Работа НПК Надежды Губернии

РАЙОННАЯ НАУЧНО- ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Надежда Губернии»
СЕКЦИЯ «Математика»
«Секреты признаков делимости»
Автор: Москвичева Дарья
Учащаяся 7 А класса,
МОУ СОШ № 4
Руководитель: Губина Юлия Викторовна,
учитель математики
г. Ртищево, 2012 г.
Содержание
1. Введение
с. 3 - 4
2. Основная часть
с. 4 - 11
3. Заключение, вывод
с. 12
4. Приложения
с. 13 - 16
5. Список используемой литературы
с. 17
Введение
На одном из занятий математического кружка по теме "Делимость чисел" меня
заинтересовала одна старинная задача. Вот ее условие: " В одной из египетских
пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное
иероглифами число 2520. Почему именно этому числу выпала «такая честь»? Может
быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до
10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным
свойством.
Это
минимальное
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. После решения
число,
которое
делится
этой задачи я захотела
без
остатка
на
узнать больше о
признаках делимости и в чем заключается их секрет.
Что же такое признак? Что такое делимость? Какие признаки делимости, кроме
известных из школьного курса математики, еще имеются? В чем секрет признаков
делимости на любое натуральное число? Как их применять при решении задач?
На эти вопросы я попробую ответить в ходе своей работы.
Цель исследования: изучить признак делимости натуральных чисел.
Для достижения цели были поставлены задачи:
Изучить теоретический материал по данной проблеме; отработать полученные
теоретические знания при решении задач; провести анкетирование среди учащихся 5-7
классов с целью выяснения уровня знаний по теме "Признаки делимости"; ознакомить
одноклассников с универсальным методом делимости на любое натуральное число.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости.
Методы исследования: изучение и обработка литературных источников,
систематизация данных; анализ; синтез; сравнение; анкетирование учащихся 5-7
классов.
Гипотеза исследования: предполагаю, что существует универсальный метод
делимости на любое натуральное число.
Критериями оценки результативности работы являются знания об использовании
признаков делимости при решении задач.
Практическая значимость: данный материал можно использовать в 5 – 8 классах на
факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».
Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что впервые был
изучен универсальный метод делимости натуральных чисел в общеобразовательной
школе.
Основная часть
Число является одним из основных понятий математики. О числах первый начал
рассуждать Пифагор. Ему принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря
числу". Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица
есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной."
Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа русский
математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).
Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название
«арифметика». В настоящее время свойства чисел, действия над ними изучаются
разделом математики - «теория чисел». Основной объект теории чисел натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это
делимость чисел. Для быстрого выяснения делимости одного числа на другое
существуют признаки делимости.
Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить,
является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять
фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи
числа в позиционной системе исчисления (обычно десятичной). Данным вопросом
занимались ряд великих ученых – математиков, таких как К.Ф.Гаусс, П. Ферма, Л
Фибоначчи, П.Л.Чебышев и И.М.Виноградов.
Признаки делимости. (см. приложение №1,2)
На уроках математики мы изучили признаки делимости, которые наиболее часто
используются, это на 2, 3, 5,9,10 , реже на 4,6,7, 8, 11,13,...
Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом( в каждой
группе рассмотрим доказательство):
1) Признаки делимости, основанные на последних цифрах числа(признаки
делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 25).
Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.
Доказательство. Возьмем некоторое четырехзначное число abcd и представим его в
виде суммы разрядных единиц: abcd=1000a+100b+10c+d. Так как число 1000, 100
делятся на 4, то делится на 4 и сумма 1000a+100b. Двузначное число 10c+d делится на
4, то и число abcd делится на 4;если же 10c+d не делится на 4,то и abcd, не делится на
4.Например, число 15436 делится на 4, так как число 36 делится на 4.Число372514 не
делится на 4,так как 14 не делится на 4.
2) Признаки делимости, основанные на сумме цифр числа ( признаки делимости
на 3, 9) .
Признак делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.
Доказательство. Пусть abcdef будет число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и
т.д.: abcdef = a • 105 + b • 104 + c • 103 + d • 102 + e • 10 + f.
. . . 108 107 106
1
1
1
105
1
104
1
1
103
1
102 10 1
1
1 (остатки от деления на 3).
Умножая цифры числа 3 303 033 021на остатки и, складывая почленно все эти
значения, получаем:
3 3 0 3 0 3 3 0 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3+3+0+3+0+3+3+0+2+1 = 18 : 3 = 9 : 3 = 3 (делится нацело)
Таким образом,натуральное число имеет тот же остаток от деления на 3, что и сумма
его цифр. Из этого и вытекает сформулированный выше признак делимости на 3.
3) Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр
числа ( признаки делимости на 6, 12,15,).
