Тайны цифры 9 или серьёзно о делимости

«Тайны цифры 9 или серьёзно о делимости»
Автор: Чапурина Валентина ученица 9 «А» класса ГБОУ СОШ № 9 г. о.
Чапаевск Самарской области Науч. рук: Волостнова И. Н., учитель математики.
Вам поклоняюсь, вас желаю - числа
Свободные,бесплотные, как тени.
Вы радугой связующей повисли
К раздумиям с вершины вдохновения...
В.Я.Брюсов
Математику нельзя назвать простой наукой: биквадратные, иррациональные
уравнения, исследование функций... Каждый раз мы погружаемся в новый мир
со своими правилами, формулами, логическими и причинно - следственными
связями. И постепенно учимся находить верное решение по образцу, по опыту,
пользуясь известными приёмами и методами. Но вот мы читаем задачу С6 из
пособия для подготовки к экзамену и испытываем удивление, что эта задача,
судя по номеру, отнесена к разряду сложных. А после первого прочтения
кажется, что её мог бы решить даже шестиклассник, знакомый с целыми
числами. Однако, ни у шестиклассника, ни у нас сразу не получится. В
процессе решения оказывается, что необходимо перебрать большое количество
вариантов, комбинаций. Такое большое, что может дня не хватить не то, что
времени, отведенного на экзамен. Оказывается, что эти задачи относятся к
теории чисел. С этой теорией мы, действительно, знакомились в 5,6 классах,
имели о ней представление даже в начальной школе. Потом дополнительные
занятия по математике, олимпиадные задачи. Систематизация знаний о
множестве действительных чисел в 9 классе. И всё равно, если нас
попросят найти, например, количество делителей числа 16 200, наш
мозг начнёт пересчитывать конкретные делители.
И начнёт
паниковать. Но ведь нас не просили найти их. А только их количество.
И есть рациональный способ это сделать.
Актуальность моей работы в том, что задачи по теории чисел вызывают
серьёзные затруднения при подготовке к итоговой аттестации и ещё одно
подробное исследование в этой области будет интересно школьникам. И хоть
мне ещё 2 года до сдачи ЕГЭ, но исследовать всё многообразие этих задач и
начать их систематизировать для себя и моих читателей пора уже сейчас.
В этой работе я попыталась заполнить только один пробел в области задач
повышенного уровня сложности по теории чисел, рассмотрев решения
нескольких задач исследовательского типа.
Цель
работы: «Исследование задачи повышенного уровня сложности с
помощью метода остатков и обобщённого признака делимости Б. Паскаля».
При достижении цели решались задачи:
1) Углубленное изучение некоторых тем теории чисел ( позиционная запись
числа, делимость, признаки делимости, метод остатков,) необходимых для
исследования.
2) Непосредственное исследование, обобщение и формулировка выводов из
решения конкретной задачи.
3) Обнаружение применяемых для решения задачи не изменяющихся свойств
— инвариантов.
Практическая значимость выбранного мной направления исследования в
том, что помогает подготовиться к единому государственному экзамену в части
решения задач по теории чисел.
Теоретическая значимость работы в получении опыта нестандартного подхода
к решению ряда задач, теоретических обоснований по итогам её решения в
соответствии с основными инвариантами или ключевыми задачами по теории
чисел.
Александр Сергеевич Пушкин родился 26 мая 1799 г. (старый стиль). Запишем
дату его рождения как одно число 26 051799. переставим цифры в любом
порядке. И из большего числа вычтем меньшее. Например: 26 051 799 -17 509
269 = 8 542 530. Сложим цифры числа, получившегося при вычитании. 8 + 5 +
4 + 2 + 5 + 3 = 27. И ещё раз: 2 + 7 = 9.
Попробуйте то же самое проделать с датой рождения Карла Гаусса,
30 041 777 — 773471 = 29268306. 2 + 9 + 2 + 6 + 8 + 3 + 0 + 6 = 36, 3 + 6 = 9.
Самое интересное, что 9 вы получите и в том случае, когда проделаете то же
самое со своей датой рождения. На очередном заседании школьного научного
общества наш учитель предложил нам выполнить все эти действия со своими
датами рождения. И у всех получилось 9. «Ну, это потому, что вы учитесь в 9
школе», - закончил заседание учитель. «Пошутила», - подумали мы и проверили
на всех наших знакомых. 9 !!! У всех 9. Но Пушкину-то за что?
