Калеганова М.В. Признаки делимости.

Признаки делимости
натуральных чисел
Автор : Калеганова Марина Валерьевна,
учитель математики
АОУ школы №1»
Г.Долгопрудного Московской области
2015
Меню
Делимость чисел по
последним цифрам
Другие признаки
делимости
Составные
признаки делимости
Признаки делимости чисел
по последним цифрам числа
На 2
На 10
На 4
На 25
На 5
На 8
Другие признаки делимости
На 3
На 13
На 7
На 17
На 9
На 19
На 11
На 23
Составные признаки делимости
На 6
На 16
На 12
На 18
На 22
На 14
На 20
На 24
На 15
На 21
Признак делимости на 2
• Число делится без остатка на 2, если его
запись оканчивается четной цифрой.
• Например,
• 25986 делится без остатка на 2,
потому что число оканчивается
четной цифрой 6.
Доказательство
• Для работы с отдельными цифрами в
числе удобно ввести следующую запись
числа: anan − 1...a2a1, где a1 — последняя
цифра, a2 — предпоследняя и т. д.
• Доказательство признака делимости
на 2.
anan − 1...a2a1 = anan − 1...a20 + a1 = anan −
1...a2·5·2 + a1.
Так что оно делится на 2 тогда и только
тогда, когда на 2 делится его последняя
цифра.
Признак делимости на 4
• Число делится без остатка на 4, если две
последние его цифры, образуют число,
делящееся на 4.
• Например,
• 259896 делится без остатка на 4,
потому что число 96 делится без
остатка на 4.
Доказательство
• Для остальных целых a модуль числа a есть
число положительное, и его можно
представить как a1·100 + a0
• Произведение a1·100 всегда делится на 4.
• Если число a делится на 4, то и модуль
числа a делится на 4, тогда из
равенства следует делимость на 4 числа a0.
Этим доказана необходимость.
• С другой стороны из делимости a0 на 4 и
равенства следует делимость
на 4 модуля a, откуда следует делимость
на 4 и самого числа a. Этим доказана
достаточность.
Признак делимости на 5
• Число делится без остатка на 5, если его
запись оканчивается цифрой 5 или
цифрой 0.
• Например,
• 25980 и 25985 делится без
остатка на 5.
Доказательство
• Любое целое число можно представить в
виде: a=a1·10+a0
В
равенстве a=a1·10+a0 произведение a1·10
делится на 5 . Если a0 делится на 5 (что
возможно, если a0=0 или a0=5), то по
указанному свойству делимости
на 5 делится и число a. Этим доказана
достаточность. С другой стороны,
если a делится на 5, то по указанному
свойству делимости и a0 делится на 5. Так
доказана необходимость.
Признак делимости на 8
• Число делится без остатка на 8, если три
последние его цифры, образуют число,
делящееся на 8.
• Например,
• 2598896 делится без остатка на 8,
потому что число 896 делится без
остатка на 8.
Доказательство
• Пусть a целое число, запись которого состоит из четырех,
пяти или большего количества знаков. Модуль числа a – есть
число натуральное, поэтому мы его можем представить в
виде a1·1000+a0
• Докажем необходимость. Пусть a делится на 8, покажем, что
число, составленное из трех последних цифр в записи
числа a, делится на 8. То есть, покажем, что a0 делится на 8.
• Так как a делится на 8, то модуль a тоже делится на 8. Тогда,
учитывая, что в равенстве произведение a1·1000 делится
на 8, из второго свойства делимости заключаем,
что a0 делится на8. Так доказана необходимость.
• Переходим к доказательству достаточности. Пусть a0 делится
на 8, покажем, что в этом случае a делится на 8.
• Так как в равенстве произведение a1·1 000 делится
на 8 и a0 делится на 8, то модуль a делится на 8, а
следовательно, и само число a. Этим доказана
достаточность и весь признак делимости на 8.
Признак делимости на 10
• Число делится без остатка на 10, если его
запись оканчивается цифрой 0.
• Например,
• 25980 делится без остатка на 10.
Доказательство
• Для работы с отдельными цифрами в
числе удобно ввести следующую запись
числа: anan − 1...a2a1, где a1 — последняя
цифра, a2 — предпоследняя и т. д.
• Доказательство признака делимости на
10.
anan − 1...a2a1 = anan − 1...a20 + a1 = anan − 1...a2 ·
10 + a1.