Как узнать, не производя деления, делится ли число на 6? на 12? на30? Можно
предположить, что число будет делиться на 6, если оно делится на 2 и на 3, но это
предположение нуждается в доказательстве.
Признак делимости на 6 Для того чтобы число Х делилось на 6,необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.
Доказательство. Пусть число Х делится на 6. Тогда из того, что Х делится на 6 и
6 делится на 2, следует, что Х делится на 2, а из того, что Х делится на 6 и
6 делится на 3, следует, что Х делится на 3.
Например,126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на12 Для того чтобы число Х делилось на 12, необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.
Доказательство этого признака аналогично предыдущему.
Признак делимости на15 Для того чтобы число Х делилось на 15,необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.
Список признаков делимости на
составные
числа можно продолжить. Их
обобщением является следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы натуральное число
делилось на составное число
n=bc,где числа b и c таковы, что НОД(b,c)=1,необходимо и достаточно, чтобы оно
делилось на b и c.
4) Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы
(признаки делимости на 7,11,13).
Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр,
стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах,
либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Докажем признак делимости на 11( аналогичным способом как и на 3).
. . . 108
1
107
106
105
104
-1
1
-1
1
103
-1
102 10 1
1
-1
1 (остатки от деления на 11).(При
деление 10 на 11 нам не хватает 1, поэтому мы пишем -1. При деление 100 на 11 в
остатке 1, поэтому пишем 1 и т.д.).
Проведем те же действия (умножим цифры числа на остатки и сложим все
значения).Например:
а)
4 5 9 1 4 4 5
1 -1 1 -1 1 -1 1
4 -5+9 -1+4 -4+5 = 22 – 10 = 12 : 11=1 (остаток 1)(не
делится нацело на 11, значит и число 4591445 не делится на 11 нацело)
б) 4 4 5 5
-1 1 -1 1
-4+4 -5+5 = 9 – 9 = 0 : 11=0 (делится нацело на 11, значит и число 4455 делится на 11
нацело)Натуральное число имеет тот же остаток от деления на 11, и что разница между
суммой цифр этого числа стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на
нечетных местах.
Таким же способом можно получить признак делимости на 7. Мы имеем:
. . . 109
-1
108
107
106
105
104 103
102 10 1
2
3
1
-2
-3
2
-1
3 1 (ост. от дел. на 7).
В результате мы получаем следующее правило: чтобы узнать остаток от деления
натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого
числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую
цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить;
найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое
число.
Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем
результат:Например:
а) 4 5
9 1
-1 2 3 1
-4+10+27+1 = 38 – 4 = 34 : 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)
б) возьмем число 8 546 216.
8 5 4
6
2 1 6
1 -2 -3 -1 2 3 1
8 -10 -12 -6+ 4+3+6 = 21 – 28 = -7 : 7= -1 (делится нацело на 7)
Таким же способом можно получить признак делимости на 13. Мы имеем:
… 108
107
… -4
-3
106 105 104 103
1
4
3
102
-1
10 1
-4
-3
1
(ост. от дел. на 13). По
тому же правилу как при делении на 7 нужно справа налево подписать под цифрами
этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить
каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения
сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 13, что
и взятое число.
Например: числа 872 232 325 и 260 390 265 265.
1)
8 7
2
-4 -3 1
2 3 2 3
2 5
4 3 -1 -4 -3 1
-32 -21 +2 +8 +9 -2 -12 -6 +5 = 24 – 73 = - 49 : 13= -3 (остаток -10) (не делится
нацело на 13)
2)
2 6 0 3
9 0 2 6
5 2 6
5
4 3 -1 -4 -3 1 4 3 -1 -4 -3 1
8 +18 -0 -12 -27 +0 +8 +18 -5 -8 -18 +5 = 57 – 70 = -13 :13= -1 (делится нацело
на13)
Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только
найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами
взятого числа. А для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности
имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти
коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак
делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были
не сложными: они попеременно равны +1 и – 1. А при т =7 коэффициенты получились
посложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев
признаки деления в пределах 100, я убедилась, что самые сложные коэффициенты у
натуральных чисел 23 (с 1022 коэффициенты повторяются), 29 (с 1028 коэффициенты
повторяются), 31; 37, 43, 53.
Заметим еще, что иногда признак делимости можно получить проще.
Число 268 513 можно записать следующим образом:
268 513 = 2 · 105 + 6 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 1· 10 + 3.
В этой записи каждая цифра умножается на соответствующую степень десяти. Если
же мысленно разбить цифры числа (начиная справа) на группы, по две в каждой
группе, то число запишется по-другому. Например:
1) 268 513 = 26 · 1002 + 85 · 100 + 13
2) 3 785 493 = 3 · 1003 + 78 · 1002 + 54 · 100 + 93.
