ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ С Ч
advertisement
Строительная механика. Часть III ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ ДИНАМИКА СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МАСС Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс 1 n n = nc = nq + nD Для С помощью неточечных шарнирной масс системы nнт.м.– для плоской nq = 3n – системы нт.м. для прост- ранственной системы nнт.м.– количество неточечных масс 2nм – для плоской системы nD = 3nм – для простран- а) без учёта продольных деформаций стержней nD = 5 n=7 nq = 2 nD = ? ственной системы nм– количество сосредоточенных масс б) с учётом продольных деформаций стержней nD = 8 n = 10 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Свободное движение Предпосылки и рабочие гипотезы – ( в рамках линейной теории динамических расчётов ): 1. Рассматриваются линейно деформируемые системы. 2. Массы сосредоточенные, элементы системы невесомые. 3. Сопротивление внешней среды и внутреннее трение в системе учитываются по модели вязкого трения. 4. Исследуется движение системы относительно её исходного состояния, в качестве которого принимается состояние равновесия, вызванное статическими воздействиями. 5. Определению подлежат динамические составляющие напряжённо-деформированного состояния движущейся системы ( перемещения, усилия, напряжения, деформации ). Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Свободное движение F0 Исходное ( условно Начальное недеформированное возмущение ) состояние Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Свободное движение F0 Начальное возмущение Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) FD,1 (t)J (t) Свободное движение 1 Jk (t) J2 (t) y1 (t) yk (t) По принципу Д’Аламбера FD,k (t) Ji (t) yi (t) Jn (t) Jn-1 FD,n (t)(t) yn (t) yn-1 (t) FD,i (t) В произвольный момент движения На основании принципа суперпозиции: yi ( t ) yiJ ( t ) yiFD ( t ) n n k 1 k 1 yiJ k ( t ) yiFD,k ( t ) От инерционОт сил ных силовых сопротивфакторов J(t) ления FD (t) (t) yiJk ( t ) δ ik J k ( t ) yiFD,k (t ) δ ik FD,k (t ) С учётом внешнего и внутреннего трения ( FD (t) – силы сопротивления ) dik – перемещение в заданной системе по направлению Ji от Jk = 1 (FD,k = 1) Jk = 1 yi ( t ) δ J k ( t ) FD, ( t ) , i 1,n m S ik u kR R Si Sk j,i j,k k 1 δ ik ds , i,k 1, n Cj по S j 1 l j C S j 1 n dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) FD,1 (t)J (t) Свободное движение По принципу Д’Аламбера 1 Jk (t) J2 (t) y1 (t) yk (t) FD,k (t) RJi (t) i (t) yi (t) Jn (t) Jn-1 FD,n (t)(t) yn (t) Ji (t) FD,i (t) FD,i (t) yn-1 (t) В произвольный момент движения (t) С учётом внешнего и внутреннего трения ( FD (t) – силы сопротивления ) Другой способ вывода уравнений: yi ( t ) δ ik J k ( t ) FD,k ( t ) , i 1,n n k 1 dik – перемещение в заданной системе по направлению Ji от Jk = 1 (FD,k = 1) Jk = 1 dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) R1 (t) R2 (t) y1 (t) yk (t) Свободное движение По принципу Д’Аламбера Rk (t) Ji (t) Ri (t) yi (t) Rn (t) Rn-1 (t) yn (t) yn-1 (t) FD,i (t) Ri ( t ) J i ( t ) FD,i ( t ), i 1,n n yi ( t ) yiRk ( t ) В произвольный момент движения k 1 (t) С учётом внешнего и внутреннего трения ( FD (t) – силы сопротивления ) Другой способ вывода уравнений: yi ( t ) δ ik J k ( t ) FD,k ( t ) , i 1,n n k 1 yiRk ( t ) δ ik Rk ( t ) δ ik J k ( t ) FD,k ( t ) dik – перемещение в заданной системе по направлению