«Геометрический смысл производной» Проект по алгебре Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Березовская средняя общеобразовательная школа
«Геометрический смысл производной»
Проект по алгебре
Автор: Семяшкина Анна, учащаяся 10 «Б» класса.
Руководитель: учитель
Алгебры и геометрии
Н.Н. Кочакова
Берёзово
2013г.
Цель:
Задачи:
Обобщить и систематизировать • Рассмотреть понятие
знания по теме
геометрического
геометрический смысл
смысла производной
производной
• Рассмотреть понятие
геометрического
смысла производной
при решении
конкретных задач
• Собрать дидактический
материал по данной
теме
Актуальность проекта
• Тема «Геометрический смысл производной»
встречается в ЕГЭ по алгебре (Часть В)
• Работа над данным проектом поможет успешно
справиться с заданиями такого типа.
План работы
•
•
•
•
Понятие производной;
Геометрический смысл производной;
Решение задач;
Оформление памятки по решению заданий ЕГЭ.
y
x  x  x0
x  x0  x
y=f(x)
В
f(x)
Приращение аргумента
f
f(x0)
f  f ( x)  f ( x0 )
А
f ( x)  f ( x0 )  f
Приращение функции
x
O
x0
x
f ( x0  x)  f ( x0 )
f

x
x
x
Разностное отношение
y
l
y=f(x)
В
f(x)
f
f
А
f(x0)

O
l – секущая
 - угол наклона

x
y= kx+b
x
x0
f
 tg  k
x
x
x
– угловой коэффициент прямой
Геометрический смысл производной
состоит в том, что производная в точке х0
равна угловому коэффициенту касательной
в точке х0 и тангенсу угла наклона
касательной.
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (−3; 2)
и B (−1; 6) и найдем
приращения:
x  x  x0  1  (3)  2
f  f ( x)  f ( x0 )  6  2  4
Найдем значение
производной:
f 4
 2
x 2
Ответ: 2
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (0; 2)
и B (5; 2) и найдем
приращения:
x  x  x0  5  0  5
f  f ( x)  f ( x0 )  2  2  0
Найдем значение
производной:
f 0
 0
x 5
Ответ: 0
Из последнего примера можно
сформулировать правило: если касательная
параллельна оси OX, производная функции
в точке касания равна нулю. В этом случае
даже не надо ничего считать — достаточно
взглянуть на график.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума
функции f(x) на этом отрезке.
Избавимся от лишней
информации — оставим
только границы [−5; 5] и нули
производной x = −3 и x = 2,5.
Также отметим знаки:
Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса
на плюс. Это и есть точка минимума.
Ответ:-3
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих
в эти промежутки.
Перечертим график и отметим
границы [−3; 7,5], а также нули
производной x = −1,5 и x = 5,3.
Затем
отметим
знаки
производной. Имеем:
Поскольку на интервале (− 1,5; 5,3) производная
отрицательна, это и есть интервал убывания функции.
Осталось просуммировать все целые числа, которые
находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Вывод
• Я систематизировала и обобщила знания
по теме «Геометрический смысл
производной».