Магистральные решения в задаче оптимизации стратегии

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ
Многокомпонентное
моделирование развития региона
(Республика Бурятия)
Ачитуев С.А.
imi@bsu.ru
Введение
Проблема охраны оз. Байкал как объекта мирового наследия
волнует человечество не первый год. Но решать такую
проблему без учета прилегающих территорий невозможно.
Одной из таких территорий является Республика Бурятия.
В оз. Байкал содержится 20 % мирового запаса пресной
воды, которая представляет значительный дефицит во многих
странах. 83 % территории Бурятии покрыто таежными лесами.
Недра богаты полезными и миниральными ресурсами: 48 %
российского запаса цинка, 37 % - молибдена, 27 % - вольфрама,
24 % - свинца.
2
Рассматривается задача оптимизации стратегии развития
для многокомпонентной социо-эколого-экономической модели с
инновационным блоком, ориентированной на практическое
моделирование конкретного региона. При идеализирующих
допущениях, отражающих специфику модели, находится
магистральное решение, независящее непосредственно от
граничных условий, которое далее используется как
эффективное начальное приближение в многоэтапной
процедуре оптимизации с последовательным уточнением
модели и в сценарных вычислительных экспериментах для
оценки влияния различных реальных факторов.
3
Описание социо-эколого-экономической
модели региона
(1)
c  ( E  A) y  Bu  Az z  B zu z  Ad d  B d u d ,
(2)
0  y  Г (k , L),
(3)
dr
 N (r  r * )  Cy  Du  D zu z  C z z ,
dt
(4)
(5)
0  z  Г z (k z ),
0  d  Г (k d ) ,
dk
dk z
dk d
z
z z
 u   k,
 u  k ,
 ud   d k d ,
dt
dt
dt
d
 ([d ]  H inv  H diff )(   ),
 (0)  0 ,
dt
4
y, z, d - соответственно выпуск продукции, темп активного
природовосстановления и темп активных инноваций;
c - конечное потребление;
k, Г(k, L), u,  - соответственно основные фонды, мощность, инвестиции и
темп амортизации;
L - трудовые ресурсы;
A, Az , Ad - соответственно коэффициенты прямых затрат в производственном,
природо-восстановительном и инновационном секторах;
B, B z , B d
- коэффициенты фондообразующих затрат в соответствующих
секторах;
r - индекс состояния природной среды и ресурсов;
r* - заданная функция (опорная), например получаемая из статистического
прогноза;
N, C — матрицы коэффициентов самовосстановления и прямого воздействия
экономики на природную подсистему;
 - инновационный индекс;
 - значение, соответствующее мировому уровню в данный момент времени;
H - коэффициент, отражающий влияние инвестиций, связанных с расширением
производства.
5
Постановка задачи оптимального управления
Поставим задачу оптимального управления, в которой
переменные y, u, z и d играют роли управлений, а в качестве критерия
оптимальности
рассматривается
максимум
накопленного
регионального дохода за вычетом штрафа s(r) за экологические
нарушения на заданном временном интервале при заданных начальных
условиях:
tF
(6)
П   ( pc  s(r ))e  t dt , k (0)  k0 , r (0)  r0 ,  (0)  0 ,
0
где p - прогнозируемая цена (ценовая поправка),
дисконтирования.

- коэффициент
6
Общий подход к поиску магистрального решения
Применяя специальный метод преобразования к производной
задаче, что сводится к замене связи (2) – (4), и (7) – (8) относительно
одной
относительно
скалярной
переменной,
имеем
П , r, k , 
соответствующую предельную систему, которая характеризует поведение
исходной системы при больших управляющих воздействий.
Подставим вместо c в (6) выражение (1) и перейдем к стандартной
форме, заменив интегральное выражение (6) дифференциальной связью
(7)
dП
 p((1  A) y  Bu  Az z  Ad d )  s (r ) ,
dt
П (0)  0 .
Попутно заменим новой переменной, упростив тем самым связь (5):
(8)
d
 (d  H  ),  (0)  H ln k0  ln( ) .
dt
В такой форме задача состоит в максимизации того же
функционала П при выполнении дифференциальных связей (3) - (4), (7),
(8), соответствующих начальных условий и перечисленных ограничений,
т.е. по существу к элементарным конечномерным операциям поиска
максимума. В результате получается магистраль – фиксированная

