1. Комплексные числа

§1. Комплексные числа
п.1. Основные определения.
Комплексное число имеет вид:
z  x  iy, x, y  R, i  1,
2
i — мнимая единица.
C
— множество всех комплексных чисел.
x  Re z
y  Im z
— действительная часть
— мнимая часть
z1  z2  Re z1  Re z2 , Im z1  Im z2
z  x  iy
— число, комплексно сопряженное к
z  x  iy
Re z  0  z   z
Im z  0  z  z
z   z
zz
Re z 
2
zz
Im z 
2i
Действия над комплексными числами
Сложение
x1  iy1   x2  iy2   x1  x2   i y1  y2 
Умножение
x1  iy1   x2  iy2   x1x2  ix1 y2  ix2 y1  i y1 y2 
  x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  x2 y1 
2
Деление
x1  iy1  x1  iy1  x2  iy2  x1x2  y1 y2
y1 x2  x1 y2

 2
i 2
2
2



x2  iy2
x2  iy2 x2  iy2
x2  y2
x2  y2
п.2. Геометрическая интерпретация.
M ( x, y )
y
O
x
M ( x, y )  x  iy
OM ( x, y )  x  iy
Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая
z  x  iy
Тригонометрическая
M ( x, y )
y
r
O
x  r cos
y  r sin 
z  r (cos  i sin  )

x
y
r

x
O
Число r называется модулем числа
и обозначается r | z | .
r x y
2
2
z  x  iy
Угол между положительным направлением
действительной оси и вектором z называется
аргументом и обозначается   Arg z.
x
cos 
r
y
sin  
r
Значение аргумента, заключенное в границах
      (0    2 ),
называют главным значением аргумента, и
обозначают arg z.
Arg z  arg z  2k , k  Z
Замечание 1.
| z1 || z2 |,
z1  z2  
arg z1  arg z2
Показательная
i
Формула Эйлера: e  cos   i sin  ,
z  r (cos   i sin  )  r e
i
 R
п.3. Свойства модуля и аргумента.
1)
| z1  z2 || z1 |  | z2 |
Arg ( z1  z2 )  Arg z1  Arg z2
Доказательство.
z1  r1 (cos 1  i sin 1 )
z2  r2 (cos  2  i sin  2 )
z1  z2  r1  r2 (cos 1  i sin 1 )(cos  2  i sin  2 ) 
 r1  r2 cos(1   2 )  i sin( 1   2 ) 
Замечание 2.
| z1  z2  ...  zn || z1 |  | z2 | ... | zn |
Arg ( z1  z2  ...  zn )  Arg z1  Arg z2  ...  Arg zn
Замечание 3.
Пусть
Тогда
z1  z2  ...  zn .
| z || z |
n
Arg ( z )  n  Arg z
n
n
r (cos   i sin  ) 
n
 r (cos n  i sin n ), n  N
— формула Муавра
n
Замечание 4.
Пусть n  N, n  2.
z w
z w
n
n
z   (cos  i sin  ) w  r (cos  i sin  )
n
 (cos n  i sin n )  r (cos   i sin  )
n
n
 r
 r
  2k
n    2k , k  Z  
, k Z
n
n
  2k
  2k 

r (cos  i sin  )  r  cos
 i sin

n
n 

n
k  0,1,...,n  1
2)
z1 | z1 |

z2 | z2 |
Доказательство.
Свойство 1)
 z1 
Arg    Arg z1  Arg z2
 z2 
z1
z1   z2
z2
z1
| z1 |  | z2 |
z2
z1
Arg z1  Arg  Arg z2
z2
3)
| z1 |  | z2 |  z1  z2 | z1 |  | z2 |, z1 , z2  C
4) Модуль разности z2  z1 равен расстоянию
между z1 и z2 .
y
z1
z1  z2
| z1  z2 |
| z1 |
| z2 |
O
| z1  z2 |
z2
x
| z2  z1 |
z2  z1
п.4. Последовательности комплексных
чисел.
 

zn n1
zn  xn  iyn , n  1,2,...
Число z называется пределом
последовательности zn , если
  0 N  N ( ) : n  N
zn  z  
lim zn  z
n 
Теорема 1.
zn  xn  iyn , n  1,2,...
lim zn  z
n 
lim xn  x
n 
lim yn  y
n 
Замечание 5.
| x || x  iy || x |  | y |
z
y
O
z  x  iy
x
| y || x  iy || x |  | y |
Доказательство. Необходимость.
lim zn  z
Пусть
n 
  0 N  N ( ) : n  N zn  z  
( xn  x)  i ( yn  y )  
xn  x  
n  N
Замечание 5
yn  y  
lim xn  x
n 
lim yn  y
n 
Достаточность.
Пусть lim x
n
n 
x
lim yn  y
n 
N1  N1 ( ) : n  N1 xn  x  
  0
N 2  N 2 ( ) : n  N 2 yn  y  
N  max{ N1 , N 2 } n  N
| zn  z | ( xn  x)  i ( yn  y ) | xn  x |  | yn  y | 2
Замечание 5
lim zn  z
n 
п.5. Бесконечность и
стереографическая проекция.

€  C  {}
C
Последовательность zn  называется
сходящейся к  , если
M  0 N  N (M ) : n  N
zn  M
lim zn  
n 
 -окрестностью конечной точки z0
называется внутренность круга с центром в
точке z0 и радиусом  :
 ( z0 ,  )  | z  z0 |  
 -окрестностью точки z   называется
внешность круга с центром в начале
координат и радиусом 1/  :
Если
1

 (,  )  | z | 


1   2 , то
( z1 , 1 )  ( z2 ,  2 ), z  .
Точка z называется пределом
последовательности zn , если для   0 все
точки последовательности, начиная с
некоторого номера, принадлежат  окрестности точки z.
z
N
M'
y
O
x
M
N — полюс сферы;
M ( x, y )  ;
M ' — стереографическая проекция точки M;
N — стереографическая проекция бесконечно
удаленной точки.
Установленное таким образом взаимно
однозначное соответствие между
€ называется
множествами точек сферы S и C
стереографической проекцией.
Сфера S называется комплексной числовой
сферой или сферой Римана.