Графический метод решения алгебраических задач

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И
ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Калинин Евгений, 7 «А»,
МБОУ гимназия 80
АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Графический метод решения математических и физических
задач является дополнением и углублением изученных в
курсе алгебры методов решения задач, одним из подходов
к реализации принципа наглядности, который облегчает их
понимание и решение.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Повышение познавательного интереса к науке математике,
изучение графических методов решения различных задач
и приобретение навыков их решения.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
Уравнения, системы двух уравнений, текстовые задачи,
сводящиеся к решению графическим методом.
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
сравнительный анализ.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ
Графические методы решения задач значительно упрощают
решение, а также позволяют переводить алгебраическое
условие задачи на геометрический язык графиков.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
График функции у = f (х) - это
множество всех точек
плоскости, координаты х, у
которых удовлетворяют
уравнению у = f (х).
Нахождение значения функции
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Прямая линия - график
линейной функции
y= kx+m
y= kx+m, k<0 и m>0
y= kx+m, k>0 и m>0
y=m
y= kx, m=0
y= kx+m, k>0 и m<0
y= kx+m, k<0 и m<0
x=a
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
• Парабола - график
y=ax2+bx+c
квадратичной функции вида
f(x)=ax2+bx+c .
• Координаты вершины
параболы:
x0=-b/2a, y0=-D/4a , D=b2-4aс.
• Прямая x0 =-b/2a является
осью симметрии графика;
• a<0 ветви параболы вниз;
• a>0 ветви параболы вверх.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С МОДУЛЕМ
Модуль функции у=|f(x)|.
• 1.Строим у=f(x).
• 2. Точки графика, лежащие
График функции y= |x+1|
выше оси абсцисс,
оставляем без изменения.
• 3.Точки графика, лежащие
под осью абсцисс,
отражаем симметрично оси
абсцисс.
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
1. ax2+bx+c=0;
2. ax2= - bx – c;
3. y1=ax2 (парабола);
y2= - bx – c (прямая);
4. абсциссы точек пересечения.
Пример 1.
Решить графически уравнение
x2-2x-3=0.
Решение.
x2= 2x +3;
y1=x2; y2= 2x + 3;
абсциссы точек пересечения:
x1=-1; x2=3.
Ответ:x1=-1; x2=3.
Решение уравнения x2-2x-3=0
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
Пример 2.
Решить графически
уравнение |x - 3| = 2.
Решение.
у1 = |х - 3|;
у2 = 2;
Точки пересечения
графиков: (1; 2) и (5; 2).
Ответ:x1=1; x2=5.
Решение уравнения |x – 3| = 2
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
Пример 3.
Решить графически уравнение
|x – 1| +2x-5=0.
Решение.
|x – 1| =5-2x;
у1 = |х - 1|;
у2= 5-2x;
Точка пересечения графиков:
(2; 1).
Ответ:x=2.
Решение уравнения |x – 1| +2x-5=0
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Пример 4.
Решить систему уравнений.
Решение.
x
0
2
y=2x-3
-3
1
x
0
2
y=x+1
1
3
Точка пересечения графиков:
А (4; 5).
Ответ: (4; 5).
Решение системы уравнений
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
• арифметический;
• алгебраический;
• графический.
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
• позволяет наглядно представить ситуацию задачи;
• позволяет заменить алгебраическое решение задачи
чисто геометрическим.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
С ОДНОВРЕМЕННЫМ ВЫХОДОМ
Задача 1.
Отец выехал из села в город на автобусе,
одновременно навстречу ему из города в село на
велосипеде выехал сын. Между городом и селом
расстояние 300 км. На каком расстоянии от села и
через какое время произойдет их встреча, если
скорость автобуса 60 км/ч, а велосипеда 15 км/ч?
Решение.
Уравнение движения автобуса: S=v1t=60t
t, ч
0
2
Прямая 1 S, км
0
120
Уравнение движения велосипедиста:
S=300-v2t=300-15t.
t, ч
0
4
Прямая 2 S, км
300
240
Ответ: 4 часа; 240 км.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
С ВЫХОДОМ В РАЗНОЕ ВРЕМЯ
Задача 2.
От пункта А до пункта D 90 км. Между
ними на трассе в 40 км от пункта А
расположены пункт B и пункт С в 25 км
от D. Из пункта В в направлении D
вышел пешеход со скоростью 4 км/ч.
Через 1 ч 45 минут после выхода
пешехода из пункта С в пункт В выехал
велосипедист и доехал до пункта В за 1
ч 15 минут. Через 15 минут после
выезда велосипедиста из пункта D
выехала легковая машина со скоростью
80 км/ч. Известно, все они встретились
в одном месте на трассе. Через какое
время и на каком расстоянии от пункта
А произошла встреча?