Таким образом, число имеет тот же
остаток при делении на 10, что и его
последняя цифра, так что оно делится на
10 тогда и только тогда, когда его
последняя цифра — 0.
Признак делимости на 25
• Число делится без остатка на 25, если две
последние его цифры, образуют число,
делящееся на 25.
• Например,
• 259875 делится без остатка на 25,
потому что число 75 делится без
остатка на 25.
Доказательство
• Любое целое число можно представить в
виде: a=a1·100+a0
В
равенстве a=a1·100+a0 произведение
a1·100 делится на 25. Если a0 делится
на 25, то по указанному свойству
делимости, на 25 делится и число a. Этим
доказана достаточность. С другой
стороны, если a делится на 25, то по
указанному свойству делимости
и a0 делится на 25. Так доказана
необходимость.
Признак делимости на 3
• Число делится без остатка на 3, если
сумма цифр этого числа делится без
остатка на 3.
• Например,
• 214560 делится без остатка на 3,
потому что сумма цифр этого числа,
равная 18, делится без остатка на три.
Доказательство
• Для работы с отдельными цифрами в
числе удобно ввести следующую запись
числа: anan − 1...a2a1, где a1 — последняя
цифра, a2 — предпоследняя и т. д.
• Доказательство признака делимости
на 3.
anan − 1...a2a1 = a1 + 10·a2 + 100·a3 + ... =
(сумма цифр числа) + 3·(3·a2 + 33·a3 + ...).
Так что оно делится на 3 тогда и только
тогда, когда на 3 делится его сумма
цифр.
Признак делимости на 7
• Число делится без остатка на 7, если результат
вычитания удвоенной последней цифры из
этого числа без последней цифры делится без
остатка на 7.
• Например,
• 36 4 делится без остатка на 7, потому что
при вычитании удвоенной последней цифры,
т.е. восьми, из числа, составленного из цифр
исходного числа без последней цифры, т.е. числа
36, равно 28. 28 делится на 7 без остатка.
Доказательство
• Пусть a — произвольное целое число, причем его последняя
цифра равна v, а число, которое получается после отбрасывания
последней цифры, равно u:
• a = u · 10 + v.
• Число a делится нацело на 7 тогда и только тогда, когда делится
нацело на 7 число
• b = u − 2·v.
• Иными словами, «проверочное число» получается, если из числа
с отброшенной последней цифрой вычесть удвоенную
последнюю цифру. Например, число 112 делится на 7, поскольку
11 − 2·2 = 7 делится на 7.
• Для доказательства этого утверждения мы рассмотрим не
разность a − b, а сумму 2a + b. Такая подмена совершенно
законна, потому что числа a и 2a одновременно либо делятся
нацело на 7, либо не делятся (в разложении того и другого на
простые множители семерка либо присутствует, либо нет). То же
самое можно сказать и про числа b и −b.
• 2·a + b = 20·u + 2·v + u − 2·v = 21·u = 3·7·u.
• Таким образом, мы получили число, кратное семи.
Доказательство завершено.
Признак делимости на 9
• Число делится без остатка на 9, если
сумма цифр этого числа делится без
остатка на 9.
• Например,
• 214560 делится без остатка на 9,
потому что сумма цифр этого числа,
равная 18, делится без остатка на 9.
Доказательство
• Для работы с отдельными цифрами в
числе удобно ввести следующую запись
числа: anan − 1...a2a1, где a1 — последняя
цифра, a2 — предпоследняя и т. д.
• Доказательство признака делимости
на 9.
anan − 1...a2a1 = a1 + 10·a2 + 100·a3 + ... =
(сумма цифр числа) + 9·(1·a2 + 11·a3 + ...).
Так что оно делится на 9 тогда и только
тогда, когда на 9 делится его сумма
цифр.
Признак делимости на 11
• Число делится без остатка на 11, если сумма
цифр этого числа с чередующимися знаками
делится без остатка на 11 (сумма может
получится числом отрицательным).
• Например,
• 2 7 1 4 36 делится без остатка на 11,
потому что сумма цифр этого числа с
чередующимися знаками равна 11.
Одиннадцать кратно одиннадцати.
