Матрицы

Матрицы
Элементы теории
матриц.
Основные определения.
 a11

 a 21
A
...


 a n1
a
a
12
22
...
a
n2


...
2m 
... ... 

... a nm 
...
a
a
1m
Таблицу, состоящую из n строк и m
столбцов называют матрицей.
Опр.: nm – называется размерностью матрицы.
n – кол-во строк, m - кол-во столбцов.
 
A  aij
или
nm
a , i  1; n, j  1; m
ij
Опр.: Если m=n матрица называется
квадратной. Число n называется порядком
матрицы.
Опр.: Если mn матрицу называют
прямоугольной.
Опр.: Матрица, у которой все элементы нули,
называется нулевой матрицей и обозначается
О.
Опр.: Матрица с элементами
1, если i  j;
aij  0, если i  j,
при n=m, называется единичной матрицей и
обозначается Е.
Е2 – две строчки, два столбца –матрица второго
порядка.
1 0 
Е 2     единичная.
 0 1
 
 2 0 0


А3   0 6 0   диагональная.


0 0 9


 1 0 0


В3   2 4 0   треугольная.


 850




А  а1 а2 ... аm  матрица  строка.
 а1 
 
 а2 
А     матрица  столбец.
...
 
а 
 n
Матрица размера 11 – число.
Опр.: Элементы с одинаковыми индексами
квадратной матрицы
образуют главную
диагональ матрицы.
 a11

 a 21
A
...


 a n1
a
a
12
22
...
a
n2


...
2m 
... ... 

... a nm 
...
a
a
1m
Опр.: Две матрицы одинаковой размерности
называются равными, если равны элементы
на одинаковых местах.
Действия над матрицами.
Опр.: Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В называется матрица С той
же размерности, элементы которой находятся
по формуле:
А+В=С или cij  aij  bij
Опр.: Чтобы матрицу умножить на число, надо
все элементы матрицы умножить на это
число.
  А    аij nm
Опр.: Разностью двух матриц одинаковой
размерности А и В называется матрица той же
размерности с элементами: cij  aij  bij ; С=А-В.
Опр.: Умножение матриц: АnpВpm=Сnm.
0

0

0  6

5   0
0   0  6  0  0 0  0  0  0   0



0   0  6  5  0 0  0  5  0   0


0
0
0 
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Например:
Свойства операций над
матрицами.
1) А+В = В+А;
2) (А+В) = А+ В, где  - число;
3) АВ  ВА;
4) (А+В) С = АС + ВС;
5) А+О = А;
6) АО = О;
7) АЕ = А, ЕА = А;
8) АТ – транспонированная, если строки в матрице
А заменены столбцами с тем же номером;
(АТ)Т = А; (A  B)Т = BТ  AТ
2
1
 2 3


Т
, то А  
.
Если А  
1 4 
3 4




1 
Т
Если А  1 2 , то А   .
 2
 
9) Для квадратных матриц вычисляют
определители матриц.
Определитель: det A – детерминант, А либо
А.
det (AB) = det A  det B
Нахождение обратной
матрицы.
Опр.: Матрица, обозначаемая А-1, называется
обратной к матрице А, если выполнены
условия: А 1  А  А  А 1  Е ,
где Е – единичная матрица того же порядка,
что и заданная.
Вывод 1: Обратная матрица существует для
квадратных матриц.
Вывод 2: А-1 имеет ту же размерность что и
данная.
Вывод 3: по свойству 9:
det (A А-1) = det Е;
det A  det А-1 =1;
1
det A 
.
det A
1
Опр.:
Квадратная
матрица,
у
которой
определитель отличен от нуля, т.е. А 0,
называется невырожденной. В противном случае
называется вырожденной.
Теорема: Если у матрицы А
существует обратная, то она
единственная.
Теорема: Чтобы матрица имела
обратную необходимо и достаточно,
чтобы она была квадратная и
невырожденная.
Обратная матрица находится
по формуле:

 11
1  12
1
A 

det A  ...

 1n
A A
A A
21
22
...
A A
2n
...
...
...
...

n1 

n2

... 

nn 
A
A
A
где А11, …, Аnn – алгебраические дополнения, а матрица
составленная из алгебраических дополнений к
~
элементам матрицы А, называется присоединенной А
к матрице А.
~
В А алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким
же номером.
Линейная зависимость и линейная
независимость столбцов и строк.
Ранг матрицы.
Пусть 1, 2 и m – числа, тогда выражение
1  а1   2  а2  ...  m  аm
называется линейной комбинацией столбцов.
Опр.: Столбцы называются линейно-независимыми,
когда линейная комбинация равна 0 при всех а = 0.
Опр.: Столбцы называются линейно-зависимыми , если
линейная комбинация равна 0, не при всех а = 0.
Теорема: Столбцы матрицы можно
представить в виде линейной комбинации
столбцов матрицы Е.
Теорема: Система столбцов линейнозависима, когда хотя бы один столбец
является линейной комбинацией остальных.
Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу
линейно – независимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых
строк равно максимальному числу линейнонезависимых столбцов.
Опр.: Рангом матрицы называется порядок
базисного минора. Если матрица нулевая ее
ранг равен 0.
Теорема: Ранг матрицы равен числу
ненулевых строк (столбцов),
полученных в результате применения
элементарных преобразований,
которые позволяют выделить строчки и
столбцы являющиеся линейными
комбинациями других строк (столбцов), т.
е. выделить базисный минор.
Опр.: Минором порядка r называется
определитель, составленный из
элементов матрицы расположенных на r
строках и любых r столбцах
матрицы.
Теорема: Если в матрице все миноры
порядка r+1 равны 0, то и все
миноры порядка r+2 равны 0.
Теорема о базисном миноре:
В произвольной матрице каждый столбец
является линейной комбинацией столбцов,
входящих в базисный
минор.
Обратная теорема:
Если матрица А квадратная и
вырожденная, то хотя бы один из
столбцов есть линейная комбинация
остальных столбцов, а одна из строк линейная комбинация остальных строк.
Элементарные
преобразования матрицы.
Опр.: Элементарными преобразованиями
матрицы называются
следующие преобразования:
1) Умножение строки на число не равное 0;
2) Перестановка строк местами.
3) Прибавление одной строки к другой,
умноженной на число;
4) Те же действия со столбцами.
Теорема: Элементарные преобразования
не меняют ранг матрицы.
Опр.: Матрицы, полученные с помощью
элементарных преобразований
называются эквивалентными (~).