S, км
D 90
80
70
C
60
50
B
40
30
20
10
A
0
1
2
3
4
t, час
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
С ВЫХОДОМ В РАЗНОЕ ВРЕМЯ
Решение.
• Линия движения 1 пешехода.
Начало его движения В (0;40). С учетом
скорости движения 4 км/ч, за 5 часов
пешеход пройдет путь S=vt=45=20 км.
Тогда координаты второй точки (5; 60).
• Линия движения 2 велосипедиста.
Начало движение в точке (1 ¾; 65), так как
выехал через 1 ч 45 мин. (1 ¾ ч) после
выхода пешехода. Ехал 1 ч 15 мин. ( 1¼ ч) и
за это время доехал до пункта В. Время
движения составило 1 ¾ + 1¼ =3 ч, значит
его линия движения проходит через точку с
координатами (3; 40).
• Линия движения 3 легковой машины.
Начало движения в точке с координатами
(2; 90), так как она выехала через 15 мин.
(¼ ч) после велосипедиста из пункта D.
Эта линия должна пройти через точку с
координатами (3; 10). За час машина
пройдет путь в 80 км: S=vt=801=80 км и
она направилась в сторону пункта А
(2+1=3 ч; 90 – 80= 10 км).
• Точка встречи Е (2,5; 50).
Ответ: 50 км; 2,5 ч.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ»
Задача 3.
Из города со скоростью 5 км/ч вышел Ваня. Спустя 3
часа в том же направлении из этого же города выехал
Петя на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Через
какое время Петя догонит Ваню?
Решение.
Уравнение движения Вани: S=v1t=5t . А (0; 0)–
начало пути.
t, ч
0
2
Прямая 1 S, км
0
10
Время пути Пети: t=S/v2 + 3 (ч), тогда S=v2(t-3)=
=10(t-3). В (3; 0)– начало пути.
Прямая 2 t, ч
3
6
S, км
С (6; 30) – место встречи.
Ответ: 6 часов.
0
30
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ»
Задача 4.
Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии 90 м
друг от друга, одновременно в одном направлении
начали движение два тела. Тело, движущееся из точки А,
имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки B, скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит
второе? Какое перемещение совершит каждое тело?
Решение.
Уравнение движения 1: S=v1t=5t . А (0; 0)– начало пути.
t, ч
0
20
Прямая 1 S, км
0
100
Уравнение движения 2: S=v2t+90=2t +90. В (0; 90)–
начало пути.
Прямая 2 t, ч
0
20
S, км
90
130
С (30; 150) – место встречи. t=30 c; S1= 150 м;
S2=150-90=60 м.
Ответ: t=30 c; S1= 150 м; S2=60 м.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
С УЧЕТОМ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ
РЕКИ
Задача 5.
Катер проходит по течению реки 34 км за то же время,
что и 26 км против течения. Собственная скорость
катера равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.
Решение.
1- движение лодки по течению: О(0; 0), А(t; 34).
2- движение лодки против течения: О(0; 0), В(t; 26).
3- собственное движение лодки: О(0; 0), С(t; 30), где С
– середина отрезка АВ - (34-26)/2.
Путь лодки за 1 час: S=vt=151=15 км. Вертикальное
расстояние между линиями 3 и 2, 3 и 1 составляет 2 км
за 1 час.
Ответ: 2 км/ч.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА РАБОТУ»
Задача 6.
Бригада
каменщиков
может
справиться с определенной работой
за 8 недель. Через 3 недели после
начала работы ей стала помогать
другая бригада, которая может
справиться с этой работой за 12
недель. За какое время бригады
закончат работу?
С
Решение.
Точка O1 – объем работы. Проведем горизонталь через точку O1.
График работы первой бригады ОА:
О (0; 0), А (8; О1).
График работы второй бригады ВС:
В(3; О1) (начало работы позже на 3 недели), С (15; 0) (вторая бригада закончит
работу через 12 недель, 3+12=15 недель).
Точка пересечения графиков М: t= 6 недель.
Ответ: 6 недель.
ЗАДАЧИ НА НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
•
Рис.1
Рис.2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Время решения уравнений и
систем уравнений
Время решения текстовых задач
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• научился
переводить алгебраическое условие задачи на
геометрический язык графиков, позволяющий оптимизировать
процесс решения математических и физических задач;
• благодаря применению графического метода можно сократить
сроки, в течение которых ученик научится решать различные
задачи. В то же время умение графически решать задачу – это
важные технические навыки;
• графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос
такой задачи, которую учащиеся ещё не могут решить
арифметическим способом.
«Метод решения хорош, если с самого начала мы
можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что,
следуя этому методу, мы достигнем цели».
Г. Лейбниц