Закон сохранения момента импульса

Физика
Динамика (продолжение)
1
3.3. Соударения тел
Определения:
Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел,
при котором взаимодействие длится очень короткое время.
Центральный удар – такой, если тела до удара движутся
вдоль прямой, проходящей через их центры масс.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в
результате которого в обоих взаимодействующих телах не
остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой
обладали тела до удара, после удара снова превращается в
кинетическую энергию.
Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в
результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как
единое целое.
2
Для абсолютно упругого удара справедливы законы:
Закон сохранения импульса:
m1V1  m2v 2  m1v 1'  m2v 2' ;
Закон сохранения механической энергии:
m1V12 m2V22 m1V1' 2 m2V2' 2



;
2
2
2
2
3
Решая совместно два уравнения, получим выражения для
скорости тел после удара:
(m1  m2 )v 1  2m2v 2
V 
;
m1  m2
'
1
(m2  m1 )v 2  2m1v 1
V 
.
m1  m2
'
2
4
Абсолютно неупругий удар
Закон сохранения импульса:
m1V1  m2v 2  (m1  m2 )v ;
m1V1  m2v 2
v
.
m1  m2
В частном случае, если массы шаров равны (т1=т2), то
(V1  V2 )
v
.
2
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то
m1V1
v
.
m1  m2
5
Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то
6
4. Механика твердого тела
4.1. Момент инерции
Моментом инерции тела относительно оси называется
произведение массы тела на квадраты расстояния до оси:
J i  mi ri2
Моментом инерции системы (тела) относительно
данной оси называется физическая величина, равная сумме
произведений масс материальных точек системы на квадраты их
расстояний до рассматриваемой оси:
n
J   mi ri2
i 1
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к
интегралу по объему тела:
m
J   r 2dm
0
7
Теорема Штейнера:
J относительно произвольной оси равен
моменту его инерции Jc относительно параллельной оси,
«момент инерции тела
проходящей через центр масс С тела, сложенному с
произведением массы т тела на квадрат расстояния а между
осями»
J  JC  ma 2 .
Тело
Положение оси
вращения
Полый
тонкостенный
цилиндр радиуса R
Ось симметрии
Сплошной цилиндр
или диск радиуса R
Ось симметрии
Стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит
через его середину
Шар радиуса R
Ось проходит через
центр шара
Момент инерции
J  mR 2
J
1
mR 2
2
J
1
ml 2
12
2
J  mR 2
5
8
Пример.
Момент инерции длинного стержня, у которого ось симметрии
проходит через конец стержня:
2
1
1 2 1 2
l
2
J  JC  m   
ml  ml  ml
12
4
3
2
4.2. Кинетическая энергия вращения
Кинетическая энергия вращающегося
тела равна сумме кинетических энергий
его элементарных объемов:
2
mi 2 2 2 n
J

2
z
Tвр  
ri 
m
r


i i
2
2 i 1
2
i 1
n
9
Момент инерции — мера инертности тела при вращательном
движении.
В случае плоского движения тела, например цилиндра,
скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия
движения складывается из энергии поступательного движения и
энергии вращения:
mv
JC 
T

2
2
2
C
2
10
4.3. Момент силы. Основное уравнение динамики
вращательного движения твердого тела
Моментом силы F относительно неподвижной точки О
называется физическая величина, определяемая векторным
произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки
О
в
точку А приложения силы, на силу F.

