Способы решения квадратных уравнений

Способы решения
квадратных уравнений
4
7
Уравнение вида ax²+bx+c=0 называется
квадратным, где х – переменная, a, b, c
– некоторые числа (коэффициенты), a≠0.
a – первый коэффициент (старший
коэффициент),
b – второй коэффициент,
c – свободный член.
Примеры. 1. -4x²+5x-2=0;
2. 3x²+0,5x=0;
3. -x²-2=0;
4. 4/7x²=0.
Алгоритм решения квадратных
уравнений
1. Выполнить тождественные преобразования:
- перенесение выражения из правой части
в левую, меняя знаки;
- деление обеих частей уравнения на одно
и то
же число;
- применение тождеств сокращенного
умножения, приведение подобных членов;
-
запись уравнения в стандартном виде.
2. Решить квадратное уравнение, записанное в
стандартном
•
виде, применяя один из способов.
Решение неполных квадратных
уравнений.
Определение. Если в квадратном
уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из
коэффициентов, кроме старшего a, равен
нулю, то уравнение называют
неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают
трех видов:
ax² +c=0 (где b=0 и c≠0),
5x² -4=0;
ax² + bx =0 (где c=0 и b≠0),-2x² + 3x =0;
ax²=0 (где b=0 и c=0),
10x²=0.
I.
Уравнения вида ax² +c=0
(a≠0).
ax² +c=0,
aх²=- c,
х²=-c/a .
-Если -c/a <0, то корней нет.
Пример. х²=-7.
-Если -c/a =0, то х=0.
Пример. х²=0.
-Если -c/a >0, то х=±√c/a .
Пример. х²=9, х=3, х=-3.
II. Уравнение вида ax²=0 (a≠0).
ax²=0,
x²=0,
х=0.
Пример. Решим уравнение
14x²=0.
Решение.
14x²=0,
x²=0,
x=0.
Ответ: 0.
III. Уравнения вида ax² + bx =0.
ax² + bx =0,
х(ах + b) =0,
х=0 или ах + b=0
x =- b/a.
Пример. Решим уравнение 6x² + 12x =0.
Решение. 6x² + 12x =0,
х(6x + 12)=0,
х=0 или 6x=-12,
х=-2.
Ответ: 0; -2.
Решение полных
квадратных уравнений.
Определение. Если все
коэффициенты квадратного
уравнения ax²+bx+c=0 отличны
от нуля, то оно называется
полным.
I. Способ выделения квадрата
двучлена.
ax²+bx+c=0, полный квадрат двучлена.
ax²+bx+c=(mx+n)²=0,
mx+n=0,
х=-n/m .
Пример 1.
Решим уравнение 4x²-12x+9=0.
Решение.
4x²-12x+9=0,
(2x-3)²=0,
2x-3=0,
х=1,5.
Ответ: 1,5.
Пример 2. Решим уравнение
x²-6x+5=0.
Решение. Преобразуем уравнение так,
чтобы в левой части
получился квадрат двучлена:
(x²-2 • 3•x+9)-9+5=0,
(x-3)²=4,
x-3=2 или x-3=-2,
x=5
x=1.
Ответ: 1; 5
Пример 3. Решим уравнение
3x²-10x-8=0.
Решение. Разделим обе части
уравнения на старший коэффициент3:
x²-10/3x-8/3=0.
Выделим квадрат двучлена:
(x²-2 • x•5/3+25/9)-25/9-8/3=0,
(x-5/3)²=49/9,
x-5/3=7/3 или x-5/3=-7/3,
х=4
х =-2/3 .
Ответ: -2/3; 4.
II. Разложение левой части
уравнения на множители.
Пример. Решим уравнение x²-2x-3=0.
Решение. Разложим левую часть
уравнения на множители
способом группировки
x²-2x-3= x²-3x+х-3=(x²-3x)+(х-3)=(х+1)(х-3).
Тогда (х+1)(х-3)=0,
х=3 или х=-1.
Ответ:-1; 3.
III. Решение квадратных уравнений по
формуле.
- Вычислим дискриминант по формуле: D=b²-4ac.
Сравним дискриминант с нулем.
- Если D>0, то квадратное уравнение имеет
2 различных корня:
х=(-b-√D)/2a и
х= (-b+√D)/2a.
- Если D=0, то квадратное уравнение
имеет единственный
корень (или два одинаковых корня):
х=-b/2a.
- Если a и c с противоположными знаками,
то уравнение всегда имеет действительные корни.
- Если D<0, то квадратное уравнение не имеет
корней.
Пример 1. Решим уравнение 3x²-5x-2=0.
Решение. 3x²-5x-2=0,
a=3, b=-5, c=-2,
D=b²-4ac,
D=(-5)²-4•3• (-2)=25+24=49.
D>0, уравнение имеет 2 корня,
х= (-b±√D)/2a.
