Т 2 = 340К. Температура окружающего воздуха

Семинар решения задач по физике. КОИРО. Февраль.
Темы задач:
1-2. Уравнение состояния идеального газа. Динамика.
3-4. Газовые законы. Изохорный процесс.
5-6. Термодинамика. К.П.Д. – цикла.
7-8. Термодинамика. Влажность.
Сорокин В.А., учитель физики, МБОУ Лицей №17
Задача №1. Шар объёмом V =0,1м3, сделанный из тонкой бумаги,
наполняют горячим воздухом, имеющим температуру - Т2 = 340К.
Температура окружающего воздуха – Т1= 290К. Давление воздуха внутри
шара и отмосферное давление равны 105Па. При каком значении массы m
,оболочки шар будет подниматься?
Решение: Чтобы шар начал подниматься, сила тяжести, действующая
на него должна быть меньше или равна силе Архимеда
→
(m + mВ)*g = P В*g*V, тогда m = P В*V –mВ ;
mВ – масса воздуха в шаре, V – объём шара, P в – плотность окружающего
шар воздуха, g – ускорение свободного падения.
Недостающие данные получим из уравнения состояния идеального
газа
→
mВ = (Р*V*µ)/R*T2; P в = (Р*µ)/R*T1. Р – давление воздуха,
µ -молярная масса воздуха = 0,029кг/моль, R =8,31Дж/мольК., Т –
температура воздуха.
Подставляя их в выделенное выражение, после преобразований получим
→
m = (P*V*µ)*(1/T1 -1/T2)/R
В результате вычислений получим ответ m = 18г.
Ответ: если масса оболочки будет меньше или равна 18г, то шар будет
подниматься.
Задача№2. Лёгкую сферу массой 80г взвешивают в воздухе при температуре
470С. Вес сферы оказался равным 0,1Н. При какой температуре воздуха
сфера перестанет давить на чашку весов?
Решение: На сферу действуют три силы : сила тяжести –m*g, сила реакции
опоры N и сила Архимеда FA. Сила реакции опоры Nпо модулю равна весу
тела Р. Согласно условию задачи
Р1 = m*g – FA = m*g – P1*g*V и Р2= 0 = m*g – P2*g*V,
где m – масса сферы, g –ускорение свободного падения, P – плотность
окружающего воздуха, зависящая от температуры воздуха, V – объём
сферы.
Преобразуем выражения → P 1*g*V = m*g - Р1 и P 2*g*V = m*g.
Разделим первое на второе → P 1/ P 2= 1- Р1/ m*g. (1)
С другой стороны выразим плотность воздуха из уравнения состояния
идеального газа → P =РА*µ/R*T, где РА – давление воздуха, µ - его
молярная масса, R – газовая постоянная, T – температура окружающего
воздуха. Тогда «навешивая индексы» и разделив одно на другое получим
P 1/ P 2 = Т2/Т1 (2).
Сравнивая (1) и (2) имеем 1- Р1/ m*g = Т2/Т1 отсюда
Т2 = Т1*(1- Р1/ m*g).
Подставляя числовые значения, получим - Ответ: Т2 = 280К или t =70C,то
есть, чтобы сфера перестала давить на чашу весов, температура окружающего
воздуха должна понизиться.
Задача №3. С какой максимальной силой прижимается к телу человека
медицинская банка, если диаметр её отверстия D =4см. В момент
прикладывания к телу человека воздух в ней прогрет до температуры t1=800С,
а температура окружающего воздуха t0 =200С. Атмосферное давление равно
105Па. Изменением объёма воздуха в банке пренебречь.
Решение: Идея: Температура Т1 нагретого воздуха, находящегося под
атмосферным давлением Р0 с течением времени уменьшается, и его давление Р
становится меньше атмосферного.
