2_04

2.4. Вигнеровская кристаллизация
Теоретические и экспериментальные
исследования дробного эффекта Холла.
Фазовые переходы кристалл Вигнера –
жидкость Лафлина
Кристалл Вигнера
.
 Современные исследования дробного квантового эффекта Холла
направлены еще на одно интересное явление  реализацию
регулярной решетки из носителей заряда (в двумерии  плоской
треугольной, гексагональной решетки). В начале 90-х годов все
более доказательно стали звучать слова о реализации вблизи FQHE
этого нового состояния двумерного электронного газа  так
называемого кристалла Вигнера
8
y /a
4
QUANTUM
0
-4
2
-8
-8
-4
0
4
x /a
8
Кристалл Вигнера
.
 К настоящему моменту надежно экспериментально установлено,
что около факторов заполнения μ=1/3 и 1/5 имеет место
активационный закон магнетосопротивления ρXX
 При усилении магнитного поля магнитная длина lH – масштаб
пространственной локализации волновой функции электрона в
присутствии магнитного поля – уменьшается
 Для треугольной плоской решетки
(a / lH ) 2  4 / 3
 Такая структура – диэлектрик, с характерной энергией активации Eg
~ 1-5К, как и наблюдается на эксперименте
 Если учесть, что в GaAs ε~13, то масштаб энергии активации <~ 10-3
эВ (в магнитном поле ~ 1-5 Тл)
3
Численное моделирование
.
 Рассмотрим
двумерный
взаимодействием
Ферми-газ
с
кулоновским
 В сильном магнитном поле имеется хорошее квантовое число 
угловой момент m в первой зоне Ландау. Удобно полный
ортонормированный базис выбрать по соответствующим
одночастичным состояниям электрона в этой зоне
 Кулоновское взаимодействие между частицами в этом базисе
H
 Для
4

m1 ,m2 ,m3 ,m4
Vm
1
,m2 ,m3 ,m4


am am am am
1
2
3
4
гамильтониана выполняется закон сохранения углового
момента m1 + m2 = m3 + m4
 Упростим задачу и расположим исходно частицы в классическую
треугольную решетку с узлами, помещенными на низшую нулевую
орбиталь (m=0)
 Меняя период, можно в данной схеме менять фактор заполнения в
соответствии с приложенным магнитным полем
Численное моделирование
.
 Для полного перебора всех возможных состояний системы мы




5
должны расположить N электронов на m орбиталях всеми
возможными способами с учетом тождественности
Далее рассчитываются все матричные элементы перехода из одного
состояния в другие и строится гамильтонова матрица. Задача
сводится к диагонализации этой матрицы
Получающиеся при этом собственные числа и вектора есть искомый
энергетический спектр и волновые функции, разложенные по
исходному базису |m>
Размер гамильтоновой матрицы сильно растет с увеличением m и N
Уже первой координационной сферы достаточно, чтобы
фиксировать переход от корреляций в кристалле, локализованных
на масштабе периода решетки, к более длинноволновым
корреляциям в жидкости Лафлина
Численное моделирование
.
 Для 7 электронов выбиралась 31 орбиталь (m=0-30), их число
подбиралось из условия, что числа заполнения <nm>,
определяющие вероятность нахождения электрона в состоянии с
орбитальным моментом m, не изменяются (с относительной
точностью 0.001) при увеличении числа орбит, и следующие
состояния (с m >30) не заполнены с этой же точностью
 Размер гамильтоновой матрицы в этом случае 2629575 x 2629575
 Итоговый гамильтониан:


(MF) 

H
Vm , m , m , m am am am am   Vm am am
m1, m2 , m3, m4
1
2
3
4
1
2
 В
3
4
m
общем случае стабилизирующее среднее поле внешних
электронов несимметрично и вызывает переходы с изменением
момента у внутренних электронов на
m  6n
6
Численное моделирование
.
 Наиболее адекватной величиной, позволяющей выявить различие
между “твердым” и “жидким” состояниями в рассматриваемой
системе, является парная корреляционная функция, т.е. вероятность
нахождения электрона в точке z1 при условии нахождения второго
электрона в точке z2 :
ga(θ) = <a|Ψ+(z1) Ψ +(z2) Ψ(z2) Ψ(z1)|a>, |z1|= |z2| = a
  arg(z1 )  arg(z 2 )
 В твердом состоянии, обладающим дальним порядком, следует
7
ожидать три хорошо определенные осцилляции g(θ) , в то время как
в жидкой фазе, имеющей только ближний порядок, эти колебания
должны быть сильно подавлены
 В
любом
случае
резкое
(скачкообразное)
изменение
корреляционной функции основного состояния gG(θ) в зависимости
от фактора заполнения m может служить критерием для перехода
«жидкость – твердое тело»
Численное моделирование
.
8
Численное моделирование
.
 Относительная амплитуда осцилляций последнего (третьего) пика
как функция фактора заполнения для основного состояния
 В
диапазоне 0.294<μ<0.34 осцилляции подавлены, что
свидетельствует о жидкости Лафлина, а вне этого диапазона
реализуется кристалл Вигнера
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1

0.0
0.24
9
0.28
0.32
0.36
Резюме
.
 Результаты расчетов поддерживают экспериментальные данные и
свидетельствуют о возможности вигнеровской кристаллизации
вблизи факторов заполнения μ=1/3, 1/5. Вигнеровский кристалл
является основным состоянием при μ < 0.3, кроме диапазона
0.294 < μ < 0.34 (включая μ = 1/3), где лафлиновская жидкость
существенно присутствует в структуре основного состояния. В
принципе, на практике может наблюдаться целая цепочка фазовых
переходов “вигнеровский кристалл”  ”лафлиновская жидкость” 
”вигнеровский кристалл”... при изменении магнитного поля и
прохождении факторов заполнения через значения, где точно
реализуются ступеньки FQHE
10