Квадратичная функция - Средняя общеобразовательная школа

ТЕМА:
Квадратичная функция, ее свойства
и график; парабола, ось симметрии
параболы, вершина параболы.
Применение графика квадратичной
функции при решении уравнений и
неравенств
Разработал Хохлова Л.И.
Цель: Выработать умение строить график квадратичной функции и
применять графические представления для решения неравенств второй
степени с одной переменной.
При изучении темы дальнейшее развитие получает умение находить по
графику промежутки возрастания и убывания функции, а также
промежутки знакопостоянства функции.
Цели урока:
Образовательные:
учить построению графика квадратичной функции и
использованию графика для получения ее свойств.
Развивающие:
развивать логическое мышление, алгоритмическую
культуру, внимание, навыки самостоятельной работы
и самоконтроля, поддерживать интерес к математике.
Воспитательные:
воспитывать последовательность, ответственность,
самостоятельность, настойчивость,
дисциплинированность.
Построение графика функции
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
График функции парабола, ветви которой направленны:
если 𝒂 > 𝟎, вверх:
если 𝒂 < 𝟎, вниз:
y
y
0′ (𝑥0 ; 𝑦0 )
0
0′ (𝑥0 ; 𝑦0 )
x
0
x
Построение графика функции
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
График функции парабола, ветви которой направленны:
если 𝒂 > 𝟎, вверх:
если 𝒂 < 𝟎, вниз:
y
y
x
0
0′ (𝑥0 ; 𝑦0 )
0′ (𝑥0 ; 𝑦0 )
x
0
𝑏
Вершина 0′ 𝑥0 ; 𝑦0 , где 𝑥0 = − 2𝑎 ; 𝑥0 = 𝑦 𝑥0 . Ось симметрии параболы 𝑥 = 𝑥0
Дополнительные точки графика
y
-
-
-
-
-
-
-
-
0 𝑥1
𝑥2
x
0′ (𝑥0 ; 𝑦0 )
Точки пересечения графика функции с осями: 𝑂𝑦 : 𝑥 = 0; 𝑦 0 = 𝑐, (0; 𝑐)
𝑂𝑥 : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
(𝑥1 ; 0)(𝑥2 ; 0)
Построение графика функции
𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)
Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑥 на 𝑎 ед.
Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑥 на 𝑎 ед.
y
y
x
0
𝑂′ (𝑎; 0)
x
𝑂′ (−𝑎; 0)
0
Построение графика функции
𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏
𝑦 =𝑓 𝑥 +𝑏
𝑦 =𝑓 𝑥 −b
Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑦 на 𝑏 ед.
Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑦 на 𝑏 ед.
y
y
0′ (0; 𝑏)
x
0
x
0
𝑂′ (0; −𝑏)
Построение графика функции
𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏
y
𝑂′ (𝑎; 𝑏)
0
x
Решение неравенств
;
a>0, ветви вверх
a<0, ветви вниз
𝑥1 , 𝑥2 - точки пересечения с осью OX
y
y
D>0
𝑥1, 𝑥2
D<0
𝑥1, 𝑥2
𝑥1
0
𝑥2
x
𝑥1
0
𝑥2
x
Решение неравенств
a>0, ветви вверх
a<0, ветви вниз
𝑥1 = 𝑥2 - точка пересечения с осью OX
D=0
𝑥1 = 𝑥2
y
D=0
𝑥1 = 𝑥2
y
𝑥1 = 𝑥2
𝑥1 = 𝑥20
x
0
x
Решение неравенств
a>0, ветви вверх
a<0, ветви вниз
нет точек пересечения с осью OX
D<0
Ø
y
0
D>0
Ø
x
y
0
x
Решение неравенств
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
y
𝑥1 , 𝑥2 - точки пересечения с осью OX
y
D>0
𝑥1, 𝑥2
D<0
𝑥1, 𝑥2
𝑥1
0
𝑥2
x
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0;
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
𝑥1
0
𝑥2
x
Решение неравенств
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
𝑥1 = 𝑥2 - точки пересечения с осью OX
D=0
𝑥1 = 𝑥2
y
D=0
𝑥1 = 𝑥2
y
0
𝑥1 = 𝑥2 0
x
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0;
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
𝑥1 = 𝑥2
x
Решение неравенств
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0;
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
D<0
∅
y
0
D<0
∅
x
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0;
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0;
y
0
x
Свойства функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝒂>𝟎
𝒂<𝟎
Область определения:
Область значений
1)
2)
Функция возрастает на
1) 𝑥 ∈ [𝑥0 ; +∞)
Функция убывает на
2) 𝑥 ∈; (−∞; 𝑥0 ]
1) 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥0 ]
2) 𝑥 ∈ [𝑥0 ; +∞)
y
y
2
1
𝑥0
0
𝑦0
𝑦наим = 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
x
𝑦0
𝑥0
𝑦наиб = 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
0
x
Дана функция: 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3
𝑂′ 𝑥0 ; 𝑦0 − вершина параболы
−4
𝑥0 =
= 2; 𝑦0 = 𝑦 2 = −4 + 8 − 3 = 1
−2
y
𝑥 = 2 − ось симметрии параболы
1
0
1
2
x
Координаты точек пересечения графика с осями
координат:
𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3
y
𝑂𝑦 ∶ 𝑥 = 0 𝑦 0 = −3; 0; −3
𝑂𝑥 ∶ 𝑦 = 0
− 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 0
𝐷 = 16 − 12 = 4
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3
1
0
1
2
x
Какие значения принимает функция, если 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
y
Если 𝑥𝜖 0; 3 , то 𝑦𝜖 0; 1
1
0
1
2
x
Постройте график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
−𝑥 − 3, если 𝑥 ≤ 2
𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 2 , если 𝑥 < 2
𝑥 − 3, если 𝑥 ≥ 2
y
1. 𝑥 ≤ −2
𝑦 = −𝑥 − 3
2.
𝑂3 (0; 3)
-4
-2
1
-1
𝑂1 (−4; 1)
𝑥 <2
𝑦 = 3 − 𝑥2
𝑂2 (−2; −1)
2
Парабола 𝑦 = −𝑥 ,
смещенная вверх на 3 единицы
3. 𝑥 ≥ 2
𝑦 =𝑥−3
2
4
-1
1
1
0
𝑂5 (4; 1)
1
𝑂6 (2; −1)
x
При каких значениях 𝑚, прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с
графиком функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 три общие точки?
y
𝑚 < −1 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥
Не имеют общих точек
𝑚 = −1 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥
Имеют 2 общие точки
−1 < 𝑚 < 3 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥
Имеют 4 общие точки
𝒎 = 𝟑 графики 𝒚 = 𝒎 и 𝒚 = 𝒇 𝒙
Имеют 3 общие точки
𝑚 > 3 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥
Имеют 2 общие точки
1
0
1
2
x
Список литературы
Виленкин Н.Я. и др. 8 класс: учебное пособие для учащихся и школ
с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 1995.
Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 кл. 3-изд. – М.
Просвещение 1995.
Дидактические материалы по алгебре для 9 класса/ А.С. Чесноков,
К.И. Нешков – М.: Просвещение н., 2009
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и другие. Государственная итоговая
аттестация ГИА. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к
государственной аттестации в 9 классе.и др.
МакарычевЮ.Н. и др. Алгебра -9. М. «Просвещение», 2012.
Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. .
Учебно-методическое пособие. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.
Пасиченко – М.; Дрофа, 2001.
Шарыгин И.Ф., В.И. Голубев, М.: Факультативный курс по
математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней
школы. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, М.: Просвещение, 1991.