По условию задачи V-const. → Р0/Т1 = Р/Т0,
где Т1 = 273 +80 =353К; Т0 = 273+20 =293К, Р – давление воздуха в банке после
остывания, которое и надо найти. → Р =Р0*Т0/Т1.
Теперь можно найти разность давлений Р0 – Р = Р0 - Р0*Т0/Т1 = Р0*(1 - Т0/Т1).
По определению давления Р =F/S, → F = Р0*(1 - Т0/Т1)*S;
но площадь S = π*D2/4 и
в итоге F = Р0*(1 - Т0/Т1)* π*D2/4.
Подставляя числовые значения, получаем ответ. F = 21Н. То есть медицинская
банка присасывается к телу человека с силой 21Н.
Задача №4. В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении Р =200кПа и
температуре 270С. Какой массы груз надо положить на поршень после
нагревания воздуха до 500С, чтобы объём воздуха в цилиндре остался прежним?
Площадь поршня S=30см2.
воздух
Запишем уравнение состояния воздуха до нагревания
(Р0 +М1*g/S)*V = m*R *T1/µ; где Р0 – отмосферное
давление, М1 – масса поршня, V – объём воздуха, S - площадь
поршня, T1 – начальная температура воздуха, µ -молярная масса
воздуха. R – газовая постоянная. Соответственно после нагревания
(Р0 +М2*g/S)*V = m*R *T2/µ,
где М2 – масса поршня с грузом, T2 – конечная температура воздуха.
Разделим верхнее на нижнее → (Р0 +М2*g/S)/ Р0 +М1*g/S = T2/ T1.
Но
Р0 +М1*g/S =Р → Р0 = Р - М1*g/S.
После подстановки получим T2/ T1 = (Р + (М2 - М1)*g/S)/Р.
где М2 - М1 = ΔМ - масса груза, которую и надо найти. →
ΔМ = (T2/ T1 – 1)* Р*S/g.
Подставляя числовые значения получим ответ: ΔМ = 4,6кг.
Задача №5. Тепловая машина совершает цикл, изображённый на PV –
диаграмме. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ. Чему равен К.П.Д.
цикла?
Р0
Р0
3
2
V0
1
4V0
Решение: По определению К.П.Д. = η =А./Qпол.*100%, где А
– работа газа за цикл, Qпол. – количество теплоты, получаемое
газом от нагревателя за цикл.
Работа газа численно равна площади фигуры
→ А = 1,5Р0*V0.
Выясним – получает или отдаёт газ количество теплоты на
каждом участке цикла: →
на (1-2) и (3-1) -газ отдаёт, а на (2-3) – получает количество
теплоты, → нам надо вычислить Q2-3.
Его можно найти, используя первый закон термодинамики, →
ΔU2-3 = Q2-3 – A2-3 → Q2-3 = ΔU2-3 + A2-3 = 1,5*ʋ*R*(T3 – T2) + 9*Р0*V0/2.
Но
ʋ*R*T3 = 8 Р0*V0 и ʋ*R*T2 = Р0*V0
тогда
Q2-3 = 9*Р0*V0/2 + 21* Р0*V0/2 = 15 Р0*V0.
В результате
η = (1,5Р0*V0)/( 15 Р0*V0) = 0,1 или η = 10%.
Ответ: К.П.Д. = 10%.
Задача №6. К.П.Д. тепловой машины, работающей по циклу: 1-2 – изотерма,
2-3-изохора, 3-1-адиабата равен η = 25%. Работа, совершённая ʋ =2моль
одноатомного газа в изотермическом процессе А1-2 = 16,62кДж. Найти
разность максимальной и минимальной температур.