Доказательство
• Прежде чем приводить доказательство, заметим, что
следующие числа делятся нацело на 11:
• 99 = 11 ·9;
• 1001 = 990 + 11 = 11 · 90 + 11 = 11 · 91;
• 9999 = 11 · 909;
• 100001 = 99990 + 11 = 11 · 9090 + 11 = 11 · 9091;
• 999999 = 11 · 90909;
• и так далее.
• Запишем, как мы это уже делали раньше, число a в виде:
• a = ... + u·100000 + v·10000 + w·1000 + x·100 + y·10 + z.
• Тогда «проверочное число» равно
• b = ... − u + v − w + x − y + z.
• Вычитая b из a, получаем:
• a−b=
• ... + u·100001 + v·9999 + w·1001 + x·99 + y·11 =
• 11 · (9091·u + 909·v + 91·x + 9·y).
Признак делимости на 13
• Число делится без остатка на 13, если число
десятков, сложенное с учетверенным числом
единиц, кратно 13.
• Например,
• 8 4 5 делится без остатка на 13, потому
что число десятков (45), сложенное с
учетверенным числом единиц (4 х 5), делится
на 13.
Доказательство
• Если разбить десятичную запись числа справа
налево на группы по 3 цифры и взять группы с
нечетными номерами со знаком минус, а с
четными со знаком плюс и значение выражения
делится на 7 или на 13, то и число делится на 7 или
на 13.
• Доказательство:
• Заметим, что 7•11•13=1001.
• Но 1000=1001-1,
• 1000 000= 1001•999+1,
• 1 000 000 000 =1001•999 001-1 и т.д. Значит, если
разбить десятичную запись числа справа налево на
группы по 3 цифры и взять группы с нечетными
номерами со знаком минус, а с четными со знаком
плюс и значение выражения делится на 7 или на
13, то и число делится на 7 или на 13.
Признак делимости на 17
• Число делится без остатка на 17, если
число десятков, сложенное с увеличенным
в 12 раз числом единиц делится на 12.
• Например,
• 1 4 7 9 делится без остатка на 17,
потому что число десятков (147),
сложенное с увеличенным в 12 раз числом
единиц (12 х 9), делится на 17.
Доказательство
• Так как 17-число простое, 10 –
натуральное, не делящееся на 17, то число
при делении на 17 дает остаток 1.
• Проверим и число . Оно при делении на
17 дает недостачу в 1. Значит, число
делится на 17, если разбить его
десятичную запись справа налево на
группы по 8 цифры в каждой и взять
группы с нечетными номерами со знаком
минус, с нечетными номерами со знаком
плюс, и значение выражения будет
делиться на 17, то и число делится на 17.
Признак делимости на 19
• Число делится без остатка на 19, если
число десятков, сложенное с увеличенным
в 2 раза числом единиц делится на 19.
• Например,
• 6 4 6 делится без остатка на 19,
потому что число десятков (64),
сложенное с удвоенным числом единиц
(6 х 2), делится на 19.
Доказательство
• Для любого натурального x верно
равенство x = x1 + 10x2, где x1 – число
единиц, x2 – число десятков этого числа.
Пусть y = x2 + 2x1 (то есть y – число
десятков, сложенное с удвоенным
числом единиц). Тогда 10y – x = 19x1 ≡ 0
(mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod
19) тогда и только тогда, когда 10y ≡ 0
(mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19).
Утверждение доказано.
Признак делимости на 23
• Число делится без остатка на 23, если
число его сотен, сложенное с утроенным
числом его единиц делится на 23.
• Например,
• 4 1 4 делится без остатка на 23,
потому что число сотен (4), сложенное с
утроенным числом единиц (14 х 3),
делится на 23.
Составные признаки делимости
• Число делится без остатка на 6, если оно делится
одновременно на 2 и на 3.
• Число делится без остатка на 12, если оно делится
одновременно на 3 и на 4.
• Число делится без остатка на 14, если оно делится
одновременно на 2 и на 7.
• Число делится без остатка на 15, если оно делится
одновременно на 3 и на 5.
• Число делится без остатка на 16, если оно делится
одновременно на 2 и на 8.
• Число делится без остатка на 18, если оно делится
одновременно на 2 и на 9.
• Число делится без остатка на 20, если оно делится
одновременно на 4 и на 5.
• Число делится без остатка на 21, если оно делится
одновременно на 3 и на 7.
• Число делится без остатка на 22, если оно делится
одновременно на 2 и на 11.
• Число делится без остатка на 24, если оно делится
одновременно на 3 и на 8.