траектория   (k (t ), r (t ),  (t )) .
7
Аналитические и численные решения
Для нахождения конкретных решений необходимо задать
зависимости A(r,  ), C ( ), Г(k, L), s(r) и набор числовых исходных
данных.
Зададим A(r, ) и С( ) опосредованно с использованием весового
коэффициента a:
A  (1  a )b(r ) A0 , C  (1  (1  a) )C0 , 0  a  1
b(r )  1  b1 (r  r )  b2 (r  r ) 2 , b1 , b2  0 ,
где A0 и C0 - «невозмущенные значения» при отсутствии инноваций и
экологических нарушений.
Г (k , L)  mk  L 1 (это известная функция КоббаПоложим
Дугласа), L=const (при этом Г (k , L)  mk  ),  = 0.5, s - коэффициент
штрафа, p = 1.
Обозначим к  1  (1  a )b(r ) A0  (1  (1  a) ) Az C0 .
8
Приходим к задаче максимизации выражения
H  tF

 1 e
П F  t F (к1qk  B k )  B(k  k0 )   qe
 Ad k0 (   0  H  t F ) 
H
z
2
z
tF ( A N (r  r )  s(r  r ) )  A (r  r0 ) ,
относительно переменных k, r и  .
Максимум по этим переменным достигается в стационарной
точке, определяемой условиями:
П П П


 0.
k
r

Отсюда имеем магистральные решения:
 qt F к1 11

k  max (k0 ,(
) ),
(t F   1) B
Az (tF N  1)

r  max (r0 , r 
),
2tF s
Ad k 0

  
0.5 .
 t F qk
9
Процедура моделирования включает следующие
этапы:
• Формирование набора показателей состояния;
• Разработка методик идентификации параметров модели
(элементов матриц взаимодействия) и их реализация;
• Разработка сценариев развития и их представление в
терминах модели;
• сравнительный анализ сценариев и выбор наилучшего в
качестве рекомендуемой стратегии развития.
10
Задачи идентификации агрегированной модели
В последние годы существенно усилилась роль и
значимость индивидуального предпринимательства в
экономике и социальной сфере региона. Показатели
деятельности
отдельных
индивидуальных
предпринимателей соизмеримы не только с малыми
предприятиями – юридическими лицами, но и с крупными
и средними предприятиями.
К примеру, в видовой структуре инвестиций в основной
капитал (без субъектов малого предпринимательства) доля
инвестиций, направленных на приобретение, монтаж и
установку машин, оборудования и транспортных средств,
снизилась с 48.7 % в 2006 г. до 42.1 % в 2007 г. С учетом
капитала малого бизнеса эти показатели в последние годы
неуклонно растут.
Сегодня в малом предпринимательстве
Бурятии
работает более 25 тыс. предпринимателей: в торговле –
47.4 %, 17.6 % - на транспорте, 9.7 % - в промышленности.
11
При формировании матрицы А прямых затрат (удельных
сырьевых) необходимо учесть существенную роль субъектов
малого предпринимательства. Тогда, в отличие от
традиционной матрицы А, в уравнениях межотраслевого
баланса модифицированная матрица будет представлена в
виде:
A = A1 + А2,
где А1 – это традиционная матрица затрат, А2 – это матрица
затрат с учетом субъектов малого предпринимательства.
Всякая ли матрица А является матрицей прямых затрат
(материалоемкость)?
Разработана компьютерная программа (на языке С++) по
оценке матрицы на продуктивность, запас продуктивности и
числа Фробениуса-Перрона.
Произведен анализ матриц в системе моделей «Регион»
(разработанной в 1981 г. в коллективе В.И. Гурмана), в
исследованиях П.Ж. Хандуева и Б.Д. Ширапова (2000 г.), В.А.
Батурина и Е.Н. Шевчук (1990-е гг).
12
Задачи практического приложения
1. Задача расчета эффекта использования вторичного ресурса
Остро стоит проблема утилизации твердых отходов. В
настоящее время применяются устаревшие экологически
вредные технологии, предполагающие сжигание отходов.
Имеется большое число неорганизованных свалок, в том
числе по берегам рек и озер, вдоль дорог и оврагов.
Разрабатывается проект (бизнес-плана) по утилизации
твердых бытовых отходов в муниципальном образовании
Прибайкальского района Бурятии, в туристско-рекреационной
зоне «Байкал».
13
14
15
2. Задача оптимального управления
инвестициями частного капитала
Цель моделирования состоит в поиске оптимальной стратегии
распределения выпуска продукции, при котором максимизируется
общий объем потребления.
Создается программа «Регион Бурятия» для расчета оперативных и
стратегических решений по устойчивому развитию республики.
16
Заключение
•
Таким образом, разработана многоэтапная процедура
приближенной оптимизации стратегии развития региона на
многокомпонентной социо-эколого-экономической модели с
инновационным блоком, основанная на поиске магистрального
решения с учетом большого числа линейных управлений в
описаний модели. Это решение может рассматриваться как
эффективное начальное приближение для последующего
итерационного уточнения известными локальными методами
улучшения с учетом разнообразных реальных факторов и
ограничений.
•
Наибольшие
трудности
вызывает
информационное
обеспечение относительно новых блоков модели – социального
и инновационного.
17