Для произвольного шестизначного числа мы можем написать:
abcdef = ab · 1002 + cd · 100 + ef.
В этом случае число выражается через степени числа 100, а коэффициентами при
этих степенях служат двузначные числа. Такой записью чисел тоже можно
пользоваться для вывода признаков делимости.
Мы получили следующее правило: нужно справа налево подписать под каждой
группой цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления), затем нужно
умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и полученные
произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от
деления на 11, что и взятое число.
Можно также разбивать цифры числа на группы по три цифры в каждой. Тогда число
будет выражено через степени числа 1000. Например:
3 658 941 =3 · 10002 + 658 · 1000 + 941.
…10008 10007 10006 10005 10004 10003
1
-1
1
-1
1
-1
10002 1000
1
-1
(ост. от дел. на 7)
1) 53 012 869 745 012 811
1 -1
1
-1
1
-1
53 – 2 + 869– 745+12–811 = 934 – 1568 = - 634 : 7 = - 90 (остаток - 4)
Вывод: число 53 012 869 745 012 811 не делится на 7 нацело.
2) 624 781 889
1
-1
1
347
-1
624 – 781 + 889 – 347 = 1513 - 1128 = 385 : 7 = 55
Вывод: число 624 781 889 347 делится на 7нацело.
Поэтому мы можем сформулировать следующий признак делимости на 7:
Разобьем цифры числа на группы, по три цифры в каждой (считая справа). Справа
налево подписать под каждой группой цифр этого числа коэффициенты
(остатки от деления): затем нужно умножить каждую группу цифр на стоящий
под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма
будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.
Данный приём – метод остатков можно использовать при выведении признака
делимости на любое натуральное число.
Я.И. Перельман в своей книге «Живая математика» раскрывает еще один признак
делимости на 11, весьма удобный для практических надобностей. Он состоит в том,
что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и
грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11,
то и испытуемое число кратно11.
Рассмотрим три примера.
1)
Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:1+54=55. Так как 55
кратно 11, то и 154 кратно 11. 154:11=14
2)
Число 7843. Разбиваем на грани: 78-43. Складываем их: 78+43=121. Эта
сумма делится на 11, значит, делится и испытуемое число.
3) Число 4 375 632. Разбиваем на грани, складываем:4+37+56+32=129. Полученное
число так же разбиваем на грани и складываем их:1+29=30. Число это не кратно 11,
значит, не делится на 11 и число 129,а, следовательно, и первоначальное число
4 375 632.
Практическая часть.
Анализ анкетирования школьников
Я провела анкетирование ребят 5-7 классов (см.приложение 3). По результатам
анкетирования выяснила, что 76% ребят знают основные признаки делимости на 2, 3,
9, 5, 10;
14 % ребят забыли эти признаки; дополнительные признаки (на 4, 6,
7.11,12...) знают только 35% ; 100% ответили, что хотели бы узнать больше о
признаках
делимости чисел, так как, по их мнению, эти знания им
могут
пригодиться.
Результаты
анкетирования
натолкнули меня на мысль найти интересные и
занимательные задачи по этой теме. И некоторые из них решили на математическом
кружке.
1. В шестизначном числе 1-я цифра совпадает с 4-й, 2-я с 5-й, 3-я с 6-й. Докажите,
что это число кратно 7, 11, 13.
Решение.Обозначим 1ц – а, 2я – в, 3я – с , тогда число авсавс= 100000а + 10000в +
1000с + 100а + 10в + с =1000 ( 100а + 10в + с ) + авс = 1000авс + авс = 1001авс =
11*7*13 авс кратно 7,11,13.
2. Доказать, что трехчлен у = х2 +5х+16 ни при каком целом х не делится на 169.
Решение
Рассмотрим трехчлен х2 +5х+16, выделим квадрат двучлена: х2 +5х+16 = х2 -2х*4 +42
+2х*4 + 5х = (х-4)2 + 8х+5х = (х-4)2 + 13х. Сумма (х-4)2 + 13х, а значит и трехчлен х2
+5х+16 делится на 169 только при условии, что каждое слагаемое делится на 169.
Выражение (х-4)2 делится на 169 при условии, что х-4 делится на 13, но х-4 делится на
13 при х=13n+4, n  Z. Проверим, делится ли слагаемое 13х на 169 при х=13n+4. 13х
делится на 169 при условии, что х делится на 13, но х= 13n+4 и это число ни при
каком n  Z не делится на 13.
Значит, исходный трехчлен х2 +5х+16 ни при каком х не делится на 169.
3. Три цифры пятизначного числа – четверки. Найдите это число, зная, что оно
делится без остатка на 315.
Решение.
Так как 315= 5* 7* 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна
из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни
одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию
отвечает только число 44415.
4. Доказать, что число 220 + 320 + 420 + 721 кратно 10 .
Решение.
