2. Даны координаты вершин треугольника АВС – А(1;-6), В(3;4), С(-3;3).

2. Даны координаты вершин треугольника АВС – А(1;-6), В(3;4), С(-3;3).
Найти уравнение высоты СН и ее длину.
B
H
A
C
Чтобы найти уравнение прямой CH, найдем уравнение прямой AB, используя уравнение
x  x1
y  y1

прямой, проходящей через две точки (x1;y1) и (x2;y2):
x2  x1 y2  y1
x 1 y  6
x  1 y  (6)

AB:
,

2
10
3  1 4  (6)
Преобразуем уравнение и найдем угловой коэффициент k прямой AB:
5( x  1)  y  6  y  5 x  5  6  y  5 x  11
Следовательно, угловой коэффициент k = 5 – коэффициент при x.
Прямая CH перпендикулярна прямой AB, так как CH – высота треугольника.
1
Пусть k1 – угловой коэффициент прямой CH, тогда k1   по свойству
k
1
перпендикулярных прямых. Следовательно, k1  
5
Запишем уравнение прямой CH, используя уравнение прямой, проходящей через точку
(x1;y1) с угловым коэффициентом k1: y  y1  k1 ( x  x1 )
1
Прямая CH проходит через точку C(-3;3), k1  
5
1
CH: y  3   ( x  3)  5( y  3)  ( x  3)  5 y  x  12  0
5
Найдем длину высоты CH.
1
1
S ABC  AB  CH   AB, AC  , где
2
2
AB , CH - длины векторов AB и CH,  AB, AC  - векторное произведение векторов AB,
AC.
AB = (3-1;4-(-6)) = (2;10), AC = (-3-1;3-(-6)) = (-4;9)
i
j k
10 0
2 0
2 10
j
k
 i  0  j  0  k  58
 AB, AC   2 10 0  i
9 0
4 0
4 9
4 9 0
 AB, AC  
02  02  582  58
1
1
 AB, AC   58  29
2
2
1
Следовательно, S ABC  AB  CH  29 . Отсюда найдем длину высоты CH.
2
S ABC 
CH 
2  S ABC
AB
AB  22  102  104  26  4  2 26
2  S ABC 2  29
29
CH 


AB
2 26
26