К следующему занятию мы сделали вывод, что если бы все числа,
полученные из дат рождения делились на 9, то и разности, как и суммы цифр
логично делились бы на 9. Но ведь далеко не все исследуемые числа делились
на 9. А причина проста, число при делении на 9 даёт тот же остаток, что и
число, полученное путём перестановки его цифр (что и сумма его цифр)
Разность между числом и суммой его цифр аn·10ⁿ +...+ а3· 103 + а2·10² +а1·10
+а0 — (аn +...+ а3 +а2 +а1 +а0 ) = аn(10ⁿ - 1)+..+а3(103 - 1).+а2(10² - 1)+а1(10 - 1)
делится на 9. Значит, число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при
делении на 9. (Например, 9а +5 и 9х + 5) Говорят, что число и сумма его цифр
сравнимы по модулю 9 (равноостаточны. Инвариант — остаток. У числа,
анаграммы числа и сумм их цифр остатки неизменны).
Учитель похвалил нас за проведённые дома исследования, за нервнодушие к
полученным выводам. Хотя равнодушными к этой красивой задаче нельзя было
остаться. И мы на следующем занятии школьного научного общества подвели
итоги наших размышлений. Кроме того, я вспомнила задачу, которую
предлагала нам ранее наш учитель. «На доске написаны 11 различных
натуральных чисел. Доказать, что обязательно найдутся 2 из них, разность
которых делится на 10». Это же задача на метод остатков! Мне предложили
провести занятие-семинар, на котором я и рассказала, что все натуральные
числа можно разбить на классы по отношению к делимости на 10: 10а; 10в + 1;
10х + 2; 10с + 3; .... 10р + 9. (дающие в остатке при делении на 10
0, 1, 2,
3,..., 9 ) Этих классов 10. А на доске написаны 11 чисел. Какое-то обязательно
попадёт в тот же класс, и разность разделится на 10. Например, 10у +2 — (10х
+ 2) = 10у + 10х = 10(х +у) Так был дан старт исследованию других задач по
теории чисел с точки зрения возможности решать их методом сравнений
(остатков). Исследовали и смежные темы.
При решении первых двух задач мы вспомнили ещё темы. «Позиционная
запись числа» и «Признаки делимости». Многие помнят из 6 класса признаки
делимости на 2, 5 3, 9 или даже 4. Ими успешно пользуются. Но вот кто может
объяснить, почему признаки так звучат?. Например, почему если сумма цифр
числа делится на 3, то и само число делится на 3?
Дадим вывод обобщённого «признака Паскаля» и рассмотрим некоторые его
следствия.
Если мы имеем некоторое (п+1)-значное число А, то его можно
записать в виде А = а 0 ·1+а·10+а 2 ·10 2 +…+а n ·10 n (1), где а 0 , а1? а 2, . . . , а n
— его разрядные единицы. Установим делимость натурального числа А на
натуральное число
b≠1.
Пусть
g 0 и r0 ,
g 1 и r1 g 2
r2 ...,g n и r n —
соответственно частные и остатки от деления чисел 1 = 10°, 10, 10 2, ....
10n на b ( 0≤ rn <.b) Тогда 1=bg0+r0, 10= bg1+r1, 102= bg2+r2, ... 10n=bgn+rn (см.
(1)),
Итак,
А = a0·(bg0+r0)+a1·(bg1+r1)+a2·(bg2 + r2)+…+an (bgn + rn) или,
учитывая что g0 =0, имеем: А = b(a1g1+a2g2+…angn)+(a0r0+a1r1+…+anrn)
(2)
Первое слагаемое в правой части равенства (2) делится на b. Поэтому если А
делится на b, то и второе слагаемое делится на b. Наоборот, если второе
слагаемое делится на b, то и А делится на b.
Это и есть «признак
Паскаля»: если число А делится на число b≠1, то сумма a0r0 +a1r1+ …+
anrn делится на b; И обратно: если сумма a0 r0 +a1 r1+ …+ an rn делится на
b, то и А делится на b.
А теперь можно сделать вывод и получить
частные случаи признака Паскаля как его следствия
1)
Пусть,
b
=
9,
тогда
r0=r1=r2=…=rn=1
и
a0··1+a1·1+a2·1+…+an·1=a0+a1+a2+…+an
Это сумма цифр числа А. Перед нами признак делимости числа А на 9.
2). Пусть b=11, тогда r 0 =1, r 1 =10 (или -1) r 2 =1, …r n - 1 , r n =10 (или -1)
и мы имеем: а0 ·1+a1·10+a2·1+…+an-1·1+an·10 = (a0+a2+…+an-1)+10·(a1+a3+…+an) =
(a0+a2+…+an-1) - 1·(a1+a3+…+an) Признак делимости числа А на 11.
Исследования удивительные. Появляется желание продолжать путешествие
по лабиринту теории чисел и находить новые пути и ключи у потайным
дверям.