Воспользуемся признаком делимости на 10. Для того чтобы данное выражение
делилось на 10, необходимо, чтобы последняя цифра в данном выражении была 0, т. е.
сумма единиц всех слагаемых должна оканчиваться нулем. Найдем, какой цифрой
оканчивается каждое слагаемое:
220 = 24* 5 = 220 – оканчивается так же, как 24 (6);
320 = 34* 5 = 320 – оканчивается так же, как 34 (1);
420 – оканчивается цифрой 6;
721 = 74* 5 +1 = 720 * 7 – оканчивается цифрой 7.
Сложим последние цифры (единицы слагаемых): 6 + 1 + 6 + 7 =20.
Сумма единиц оканчивается нулем, значит, заданное число кратно 10.
Заключение, вывод
В ходе исследовательской работы я:
1.Изучила теоретический материал по данной теме, выведен универсальный
признак делимости на любое натуральное число (метод остатков).
2. Систематизировала полученную информацию.
3.Показала применение признаков делимости при решении задач.
4.Получила навык работы с научной литературой, научилась более точно и
грамотно излагать свои мысли, делать выводы.
5.Провела анкетирование среди учащихся 5-7
классов с целью выяснения
уровня знаний по данной теме. Нашла интересные задачи, познакомила ребят с этими
задачами на математическом кружке.
Современному человеку буквально на каждом
числами. Нестандартные и занимательные
задачи
шагу приходится иметь дело с
повышают у меня интерес к
математике и я думаю, что мне предстоит изучить многое по данной теме и
продолжить мои "маленькие" открытия.
Приложение №1
"Азбука делимости".
Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если
существует такое целое число k, что a = bk.
Свойства делимости:
1. Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.
2. Нуль делится на любое b, не равное нулю.
3. Если a делится на b (b  0) и b делится на c (c  0), то a делится на c.
4. Если a делится на b (b  0) и b делится на a (a  0), то числа a и b либо равны,
либо являются противоположными числами.
Свойства делимости суммы и произведения:
1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то
сумма делится на это число.
2. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое
число, то и разность делится на некоторое число.
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое
число, то сумма не делится на это число.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое
число, то и произведение делится на это число.
5. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на
n, то произведение делится на mn.
Приложение № 2
"Признаки делимости"
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или
делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два –
нечётными.
Признак делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули
или
образуют
число,
которое
делится
на
8.
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.
Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули
или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.
Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число
его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845
делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14. Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно
делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 17. Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число
его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например,
29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится
на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное
значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и
только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом
единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15;
поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19. Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число
его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646
делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число
его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например,
28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 —
очевидно, делится на 23).
Признак делимости на 99 . Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в
самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их
двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само
число делится на 99.
Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в
самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с
переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101
тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на
101, так как 59-05+47=101 делится на 101
Приложение №3
Анкета "Признаки делимости"
1.Продолжи признак делимости :
а) Все четные числа делятся на...
б) Если запись числа оканчивается на 0 и 5, то число делится на...
в) Если запись числа оканчивается на 0, то число делится на...
г) Если сумма цифр числа делится на ..., то и все число делится на...
д) Если 2 последние цифры образуют число, которое делится на..., то и все число
делится на...
е) Если 3 последние цифры образуют число, которое делится на..., то и все число
делится на...
ж)Если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах и суммой цифр,
стоящих на нечетных местах (или наоборот) делится на..., то и само число делится на...
з)Если разность, сотоящая между трехзначным числом, записанным последними
цифрами данного числа, и числом, записанным остальными цифрами числа, сохраняя
порядок их следования( или наоборот) делится на ..., то и все число делится на...
2. Даны числа: 1092, 2160, 4104, 6578, 176495. Какие из чисел делятся:на
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Диаграмма " Уровень знаний учащихся".
100%
90%
90%
80%
78%
75%
70%
60%
50%
Основные признаки
50%
Дополнительные признаки
40%
30%
30%
20%
10%
10%
0%
5А
6А
7А
Список используемой литературы
1. УМК:Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват.учреждений/ Виленкин
Н.Я. , В.И.Жохов;
2. Алгебра 7 класс С.М Никольский
3. Я.И. Перельман. Живая математика. М.,1978
4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред.
шк./Сост. И.Л. Никольская.- М.: Просвещение, 1991
5. Воробьев Н. Н. Признаки делимости (Популярные лекции по математике) 4 е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38.
6. Галкин Е. Задачи с целыми числами // Математика, 2000. - №3. – С. 13-17.
Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. М. , Просвещение,
1995.
7. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Издательство «Наука», 1976.-347с.
8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. –М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы., 1956. -181 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта
http://ru.wikipedia.org/wiki ; www.rubricon.com (Большая советская
энциклопедия, Иллюстрированный энциклопедический словарь).