрии 2.7 а) a 4 , F 3,0 ; б) b 2 10 , F 11,0 ; в) D : x 2 . 2.8 а) b 4 , F 9,0 ; б) a 5 , ; OX , A 4, 8 . 7 5 14 ,1 ; 3 2.9 а) A 0, 3 , B 7 8 2.10 а) , A 8,0 ; 22 ; 6 2.11 а) 2a 24 , б) k 21 11 , ; 10 10 б) A 3, в) D : x 6 . в) D : y 4 . 13 3 , 6 ; в) D : y 4 . , B 5 5 б) k 2 , 2c 10 ; 3 в) ось симметрии б) k 12 , 2a 26 ; 13 в) ось симметрии OX и B 7, 7 . 2.12 а) b 2 , 5 29 ; 29 OX и A 5,15 . 2.13 а) a 6 , F 4,0 ; 3 5 2.14 а) 2a 50 , ; б) b 3 , F 7,0 ; б) k 29 , 2c 30 ; 14 в) D : x 7 . в) ось симметрии OY и A 4,1 . 2.15 а) b 7 , F 5,0 ; 2.16 A 21 1 17 , ; , B 3 2 2 2.17 а) 2a 22 , 10 ; 11 б) a 11 , 12 ; 11 в) D : x 10 . 1 2 5 ; 2 в) D : y 1 . б) k , 11 , 2c 12 ; в) ось симметрии OX и 5 б) k A 7,5 . 2.18 а) b 5 , OY и A 9,6 . 12 ; 13 1 3 б) k , 2a 6 ; в) ось симметрии 2.19 а) a 9 , F 7,0 ; б) b 6 , F 12,0 ; 2.20 а) b 5 , F 10,0 ; б) a 9 , ; 15 ,1 ; 2.21 а) A 0, 2 , B 2 б) k 1 4 в) D : x . 4 3 в) D : x 12 . 2 10 11 , ; 9 9 в) D : y 5 . 20 2.22 а) , A 6,0 ; , 2 ; в) D : y 1 . б) A 8, 0 , B 3 2.23 а) a 13 , F 5,0 ; б) b 44 , F 7,0 ; в) D : x . 2.24 а) b 7 , F 13,0 ; б) b 4 , F 11,0 ; в) D : x 13 . 2 3 40 15 2 , ; 3 3 2.25 A 3,0 , B 1, ; 3 б) k 2.26 а) , A 0, 11 ; ,1 , B 8, 0 ; б) A 3 5 6 2.27 а) 2a 30 , 32 3 8 в) D : y 4 . в) D : y 3 . 17 ; 15 б) k 17 , 2c 18 ; 8 в) ось симметрии 7 9 б) k 2 , 2a 12 ; 2 в) ось симметрии OY и A 4, 10 . 2.28 а) b 2 2 , ; OY и A 45,15 . 2.29 а) 2a 22 , 57 ; 11 2 3 в) ось симметрии 5 6 в) ось симметрии б) k , 2c 10 13 ; OX и A 27,9 . 7 8 2.30 b 2 15 , ; б) k , 2a 12 ; OY и A 2,3 2 . Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка M которой удовлетворяет заданным условиям: 3.1 Отстоит от точки A 4,1 на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки B 2, 1 . 3.2 Отстоит от прямой x 2 на расстоянии, в пять раза больше, чем от точки A 4, 3 . 3.3 Отношение расстояний от точки M до точек A 3, 5 и B 4,1 равно 1 . 4 3.4 Отстоит от точки A 1,5 на расстоянии, в четыре раза меньше, чем от прямой x 1 . 3.5 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 1, 2 и B 3, 1 равно18,5. 3.6 Отстоит от прямой x 7 на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки A 3,1 . 3.7 Отстоит от точки A 5, 7 на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки B 2,1 . 3.8 Отстоит от точки A 3, 4 на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой x 5 . 3.9 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 5,3 и B 2, 4 равно 65. 3.10 Отношение расстояний от точки M до точек A 3, 2 и B 4, 6 равно 3 . 5 3.11 Отстоит от прямой x 14 на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки A 2,3 . 3.12 Отстоит от прямой x 7 на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки A 1, 4 . 3.13 Отстоит от точки A 4, 2 на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки B 1,6 . 3.14 Отстоит от точки A 0, 5 на расстоянии, в два раза меньше, чем от прямой x 3 . 3.15 Отстоит от прямой x 5 на расстоянии, в три раза больше, чем от точки A 6,1 . 3.16 Отстоит от прямой x 8 на расстоянии, в два раза больше, чем от точки A 1,7 . 3.17 Отстоит от точки A 3,3 на расстоянии, в три раза больше, чем от точки B 5,1 . 