Задачи по олимпиаде 8 класс

Задачи по олимпиаде 8 класс
1.
Найти все значения x и y , для которых x  y  1  x  y .
Решение: x  y  1  x  y,
x  y  1  x  y  0,
x  ( y  1)  ( y  1)  0,
( y  1) ( x  1)  0 Возможны два случая:
а) y  1  0 или б) x  1  0
a) y  1  0 ,
б) x  1  0
 y  1
 x  любое

 x  1
 y  любое

Ответ: (x, 1); (1,y)
2.
Из квадрата бумаги, сторона которого равна 3 единицам длины, нужно
вырезать
фигуру,
представляющую
собой
развертку
полной
поверхности куба, длина ребра которого равна 1 единице длины. Как
это можно сделать?
Решение:
3.
Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть a – какое
угодно число. Возьмем тождество a2 - a2= a2 - a2. В левой части его
вынесем a за скобки, а правую часть разложим на множители по
формуле разности квадратов. Тогда получим: (a - a)a = (a - a)(a + a).
Упростив это тождество, получим: a = 2a. В чем здесь ошибка?
Решение: Нельзя делить на a – a = 0.
4.
Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – гипотенуза.
Что больше: a3 + b3 или с3?
Решение: Так как a, b – катеты прямоугольного треугольника, а c – его
гипотенуза, то по теореме Пифагора, c2 = a2 + b2. Умножим обе части
этого равенства на c: c3 = (a2 + b2)  c или c3 = a2 с + b2 с (1). Так как
с > a и с > b, то a2 с > a3 и b2 с > b3. Тогда a2 с + b2 с > a3 + b3. Но по
(1) a2 с + b2 с = c3. Значит, a3 + b3 < c3.
5.
Выразите в процентах изменение площади прямоугольника, если длина
его увеличиться на 30%, а ширина уменьшиться на 30%.
Решение: Пусть a – длина прямоугольника, b – его ширина.
Тогда
S = a b. По условию его ширину уменьшили на 30 %, а длину
увеличили на 30%. Получим новый прямоугольник с шириной
b1 = b – 0,3b, и длиной a1 = a + 0,3a. Его площадь
S1 = (b – 0,3b)(a + 0,3a), S1 = ab(1-0,3)(1+0,3), S1 = 0,91ab. Тогда
S
ab

,
S1
0,91ab
6.
S
100
S
 91  0,91S.

, S1 
100
S1
91
Значит,
площадь
исходного прямоугольника уменьшилась на 9 %.
Расшифруйте запись
РЕШИ
+ ЕСЛИ
СИЛЕН
при условии, что «наибольшая» цифра в записи числа «силен» равна 5.
Решение: 9382 + 3152 = 12 534.