Ji от R Jkk = 1 (FD,k = 1) R Jk = 1 dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) FD,1 (t)J (t) Свободное движение Jn (t) 1 Jk (t) J2 (t) y1 (t) yk (t) FD,k (t) Ji (t) yi (t) Jn-1 FD,n (t)(t) По закону инерции: yn (t) yn-1 (t) FD,i (t) В произвольный момент движения J k ( t ) mk yk ( t ) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- (t) С учётом внешнего и внутреннего трения ( FD (t) – силы сопротивления ) ворота неточечной массы По модели Фойгта ( вязкого сопротивления ): FD,k ( t ) k f,k y k ( t ) dik – перемещение в заданной системе Дифференциальные уравнения свободного движения системы по направлению Ji от Jk = 1 с конечным числом степеней свободы масс n Jk = 1 ( с учётом вязкого сопротивления ) yi ( t ) nδ ik J k ( t ) FD,k ( t ) , i 1,n k 1 yi (t ) δ ik mk yk (t ) k f,k y k ( t ) , i 1,n k 1 dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) FD,1 (t)J (t) Свободное движение Jn (t) 1 Jk (t) J2 (t) y1 (t) yk (t) FD,k (t) Ji (t) yi (t) Jn-1 FD,n (t)(t) По закону инерции: yn (t) yn-1 (t) FD,i (t) В произвольный момент движения J k ( t ) mk yk ( t ) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- ворота неточечной массы (t) Aij , По из начальных Фойгта 0j – модели Решение системы условий движения n С учетом внешнего и внутреннего трения ( вязкого сопротивления ): дифференциальных β j t w – из дополнительного j ( RD (t) – силы yi ( t ) сопротивления Aij e sin(ω j t) 0 j ) уравнений: FD,(kхарактеристического ( t ) k f,k y k ( t ) ) уравнения j 1 dik – перемещение в заданной системе Дифференциальные уравнения свободного движения системы по направлению Ji от Jk = 1 с конечным числом степеней свободы масс Jk = 1 ( с учётом вязкого сопротивления ) n yi (t ) δ ik mk yk (t ) k f,k y k ( t ) , i 1,n k 1 dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) FD,1 (t)J (t) Свободное движение Частный случай – Jn (t) пренебрежимо малое Jk (t) сопротивление ( kf 0 ) yn (t) 1 J2 (t) FD,k (t) y1 (t) yk (t) Ji (t) yi (t) Jn-1 FD,n (t)(t) По закону инерции: yn-1 (t) FD,i (t) В произвольный момент движения yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- (t) Решение системы дифференциальных уравнений: yii ( t ) J k ( t ) mk yk ( t ) ворота неточечной массы Aij , 0j – из начальных условий движения wj – из дополнительного ( характеристического ) уравнения nn β j t A e sin(ω sin(ω ij ij j t j t0 j ) 0 j ) jj11 dik – Полигармоническое перемещение в заданной системе Дифференциальные уравнения движение свободного движения системы по направлению Ji от Jk = 1 с конечным числом степеней свободы масс Jk = 1 ( с учётом вязкого сопротивления ( без учёта сопротивления ) ) n n t ) δ ( tk),f,k iyk 1, ykk (ytk) yi (t y) mikkm ( t )n, i 1,n i ( ik δ k 1 k 1 dik Направление Ji Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) J1 (t) J2 (t) Свободное движение Частный случай – Jn (t) пренебрежимо малое собственные ( kf 0 ) y (t) колебания Jk (t) сопротивление n Jn-1 (t) По закону инерции: y1 (t) yk (t) yi (t) yn-1 (t) Ji (t) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- В произвольный момент движения ворота неточечной массы (t) Решение системы дифференциальных уравнений: yi ( t ) J k ( t ) mk yk ( t ) Aij , 0j – из начальных условий движения wj – из дополнительного ( характеристического ) уравнения n A sin(ω t ij j 0j ) j 1 Дифференциальные уравнения свободного движения системы с конечным числом степеней свободы масс ( без учёта сопротивления ) Полигармоническое движение yi (t) n yi ( t ) δ ik mk yk ( t ), i 1,n k 1 0 t Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) Свободное движение Частный случай – J1 (t) Jk (t) J2 (t) собственные колебания Jn (t) Jn-1 (t) По закону инерции: yn (t) y1 (t) yk (t) yi (t) Ji (t) В произвольный момент движения Решение системы дифференциальных уравнений: yn-1 (t) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- (t) 2 yyii((tt)) δ ikδm ω yk k( t()t,), i i1,1,nn m jy ik k k k 1k 1 ворота неточечной массы Aij , 0j – из начальных условий движения yi (t ) yi sin(ω j t 0 j ) wj – из дополнительного – по определению собственных yk ( t ) yk sin(ω j t 0 j ) ( характеристического ) колебаний уравнения y (t), y (t) i,k 1,n i k Ускорение: yk ( t ) ω 2j yk sin( ω j t 0 j ) ω 2j yk ( t ) n n J k ( t ) mk yk ( t ) 0 yi yk yi yk t Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) Свободное движение Частный случай – J1 (t) Jk (t) J2 (t) собственные колебания Jn (t) Jn-1 (t) По закону инерции: yn (t) y1 (t) yk (t) Ji (t) yi (t) В произвольный момент движения Решение системы дифференциальных уравнений: yn-1 (t) J k ( t ) mk yk ( t ) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- (t) ворота неточечной массы yi (t ) yi sin(ω j t 0 j ) – по определению собственных yk ( t ) yk sin(ω j t 0 j ) колебаний yi (t), yk(t) i,k 1,n Уравнения движения масс при собственных колебаниях системы с конечным числом n n n k 1 k 1 2 δ m ω yi sinyi (t ) sin ( t ) δ ik k j ikykm(tk)ω, 2j iyk 1,, ni 1,n yi yk 0 yi yk t (t) = wj t + 0j – фаза колебаний При произвольном t sin(t) =0 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) Свободное движение Частный случай – J1 (t) Jk (t) J2 (t) собственные колебания Jn (t) Jn-1 (t) По закону инерции: yn (t) y1 (t) yk (t) Ji (t) yi (t) В произвольный момент движения Решение системы дифференциальных уравнений: (t) yi δ ik mk ω2j yk , i 1,n k 1 J k ( t ) mk yk ( t ) yk(t) – линейное mk – если перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол поворота неточечной массы yi (t ) yi sin(ω j t 0 j ) – по определению собственных yk ( t ) yk sin(ω j t 0 j ) колебаний yi (t), yk(t) i,k 1,n Уравнения собственных колебаний Уравнения движения масс при собственных системы с конечным числом n колебаниях системы с конечным масс числом ( в амплитудах перемещений ) n n yn-1 (t) yi yk 0 yi yk t (t) = wj t + 0j – фаза колебаний При произвольном t sin(t) =0 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 (t) Свободное движение Частный случай – J1 J1 (t) Jk (t) Jk J2 J(t)2 y1 (t) y1 yk (t) собственные колебания Ji (t) Ji yi (t) yi В Амплитудное произвольный момент движения состояние системы (t) Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n ( в амплитудах перемещений масс ) n yi δ ik mk ω2j yk , i 1,n k 1 Jn (t) yn (t) yn Инерционный фактор Jk(t) направлен в ту же сторону, что и перемещение yk(t) Jn-1 (t) По закону инерции: yk2j (ytk)( t ) mkk ω yn-1 (t) J k ( t ) Jmk k(ytk)(t )m mk – если yk(t) – линейное перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол поворота неточечной массы Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Свободное движение y2 Частный случай – собственные колебания J1 J2 Jk y1 Jn Jn-1 yn По закону инерции: yn-1 yk Ji yi Инерционный фактор Jk(t) направлен в ту же сторону, что и перемещение yk(t) Амплитудное состояние системы J k ( t ) mk yk ( t ) mk ω 2j