3.18 Отстоит от точки A 2,1 на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой x 5 . 3.19 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 5, 1 и B 3, 2 равно 40,5. 3.20 Отношение расстояний от точки M до точек A 3,5 и B 4, 2 равно 1 . 3 3.21 Отстоит от прямой y 7 на расстоянии, в пять раз больше, чем от точки A 4, 3 . 3.22 Отстоит от точки A 1,0 на расстоянии, в пять раз меньше, чем от прямой x 8 . 3.23 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 4,0 и B 2, 2 равно 28. 3.24 Отношение расстояний от точки M до точек A 2,3 и B 1, 2 равно 3 . 4 3.25 Отстоит от прямой y 2 на расстоянии, в три раза больше, чем от точки A 5, 0 . 3.26 Отстоит от прямой x 2 на расстоянии, в два раз больше, чем от точки A 4,0 . 3.27 Отстоит от прямой x 6 на расстоянии, в два раза больше, чем от точки A 1,3 . 3.28 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 3,3 и B 4,1 равно 31. 3.29 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A 5,3 и B 2, 4 равно 65. 3.30 Отношение расстояний от точки M до точек A 2, 4 и B 3,5 равно 2 . 3 Задание 4. Даны четыре точки A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 , D x4 , y4 , z4 . Составить уравнения: 1) плоскости ABC ; 2) прямой AB ; 3) прямой CN параллельной прямой AB ; 4) прямой DM перпендикулярной плоскости ABC ; 5) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB . Найти расстояние от точки D до плоскости ABC ; координаты точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC . 4.1 A 3, 2,5 , B 4,0,6 , C 2,6,5 , D 6, 4, 1 . 4.2 A 4,3,5 , B 1,9,7 , C 0, 2,0 , D 5,3,10 . 4.3 A 5,3,7 , B 2,3,5 , C 4, 2,10 , D 1, 2,7 . 4.4 A 6,8, 2 , B 5, 4,7 , C 2, 4,7 , D 7,3,7 . 4.5 A 7,5,3 , B 9, 4, 4 , C 4,5,7 , D 7,9,6 . 4.6 A 9,5,5 , B 3,7,1 , C 5,7,8 , D 6,9, 2 . 4.7 A 2,3,5 , B 5,3, 7 , C 1, 2,7 , D 4, 2,0 . 4.8 A 5,5, 4 , B 1, 1, 4 , C 3,5,1 , D 5,8, 1 . 4.9 A 3, 1, 2 , B 1,0,1 , C 1,7,3 , D 8,5,8 . 4.10 A 6,1,1 , B 4,6,6 , C 4, 2,0 , D 1, 2,6 . 4.11 A 4, 2,5 , B 0,7,1 , C 0, 2,7 , D 1,5,0 . 4.12 A 6,6,5 , B 4,9,5 , C 4,6,11 , D 6,9,3 . 4.13 A 1,8, 2 , B 5, 2,6 , C 5,7, 4 , D 4,10,9 . 4.14 A 4, 4,10 , B 7,10, 2 , C 2,8, 4 , D 9,6,9 . 4.15 A 4,6,5 , B 6,9, 4 , C 2,10,10 , D 7,5,9 . 4.16 A 3,1, 4 , B 1,6,1 , C 1,1,6 , D 0, 4, 1 . 4.17 A 10,9,6 , B 2,8, 2 , C 9,8,9 , D 7,10,3 . 4.18 A 3,5, 4 , B 8,7, 4 , C 5,10, 4 , D 4,7,8 . 4.19 A 7, 2, 2 , B 5,7, 7 , C 5, 3,1 , D 2,3,7 . 4.20 A 2,1,7 , B 3,3,6 , C 2, 3,9 , D 1, 2,5 . 4.21 A 2,1,6 , B 1, 4,9 , C 2, 5,8 , D 5, 4, 2 . 4.22 A 3,5, 4 , B 5,8,3 , C 1, 2, 2 , D 1,0, 2 . 4.23 A 2, 1,7 , B 6,3,1 , C 3, 2,8 , D 2, 3,7 . 4.24 A 0, 4,5 , B 3, 2,1 , C 4,5,6 , D 3,3, 2 . 4.25 A 2,3,5 , B 5,3, 7 , C 1, 2,7 , D 4, 2,0 . 4.26 A 4, 2,10 , B 1, 2,0 , C 3,5,7 , D 2, 3,5 . 4.27 A 1, 2,7 , B 4, 2,10 , C 2,3,5 , D 5,3,7 . 4.28 A 1, 1,3 , B 6,5,8 , C 3,5,8 , D 8, 4,1 . 4.29 A 2, 4,3 , B 1,1,5 , C 4,9,3 , D 3,6,7 . 