х1=(-(-5)-√49)/(2•3) = (5-7)/6 = -2/6 = -1/3,
х2= (-(-5)+√49)/(2•3) = (5+7)/6 = 12/6 = 2.
Ответ: -1/3; 2.
Пример 2. Решим уравнение
4x²-12x+9=0.
Решение. 4x²-12x+9=0,
a=4, b=-12, c=9,
D=b²-4ac,
D=(-12)²-4•4• 9=144-144=0.
D=0, уравнение имеет 1 корень,
х=-b/2a,
х=-(-12)/(2 • 4) = 12/8 = 3/2 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Пример 3. Решим уравнение
2x²+7x+8=0.
Решение.
2x²+7x+8=0,
a=2, b=7, c=8,
D=b²-4ac,
D=7²-4•2• 8=49-64=-15.
D<0, уравнение не имеет
корней.
Ответ: корней нет.
IV. Решение уравнений с использованием
теоремы Виета (прямой и обратной)
Приведенное квадратное уравнение имеет вид
x²+px+q=0, где a=1.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая
при a=1имеет вид:
если х1 и х2 – корни уравнения, то
х1+х2=-p и
х1•х2=q.
-Если q >0, то корни имеют одинаковые знаки(p<0положительные, p >0- отрицательные).
-Если q <0, то корни различны по знаку(p >0больший корень по модулю отрицательный, p<0больший по модулю корень положителен).
Пример. Найдем подбором корни уравнения x²-x12=0.
Решение. x²-x-12=0,
a=1, p=-1, q=-12,
D=b²-4ac,
D=(-1)²-4•1•(-12)=1+49=49.
D>0, квадратное уравнение имеет 2
различных корня.
По теореме Виета х1+х2=1 и
Ответ: 4; -3.
х1•х2=-12.
V. Свойства коэффициентов квадратного
уравнения.
А. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0,
имеющем корни, a+b+c=0 (сумма коэффициентов
уравнения равна 0), то корни равны х1=1 и х2=c/a
Пример. Решим уравнение 3x²-5x+2=0.
Решение. 3x²-5x+2=0,
a=3, b=-5, c=2,
D=b²-4ac,
D=(-5)²-4•3• 2=25-24=1.
D>0, уравнение имеет корни.
a+b+c=3-5+2=0, значит, х1=1 и х2=2/3.
Проверка: Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
x²-5/3x+2/3=0, p=-5/3, q=2/3
х1+х2 = 1+2/3 = 5/3 и х1•х2 = 1•2/3 = 2/3.
Ответ: 2/3; 1.
Б. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0,
имеющем корни, a-b+c=0, то корни равны
х1=-1 и х2=-c/a.
Пример. Решим уравнение 7x²+3х-4=0.
Решение. 7x²+3х-4=0,
a=7, b=3, c=-4,
D=b²-4ac,
D=3²-4•7•(-4)=9+112=121.
D>0,уравнение имеет корни.
a+b+c=7-3-4=0, значит, х1=-1, х2=-4/7.
Проверка: x²+3/7x-4/7=0, p=3/7, q=-4/7.
х1+х2=-1+4/7=-3/7 и х1•х2=-1•4/7=-4/7.
Ответ: -1; 4/7.
В. Если в уравнении ax²+2kx+c=0 коэффициент
b=2k– четное число, дискриминант и корни можно
вычислить по формулам: D=k²-ac,
х1,2=(-k±√D)/a или х1,2=-p/2±√(-p/2)²q.
Пример3. Решим уравнение x²-14x+8=0.
Решение. x²-14x+8=0,
a=3, k=-7, c=8,
D=k²-ac,
D=(-7)²-3•8=49-24=25.
D>0, уравнение имеет 2 корня.
х1,2=(-k±√D)/a,
х1=(-(-7)-√25)/3 = (7-5)/3 = 2/3,
х2= (-(-7)+√25)/3 = (7+5)/3 = 4.
Ответ: 2/3; 4.
Г. Решение уравнений способом «переброски».
Умножим обе части квадратного уравнения
ax²+bx+c=0 на a≠0.
Получим уравнение вида a²x²+bax+ca=0. Пусть ax=у; тогда
у²- bу+ ca=0. Его корни х1=y1/2 и х2=y2/a.
При этом способе коэффициент a умножается на свободный
член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ удобно
применить, когда можно легко найти корни уравнения по
теореме Виета и дискриминант есть точный квадрат.
Пример. Решим уравнение 2x²-11x+15=0.
Решение. «Перебросим» коэффициент a=2 к свободному члену
у²-11у+30=0.
Согласно теореме Виета
у1=5,
у2= 6 ,
х1=5/2=2,5; х2=6/2=3.
Ответ: 2,5; 3.
Тренажер
Попробуй решить!
Вариант 3.
1. 6 + 3 x² = 8x.
Вариант 4.
1. 3 x² - x – 24.
