Lekciya10

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация
орбит при финитном и инфинитном движении
В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии E0 движение будет
инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного
движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра r0 . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения,
получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения U  r    / r
   0 . Получим уравнения возможных траекторий частицы.
Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости   r  , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что
r
r  
M0
dr 
r 2
 0
2  E0  U eff  r  


 



(1)
r0
Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор
знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  0 так,
чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е.
в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи, можно
записать в виде:
r
 r  

M 0 

 

rmin
dr  / r 2

M2
2 E  2  02
r  r
.
 E   / 2 p 
(2)
Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

r
p







rmin
dr 
r 2
p 
e 2    1
 r 
2








 min
1
d 
 2
1

e 2    1
  
2
(3)
Здесь, как и ранее,   r / p - безразмерное расстояние до центра поля и min  1/ 1  e .
Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: x  1/   1 , dx  d /  ,
2
приводим интеграл к табличному виду:







d 
1

 1
  
 2 e 2  
1/    1 .
x
 arccos    arccos
e
e
e x

2
dx
 
2

2
Поэтому получаем:
1  p

 1  p 
 1  p 
  r   arccos    1   arccos    1   arccos  
 1  .
  rmin

e  r
e  r

 e  rmin
r
Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:
1  p

  r   arccos    1 

e  r
(4)
p
1  e cos 
(5)
Откуда
r   
Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения U  r    / r в полярных координатах.
Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы
E0 . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение
(9.6)
r  p  er cos ,
в обычных декартовых координатах. Учитывая, что r 
(6)
x 2  y 2 , r cos   x запишем
x 2  y2  (p  ex )2 , т.е.
x 2 1  e 2   2 pex  y 2  p 2
(7)
Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.
Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна:
 / 2p  E0  0 . В этом случае эксцентриситет орбиты 0  e  1 . Перепишем уравнение
(7) в виде
2
x2  2
pe
y2
p2
x


1  e2  1  e2  1  e2 
(8)
Далее
 2
pe
p 2e2 
y2
p2
p 2e2
.
x

2
x




2

2 2
1  e2 
1  e2  1  e 2  1  e2 


1

e





p 2 / 1 e2

2
Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический
вид:
 x  x0 
2
a2

y2
1
b2
(9)
Это есть уравнение эллипса с полуосями a и b с началом координат в точке  x 0,0 :
a
p

.

2
1 e
2 E0
b
p
1  e2

p
2 E0

M0
2 E0
.
x0  ae
(10)
Поскольку e  1, то a  b . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: 2a  rmin  rmax . Отсюда получаем, что
a


1 p
p
p




2
2 1 e 1 e 1 e
2 E0
(11)
Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При e  0 получаем уравнение окружности с радиусом p .
Таблица 9.1

r
0
rmin 
p
1 e
  / 2
p

rmax 
  3 / 2
p
p
1 e
  2
rmin 
p
1 e
В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.
3
На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле
притяжения U   / r
   0 при финитном движении для различных значений эксцентриситета 0  e  1 , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах   r / p . Видно, что все орбиты имеют две
общие точки   1 при    / 2 , когда cos   0 .
Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных
эксцентриситетах орбиты
Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения T
воспользуемся законом сохранения момента импульса:
M 0  r 2d  2df ,
где df 
1
r  r d   - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по t , получим, что
2
M 0 T  2f , где f - площадь эллиптической орбиты: f  ab . Подставляя сюда значения a
и b из (9.17), будем иметь:
T  2

M0
ab  

2
E0
3/ 2
(12)
Заметим, что период зависит только от энергии частицы.
Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна:
E0  0 . В этом случае эксцентриситет орбиты e  1.
4
Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы E0  0 , т.е. e  1. В
этом случае уравнение (7) принимает вид:
y  x    p  p  2x  ,
 E0  0
(13)
Уравнение (13) есть уравнение параболы в области   x  p / 2 (красная кривая на
рисунке 2.
Если E0  0 , т.е. e  1, то уравнение траектории в декартовых координатах будет
иметь вид:
 x  x0 
a2
2
y2
 2 1
b
(14)
Здесь
a
p


,
e  1 2 E0
2
b
p
e2  1

p
2 E0

M0
,
2 E0
x0  ae
(15)
Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» a .
На
рис.2
представлены
орбиты
движения частицы в поле притяжения U   / r
   0
при ин-
финитном движении для различных
значений
e  1в
эксцентриситета
приведенных
единицах
r/ p.
Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы
при различных эксцентриситетах орбиты.
При E  0 ( e  1) траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При E  0 значение e  1 и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки   1 при    / 2 , когда cos   0 .
5