 
M  [r , F ]
Модуль момента силы:
M  Fr sin   Fl .
11
Моментом силы F
относительно неподвижной оси Z
называется скалярная величина Mz, равную проекции на эту
M момента силы, определенного относительно
произвольной точки O данной оси Z .
ось вектора
Значение момента не зависит от выбора точки
O на оси Z.
12
Основной закон и основное уравнение динамики
вращательного движения твердого тела.
Работа при вращении тела:
dA  Mz d.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической
энергии:
 J z 2 
dK  d 
  Jz  d 
 2 
Отсюда:
Mz d  J z  d,
d
d
Mz
 Jz 
dt
dt
- уравнение динамики вращательного
движения твердого тела относительно
неподвижной оси.
13
Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей
через центр масс, то имеет место векторное равенство:


M  J ,
– основной закон динамики вращательного движения.
J — главный момент инерции тела.
Главный момент инерции – момент инерции
относительно главной оси, проходящий через центр масс.
14
4.4. Момент импульса и закон сохранения момента импульса
Моментом импульса
материальной точки A относительно
неподвижной оси O называется
физическая величина, определяемая
векторным произведением:

 


L  [ r , p ]  [ r , mv ]
15
Моментом импульса относительно неподвижной оси z
называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось
вектора момента импульса, определенного относительно
произвольной точки
О данной оси.
Скорость vi и импульс mivi каждой отдельной точки A тела
перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом
вектора mivi .
Li z  mi v i ri .
16
Момент импульса твердого тела относительно оси
есть сумма моментов импульса отдельных частиц (точек):
n
n
i 1
i 1
Lz   mi ri2    mi ri2  J z , Lz  J z .
Продифференцируем записанное уравнение по времени:
dLz
d
 Jz
 J z   Mz ,
dt
dt
dLz
 Mz .
dt
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной оси:
«производная момента импульса твердого тела относительно
оси равна моменту сил относительно той же оси».
17
Закон сохранения момента импульса:
«момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не
изменяется с течением времени».
L  const
Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон
природы.
Он связан со свойством симметрии пространства — его
изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов
относительно выбора направления осей координат системы
отсчета.
Пространство называется изотропным, если
поворот системы отсчета на произвольный угол не приведет к
изменению результатов измерений.
18
Соотношение основных параметров
Поступательное движение
Вращательное движение
Масса
Момент
инерции
m
Скорость
dr
v
dt
Ускорение
dv
a
dt
Сила
Импульс
Основное
уравнение
динамики
F
Угловая
скорость
Угловое
ускорение
Момент силы
J
d

dt

d
dt
M
p
Момент
импульса
L
F  ma
Основное
уравнение
динамики
M  J
19
4.5. Деформация твердого тела
Деформация – это изменение формы и размеров
твердых тел после прекращения действия внешних сил.
Деформация называется упругой, если после
прекращения действия внешних сил тело принимает
первоначальные размеры и форму.
Деформации, называются пластическими , если
они сохраняются после прекращения действия внешних сил.
Деформации бывают: растяжения, сжатия или сдвига.
20
Основные параметры деформация твердого тела
Напряжение – сила,
действующая на единицу площади
поперечного сечения :
Относительная деформация –
количественная мера, характеризующая
степень деформации, испытываемой
телом:
Относительное поперечное
растяжение (сжатие):
F
 .
S
l

.
l
d
 
.
d
'
d — диаметр стержня.
21
 и ' всегда имеют разные знаки
(при растяжении l положительно, a d отрицательно,
при сжатии l отрицательно, a d положительно).
Деформации
Взаимосвязь
 и ':
  .
'
 — коэффициент Пуассона, зависит от свойств материала.
Симеон Пуассон — французский
ученый (1781—1840) , автор
трудов по теории упругости.
22
4.6. Закон Гука
Для малых деформаций относительное
удлинение  и напряжение  прямо
пропорциональны друг другу:
Коэффициент пропорциональности
Е
  E .
называется модулем
Юнга. Модуль Юнга Е определяется напряжением, вызывающим
относительное удлинение, равное единице.
Относительное
удлинение:
l 
F

 
.
l
E ES
Томас Юнг (1773-1829) — английский
физик, механик, врач, астроном.
23
Закон Гука:
«удлинение стержня при упругой деформации пропорционально
действующей на стержень силе»:
ES
F
l  k l ,
l
k—коэффициент упругости.
Роберт Гук (1635-1703) – английский
естествоиспытатель, учёныйэнциклопедист. Один из отцов
экспериментальной физики.
24