2. - x² = 0,4.
2. 4 x² = - 4x – 1.
3. - 2 x² + 3x = 0.
3. – 25 = 10x + x².
4. 8x + 1 = - 7 x²
4. 17x = 12 +6 x².
5. 1 + x² = - 2x.
5. - 3 x² = 4x.
6. - x² = 9 – 6x.
6. 3 x² - 7 = 4x.
7. 7x = 6 x² - 5.
7. 4 = 20x - 25 x².
8. 13x – 14 - 3x² = 0.
8. 2x = x² +1.
9. 12 = 11x + 5x².
9. 21x + 9 x² + 10 = 0.
10. – 8x - 16x² = 1.
10. 36 = - 4 x².
11. 25 + 4x² - 20x = 0.
11. 5 + 4x + x² =0.
12. 2 x² - 1 = 0.
12. 0,5 x² - 12 = 0.
Вариант 5.
1. 9x = - 2 x² - 10.
Вариант 6.
1. 2x – 3 = x².
2. – 6 x² - x = 0.
2. x - 4 x² = - 5
3. 11 + x² + 6x = 0.
3. 2 + 3 x² = 4x.
4. 4 + x² = 4x.
4. – 24x = 9 + 16 x².
5. x² - 1,21 = 0.
5. 5x = 2 x².
6. 3 x² = - 8 +11x.
6. - x² + 8 = 0.
7. 10x + 25 = - x².
7. 14x - x² = 49.
8. 3x – 10 x² = - 4.
8. 6x – 1 = 9 x².
9. 2 x² = 27 – 3x.
9. 6 x² + 2 = - 7x.
10. 2x – 3 = 2 x².
10. 19x – 14 – 6 x² = 0.
11. 1 = 10x – 25 x².
11. 9x + 9 x² = 4.
12. 9 x² + 4 + 12x = 0.
12. x² + 4 = - 4x.
Вариант 7.
1. 12x + 7 x² = - 5.
Вариант 8.
1. - 6x - x² = 9.
2. – 2x – 1 = 4 x².
2. 2 + 12 x² = 11x.
3. 17x + 10 x² = 0.
3. – 9 - 4 x² + 12x = 0.
4. 5 – 11x = - 2 x².
4. 4 + 9 x² = 0.
5. 9 x² - 24x = - 16.
5. 10x + 24 x² = - 1.
6. 6 x² - 4 = 0.
6. x² + 2,3 = 0.
7. -x² = 36 + 12x.
7. – 15 = - 3 x².
8. 4x - x² = 7.
8. - x² = 2 + 2x.
9. -4 x² - 25 = 20x.
9. 4 + 3 x² = - 7x.
10. 3 - 3 x² = 8x.
10. 14 – x – 3 x² = 0.
11. 7x + 12 - 12 x² = 0.
11. x² + 25 = 10x.
12. 9 = 6x - x².
12. – 8 + 18x - 5 x².
Вариант 9.
1. 4 – 4x + x² = 0.
Вариант 10.
1. 3 x² - x = 0.
2. 6x – 2 x² = 5.
2. 10 – 7x - 3 x² = 0.
3. 16 + x² = - 8x.
3. – 1 = x² - 2x.
4. 0,9 - x² = 0.
4. 24x – 9 = 16 x².
5. – 2x = 7 x² - 5.
5. 6 x² = 15 – x.
6. -x² = 8 + 4x.
6. – 1,2 = - 0,02 x².
7. 9x - x² = 0.
7. - x² = 16.
8. – x + 10 x² = 2.
8. 4x = - x² - 4.
9. 12x + 4 x² = - 9.
9. 12 + 3 x² = 20x.
10. 7x - 2 x² = 6.
10. 9 x² = - 25 – 30x.
11. 40x - 25 x² = 16.
11. - 3 x² - 6x = 4.
12. 19x + 2 x² +45 = 0.
12. 10x = - 8 x² - 3.
Вариант 1.
1. 9x + 8x² = - 1.
Вариант 2.
1. 2 – 9x² = 0.
2. 3 + 3x² = 4x.
2. – 15 – 2x² = - 11x.
3. 25 – 10x + x² = 0.
3. – 0,36 - x² = 0.
4. 4x – 4x² = 1.
4. 16x + 64 = - x².
5. 3x² - 4 = 0.
5. 13x + 3x² = - 14
6. 9x² + 8 = 18x.
6. 7x² - 3x = 0.
7. 2x = - x² - 1.
7. 5 = 2x - x².
8. 20x + 25x² = - 4.
8. 16 + x² = 8x.
9. – 1 – 4x² = 0.
9. 1 – 4 x² + 3x = 0.
10. 0,3x - x² = 0.
10. –12x + 4 = -9 x².
11. 12 – 17x – 5x² = 0.
11. 10 x² - 2 = x.
12. 7x – 4x² = - 15
12. 25 x² + 40x +16 = 0