Лекция 9. Общие закономерности движения ... Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения.
Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля
Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле
U r   

;
r
F r   
U  r 
 r
 2
r
r r
(1)
когда
0
Это соответствует полю притяжения,
y
т.е., так называемую задачу Кеплера.

Будем считать, что начальный радиус
- вектор r0 и начальный импульс p0
P0

P(t)
лежат в плоскости XoY . Тогда дви-
r(t)
r0
жение частицы будет происходить
0
только в этой плоскости
Направим ось z так, чтобы она совпадала
с
направлением
t=0
0
O
x
вектора
M 0  [r0  p0 ] . Тогда будем иметь,
z
что M z  M 0  r   0 . Отсюда следует, что   0 и, следовательно,   t   0 , где  0
2
- значение азимутального угла при t  0 .
Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)
Uef f
M 02

r    
r 2r 2
(2)
Если M 0  0 , то   0 и движение будет происходить по прямой:   t   0 . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем
предполагать, что M 0  0 . В этом случае азимутальный угол   t  будет монотонно возрастать со временем:   t   0 .
1
Исследуем подробно зависимость Uef f  r  для случая M 0  0 . При r  0 величина
Uef f   по закону ~ M 02 / r 2 . При r   величина Uef f  0 со стороны отрицательных значений по закону ~  / r .
В точке
M 02
r  p 
,

(3)
величина Uef f  r  имеет локальный минимум:
 Uef f min
2




 0,
2p
2M 02
(4)
В точке
M 02
p
r 
 ,
2 2
(5)
график функции Uef f  r  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости Uef f  r  ,
имеет вид «потенциальной ямы».
Таким образом, значение величины p определяет как положение точки минимума, так и
расстояние, на котором Uef f  0 , т.е. p определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину p называют параметром орбиты. В поле притяжения
   0 величина p
всегда положительна и определяется моментом импульса M 0 .
С учетом (5) выражение для величины Uef f  r  можно записать в виде:

Uef f  r    
1
p
 2
r 2r

(6)
Из формулы (6) видно, что величина p играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах p , которое мы будем обозначать буквой
 (приведенное расстояние):

r
p
r  p

(7)
В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:
Uef f    

2p
2 1 
2 1 
  2    Uef f min    2 
  
  
2
(8)
Из формулы (8) следует, что U eff    имеет минимум при   1 . Из предыдущей лекции
нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения Uef f  r   E0 . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:
1 2 2E0p
 

2 
(9)
Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной u  1/  , дает:
1,2 
1
0
1 e
(10)
Величина e в формуле (10) определяется выражением:
E0M 02
E
e  1 2
 1  2p 0
2


(11)
Величина e  p, E0  называется эксцентриситетом орбиты.
Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении M 0 . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина e  p, E0  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:
1  2p
E0
 0,

E0  
т.е.

  Uef f
2p
min
(12)
Полная механическая энергия E может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений r0 и v0 :
v02  p02 
E  E0 
 

2
r0 2 r0
(13)
Если энергия частицы не отрицательна ( E  0 ), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:
e  E0  0  1  2p
3
E
1

(14)
Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при E  0 уравнение Uef f  r   E имеет только один положительный корень:
r1  E  0  rmin 
p
1 e
(15)
Из формулы (15) видно, что при E  0 rmin  p / 2 . Т.о., в этом случае имеется только одна
точка поворота и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля:
rmin  r   .
Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна: E   E  0 . В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том
случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию
E 

;
2p  M 0 
 E  0
(16)
E

(17)
В этом случае эксцентриситет орбиты
e E  0  1  2p
меньше единицы и изменяется в пределах:
0  e E  0  1
Это означает, что при E  0 уравнение Uef f  r   E имеет два корня: r1  rmin и r2  rmax :
rmin  E  0 
p
1 e
и
rmax  E  0 
p
1 e
(18)
Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля
p
p
r 
1 e
1 e
(19)
Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если
e  1 то орбита сильно вытянута, т.к. rmin  p / 2 , а rmax   . Наоборот, если e  0 , то
и rmin  p и rmax  p . Если энергия частицы определяется формулой
E0  E  
4

2p E
 
(20)
   r  E   p E  . Следовательно, частица все время находится на одном и

то rmin E


max
том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса
 
p E  r0
(21)
Здесь r0 - начальное расстояние частицы от центра поля при t  0 .
Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии E0 движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра r0 . Теперь
проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.
5