Р
1
2
3
Решение: Рассматривая цикл видно, что температура
Т1 = Т2 будут максимальными, а температура Т3 есть
минимальная → нам надо искать разность Т1 – Т3 = ΔТ
V По определению К.П.Д. = η =А./Qпол.*100%,
где А – работа газа за цикл, Qпол. – количество теплоты, получаемое газом от
нагревателя за цикл →
η =(А1-2 +А2-3 +А3-1)/ Q1-2,
Но А2-3 =0, а А3-1 ˂ 0 и Qпол. = А1-2 в итоге
η =( А1-2 - А3-1)/ А1-2
Процесс (3-1) адиабатный →
А3-1 = ΔU3-1 = 1,5*ʋ*R*(T1-T3) = 1,5*ʋ*R*ΔТ,
где R – газовая постоянная.
После подстановки получим
η = (А1-2 -1,5*ʋ*R* ΔТ )/ А1-2.
Получили уравнение, в котором только одно неизвестное, →
ΔТ =(2*(1 –η)* А1-2) /(3 ʋ*R).
Подстановка числовых значений даёт.
Ответ:
Т1 – Т3 = ΔТ = 500К.
Задача№7. На электрической плитке мощностью N=1кВт кипит чайник с
водой. Найти скорость истечения пара из носика чайника. Площадь сечения
носика чайника S=1см2. Давление на конце носика чайника равно
атмосферному давлению. Считать, что вся теплота, выделяемая плиткой,
передаётся воде.
Решение: Ток совершает работу, и эта работа идёт на испарение воды →
N*t = r*m,
где r – удельная теплота парообразования воды, m- масса испарившейся
воды, t – время кипения воды, N – мощность плитки.
Считая водяной пар идеальным газом, запишем уравнение состояния
РV = m*R*T/µ,
где Р – давление газа, V – его объём, R – газовая постоянная, T температура, µ - молярная масса воды.
Но
V = S*L =S* v *t,
в результате получаем
Р* S*v*t = R*T*N*t/( µ* r),
где v – скорость истечения пара. Выражая 𝓿, получим ответ
v =N*R*T/(r*µ*P*S).
Подставляя числовые значения, имеем
v = (1*103*8,31*373) /(2,3*106*18*103*105*10-4) =7,5(м/с).
Ответ: v = 7,5м/с.
Задача №8. В сосуде вместимостью 100л при температуре 300С находится
воздух с относительной влажностью φ = 30%. Какой будет относительная
влажность воздуха в сосуде, если в него ввести воду массой 1г?
Решение: ( Первый способ). Считая воздух идеальным газом, запишем уравнение
состояния идеального газа → Р1*V = m1*R *T/µ, где Р1 – давление воздуха, при
относительной влажности 30%, V – объём воздуха, m1 – его масса, R – газовая
постоянная, T = 273 +30 =303(К) – температура, µ - молярная масса. Давление Р1
выразим через относительную влажность и Рн.п. – давление насыщенного пара, →
Р1 = φ1* Р2., (Рн.п. = 4,2*103Па - из таблицы). Тогда m1 = (φ1*Рн.п.*V*µ)/(R *T).
После введения в сосуд 1г воды и, соответственно её испарения получим «новое»
уравнение состояния Р2*V = m2*R *T/µ, но m2 = m1 + Δm →
Р2 = Р1 + (Δm*R*T)/(µ*V). Зная «новое» давление Р2 находим «новую»
влажность φ2 = Р2/ Рн.п. = φ1 +(Δm*R*T)/(µ*V*Рн.п.). Подставляя числовые
значения получим ответ φ2 = 63%.
(Второй способ). Используем другое определение относительной влажности →
φ1 =P1/ P н.п., где P 1 – плотность водяного пара, P н.п - плотность насыщенного
пара при температуре t =300С, из таблиц P н.п = 30,4*10-3кг/м3. Но P 1 = m1/V →
φ1 = m1/(V* P н.п ) в результате m1 = φ1*V* P н.п.
При введении воды Δm получим
φ2 = m2/(V* P н.п ) = (m1+ Δm)/ (V* P н.п) = φ1 + Δm/ (V* P н.п).
Подставляя числовые значения, следует тот же: Ответ:φ2 = 63%