4.30 A 8, 6, 4 , B 10,5, 5 , C 5,6, 8 , D 8,10,7 . Методические рекомендации к выполнению ТР При выполнении данных заданий используются формулы: 1) x x1 y y1 ; y kx b - уравнения прямой на плоскости; x2 x1 y2 y1 2) k1 k2 , k1 k2 1 - условия параллельности перпендикулярности двух прямых на плоскости; 3) уравнения плоскости: а) A x x0 B y y0 C z z0 0 ; x x1 б) x2 x1 x3 x1 4) y y1 z z1 y2 y1 y3 y1 z2 z1 0 ; z3 z1 x x0 y y0 z z0 - каноническое уравнение прямой в пространстве; m n p Ax0 By0 Cz0 D 5) d A2 B 2 C 2 - расстояние от точки до плоскости. Пример 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F 3,0 ; б) гиперболы с мнимой осью b 3 и 13 ; в) параболы, имеющей директрису x 3 . 2 а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид x2 y 2 1 . По условию заa 2 b2 дачи большая полуось a 5 , c 3 . Для эллипса выполняется равенство b 2 a 2 c 2 . Подставив значения a и c , найдем b 2 16 . Искомое уравнение эл- липса: x2 y 2 1. 25 16 б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид x2 y 2 1 . По условию a 2 b2 13 . Для гиперболы справед2 задачи мнимая полуось b 3 , эксцентриситет c a ливо равенство b2 c 2 a 2 и, учитывая, что , находим a 2 16 . Искомое уравнение гиперболы: x2 y 2 1. 25 9 в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y 2 2 px , p 2 p 2 а уравнение ее директрисы x . По условию x 3 , следовательно, 3 , p 6 , уравнение параболы имеет вид y 2 12 x . Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A 2,1,0 , B 3, 1, 2 , C 13,3,10 , D 0,1, 4 . Найти 1) угол между ребрами AB и AD ; 2) уравнение плоскости ABC ; 3) угол между ребром AD и гранью ABC ; 4) площадь грани ABC ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань ABC . D(0,1,4) C(13,3,10) M B(3,-1,2) A(2,1,0) 1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле: cos a b ab , где a AB 3 2, 1 1, 2 0 1, 2, 2 , b AD 0 2,1 1, 4 0 2,0, 4 a b AB AD 1 2 2 0 2 4 6. a AB 12 2 22 3; b AD 2 cos 2) 2 2 42 20 2 5; 5 6 1 ; arccos . 5 3 2 5 5 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид: xx 1 x x 2 1 x x 3 1 y y zz 1 1 y y z z 0. 2 1 2 1 y y z z 3 1 3 1 Подставляя в данное уравнение координаты точек A, B и C , получим: x2 3 2 13 2 y 1 1 1 3 1 z 0 x2 2 0 0; 1 10 0 11 y 1 2 2 z 2 0; 10 Разложив определитель по элементам первой строки, получим: x 2 2 2 1 2 1 2 y 1 z 0; 2 10 11 10 11 2 Отсюда находим искомое уравнение плоскости ABC : 2x y 2z 3 . 3) Угол между ребром AD и гранью ABC вычисляем по формуле: sin sN sN , где s 2,0, 4 - направляющий вектор ребра AD , N 2, 1, 2 - нормальный вектор грани ABC. sin 4) 2 2 4 2 2 ; arcsin 20 9 5 2 . 5 Площадь грани ABC вычисляется по формуле: 1 S a b . 2 S ABC 1 AB AC . 2 AC 11, 2,10 , AB 1, 2, 2 . i j k AB AC 1 2 2 24i 12 j 24k. 11 2 10 Окончательно имеем S 5) ABC 1 2 2 24 122 242 18 кв.ед. Объем пирамиды вычисляем по формуле: 1 V AB, AC, AD . 6 1 2 2 AB, AC , AD 11 2 10 144. 2 0 4 Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.). 6) Уравнение высоты DM , опущенной из вершины D на грань ABC составляет по формуле xx y y zz 0 0 0, n m p где x , y , z - координаты точки D , s n, m, p - координаты направляюще0 0 0 го вектора прямой DM . Т. к. DM ABC , то в качестве направляющего вектора s можно взять нормальный вектор N 2, 1, 2. Уравнение прямой запишется в виде: x y 1 z 4 . 2 1 2