yk ( t ) mk – если yk(t) – линейное перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол поворота неточечной J yi i 2 , i 21, n массы 22 mJi ω ωj yyik;; i,kk11,,nn k m k ω j y k ; J ki m ikω Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n ( в амплитудах перемещений масс ) 2 y1 δ11 m1 ω y1 δ12 m 2 ω 2 y2 δ1k m k ω 2 yk δ1n m n ω 2 yn , y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y , 2 21 собственных 1 1 22 колебаний 2 2 2k k k 2n n n Уравнения системы . . . . . . . числом . . . . . n. . ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .с .конечным (в амплитудах 2перемещений масс ni 1 m1 ω y1 δ i 2 m 2 ω 2 y 2 δ ik m k ω 2 y k δ in m n ω 2 y n , y δ i 2 . . . . . . . . . . . . . .1,.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y δ m ω ik k j. y. k., . .i i yn δkn11 m1 ω 2 y1 δ n 2 m 2 ω 2 y2 δ nk m k ω 2 yk δ nn m n ω 2 yn . Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 Свободное движение Частный случай – собственные колебания J1 J2 Jk y1 Jn Jn-1 yn По закону инерции: yn-1 yk yi Инерционный фактор Jk(t) направлен в ту же сторону, что и перемещение yk(t) Ji Амплитудное состояние системы J k ( t ) mk yk ( t ) mk ω 2j yk ( t ) mk – если yk(t) – линейное перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- J yi i 2 , i 1, n mi ω ворота неточечной массы J k mk ω 2 yk ; k 1,n Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n ( в амплитудах перемещений ) ( в амплитудах инерционных силовыхмасс факторов ) 2 2 2 y1 δ11 m1 ω y1 δ12 m 2 ω y2 δ1k m k ω yk δ1n m n ω 2 yn , y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y , 21 1 1 22 2 2 2k k k 2n n n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y , i1 1 1 i2 2 2 ik k k in n n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yn δ n1 m1 ω 2 y1 δ n 2 m 2 ω 2 y2 δ nk m k ω 2 yk δ nn m n ω 2 yn . Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс y2 Свободное движение Частный случай – собственные колебания J1 J2 Jk y1 Jn Jn-1 yn По закону инерции: yn-1 yk yi Инерционный фактор Jk(t) направлен в ту же сторону, что и перемещение yk(t) Ji Амплитудное состояние системы J k ( t ) mk yk ( t ) mk ω 2j yk ( t ) mk – если yk(t) – линейное перемещение массы mk I m,k – если yk(t) – угол по- J yi i 2 , i 1, n mi ω ворота неточечной массы J k mk ω 2 yk ; k 1,n Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n ( в амплитудах инерционных силовых факторов ) J1 / m1ω2 δ11 J1 δ12 J 2 δ1k J k δ1n J n , J / m ω2 δ J δ J δ J δ J , 2 21 1 22 2 2k k 2n n 2 ................................... J / m ω2 δ J δ J δ J δ J , i i1 1 i2 2 ik k in n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. J n / mnω2 δn1 J1 δn2 J 2 δnk J k δnn J n . Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Частный случай свободного движения – собственные колебания Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n n а) в амплитудах перемещений масс: yi δ ik mk ω2j yk , i 1,n k 1 y1 δ11 m1 ω y1 δ12 m 2 ω y2 δ1k m k ω 2 yk δ1n m n ω 2 yn , y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y , 21 1 1 22 2 2 2k k k 2n n n 2 .............................................. y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y δ m ω 2 y , i1 1 1 i2 2 2 ik k k in n n i .............................................. yn δ n1 m1 ω 2 y1 δ n 2 m 2 ω 2 y2 δ nk m k ω 2 yk δ nn m n ω 2 yn ; n б) в амплитудах инерционных J i / mi ω2 δik J k , i 1, n силовых факторов: 2 2 k 1 J1 / m1ω2 δ11 J1 δ12 J 2 δ1k J k J / m ω2 δ J δ J δ J 2 21 1 22 2 2k k 2 ............................... J / m ω2 δ J δ J δ J i i1 1 i2 2 ik k i ............................... J n / mnω2 δn1 J1 δn2 J 2 δnk J k δ1n J n , δ 2n J n , .... δin J n , .... δnn J n . Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n в амплитудах инерционных силовых факторов ( сил инерции ): i -1 n δik J k δii 1 2 J i δik J k 0 , i 1, n mi ω k 1 k i 1 В матричной 1 J форме: J1 d1n δδ J δ 1 0 , δ δ J δ1i J i d11 d12δ1 J d1i 11 m ω2 1 12 2 k k J 2 d 21 d22 d 2i d 2n 1iin n ii miω2 1 – матрица дина J 1 – вектор d δ J δ J δ J δ2k J k δмической J 0, J2k амплитуд 21 1 2 2i i d 2n n 22 m ω податd d d i 1 i 2 ii in . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . .инерционсистемы .ных . . .сил . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . .ливости . . . . . .... по направлениям J n 1 dn1 d n2 d ni dnn инерционных сил δJ 0 δi1 J1 δi 2 J 2 δii 2 J i δ ik J k m ω i δin J n 0, ..................................................... δn1 J1 δn2 J 2 В матричной форме: J1 δJ 0 δni J i δnk J k δnn 1 2 J n 0 . mnω d11 d12 d1i d1n J 2 d 21 d22 d 2i d 2n – матрица динаJ – вектор d мической подат d i1 d i 2 dii d in J k амплитуд ливости системы инерционпо направлениям d n1 d n2 d ni dnn инерционных J n ных сил сил Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n в амплитудах инерционных силовых факторов ( сил инерции ): i -1 n δik J k δii 1 2 J i δik J k 0 , i 1, n mi ω k 1 k i 1 В матричной форме: J1 d11 d12 d1i d1n δ δ 1 ii J 2 d 21 d22 d 2i d 2n ii miω2 J – вектор d – матрица динаJ k амплитуд d i1 d i 2 dii d in мической подат инерцион ливости системы ных сил по направлениям d11 d12 d1i d1n J n d n1 d n2 d ni dnn инерционных сил δJ 0 d21 d22 d2i d2n 2 1 d diag 1 2 1 2 1 2 1 2 δ δ ω m m1ω m2ω di1 di2 dii din miω mnω т матрица динамических ( инерционных ) δ L BL dn1 dn2 dni dnn поправок к податливости системы матрица масс, порождаюd – матрица m diag m1 m2 mi mn щих инерционные силоупругой податливости системы по направлениям инерционных сил Det (δ) 0 вые факторы J1, J2 ,…, Jn Варианты решения уравнений СК δ J 0 : 1) J = 0 – тривиальное решение ( отсутствие движения ) 2) J = 0 – нетривиальное решение ( условие существования движения ) Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Нетривиальное решение системы уравнений собственных колебаний: J =0 Det (δ) 0 – характеристическое уравнение уравнение частот собственных колебаний ( ) ( вековое уравнение, частотное уравнение ) d11 d12 d1i d1n d 21 d22 d 2i d 2n Det (d) Det (d ω2 m 1 ) 0 1 d i1 d i 2 dii d in Det ( d λ a )0 1 λ 2 m ω 0 m m m m d n1 d n2 d ni dnn a diag 1 2 i n m0 m0 m0 m0 Det(δ) Ф() Пример: при n = 2 δ δ Det (δ) 11 12 Ф() δ21 δ22 0 2 j 2 1 (δ11 λ/a1 )(δ22 λ/a2 ) - δ12 0 1, 2 n 1 2 j n – собственные значения ( числа ) ω1 ω2 ω j ωn – спектр частот собственных колебаний ( совокупность частот в порядке их возрастания ) w1 – частота основного тона колебаний ωj 1 m0λ j w2 ,…, wn – частоты обертонов Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) Вектор амплитуд перемещений j-й главной формы Собственный вектор перемещений j-й главной формы y2( j) y1( j ) / yk ( j ) β y1( j ) y1( j ) y1( j) y y2( j ) / yk ( j ) β y 2( j ) i( j) y 2( j ) 1 y Главная форма, β y( j ) yn( j) y( j ) ( j) y yi ( j ) / yk ( j ) β yi ( j ) yk ( j ) соответствующая i( j) частоте wj y / y β y n ( j ) n( j ) k ( j ) yn ( j ) ( не определяется ) ( β yk ( j ) 1 ) J 1( j ) / J k ( j ) β J 1( j ) J 2( j ) / J k ( j ) β J 2( j ) 2 m w J mi i j yi ( j ) i ( j ) β β y( j ) β J ( j ) 1 J ( j ) β yi ( j ) ai β yi ( j ) Ji ( j ) 2 J / J β J i( j) k( j) Ji ( j ) J k ( j ) mk w j yk ( j ) mk d βJ ( j ) 0 k ( j ) 1 β a βJ ( j) y ( j ) J / J β n( j ) k ( j ) Jn( j ) Собственный вектор ( βJk( j) 1 ) βJ ( j) из уравнений d J 0 : инерционных сил 1 d J d β 0 j-й главной формы ( j) J ( j) J k( j) Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) Вектор амплитуд Свойства перемещений j-й главной формы y2( j) y1( j) yi( j) Главная форма, соответствующая частоте wj yn( j) Собственный вектор главных форм перемещений j-й главной формы y1( j ) / yk ( j ) β y1( j ) y2( j ) / yk ( j ) β y 2( j ) 1 y β y( j ) ( j) yi ( j ) / yk ( j ) β yi ( j ) yk ( j ) y / y β n( j ) k ( j ) yn ( j ) ( не определяется ) (β 1 ) y1( j ) y 2( j ) y( j ) yi ( j ) y n ( j ) yk ( j ) βJ 1( j) ( d λ /a ) d d d d 11 j 1 β 12 1,k -1 1,k 1 1n d1k J 2( j ) d 21 (d 22 λ j /a2 ) d 2,k 1 d 2,k 1 d 2n d 2k .............................. d βJ ( j ) 0 βJ,k -1( j) d 0 d i1 di2 d i,k 1 d i,k 1 d in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . βJ,k 1( j) ik d nk d n2 d n,k 1 d n,k 1 (d nn λ j /an ) d n1 β Jn( j) (d – /a ) n –1 уравнений уравнений b β y ( j ) a 1 β J ( j ) yi ( j ) β yi ( j ) yk ( j ) n –1 неизвестных kk j k J(j) Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) J2( j) J1( j) Свойства главных форм y2( j) y1( j) yi( j) Главная форма, соответствующая частоте wj y1(s) y2(s) Ji( j) yn( j) ws < wj yi ( s) Главная форма, соответствующая частоте ws 1. Главные формы колебаний взаимно ортогональны. 2. Большим частотам из спектра Jn( j) соответствуют более сложные главные формы ( с большим числом узлов и пучностей стоячих волн ). Смысл ортогональности главных форм: возможная работа инерционных силовых факторов любой главной формы на перемещениях масс в другой главной форме равна нулю: Wjs = 0 ( j s ) n yn(s) n 2 Выражения ортогональности js kусловия ( j) k(s) j k k( j) k(s) через собственные векторы k 1 k 1 W J y m y y ГФК сил инерции и перемещений: По теореме Бетти для равновесных состояний j и s : n W js Wsj J k ( s ) yk ( j ) ω k 1 j, s – номера главных форм ω Wjs – Wsj = 0 ω 2 j ω m n 2 s k 1 k n 2 s m k 1 k yk ( s ) yk ( j ) yk ( j ) yk ( s ) 0 Wjs = 0 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) J2( j) J1( j) Свойства главных форм y2( j) y1( j) yi( j) Главная форма, соответствующая частоте wj y1(s) y2(s) Ji( j) yn( j) ws < wj yi ( s) Главная форма, соответствующая частоте ws 1. Главные формы колебаний взаимно ортогональны. 2. Большим частотам из спектра Jn( j) соответствуют более сложные главные формы ( с большим числом узлов и пучностей стоячих волн ). Смысл ортогональности главных форм: возможная работа инерционных силовых факторов любой главной формы на перемещениях масс в другой главной форме равна нулю: Wjs = 0 ( j s ) yn(s) j, s – номера главных форм Выражения условия ортогональности ГФК через собственные векторы сил инерции и перемещений: а) b тJ ( j ) b y ( s ) 0 б) b тJ ( j ) a 1 b J ( s ) 0 в) b тy ( j ) a b y ( s ) 0 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) n=3 J1(1) J1(2) J2(1) J3(1) J1(2) J2(2) J3(2) J2(2) J3(2) Главные формы, соответствующие частотам w1 w2 w1 < w2 < w3 w3 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) Пример EI J1 2EI 3m y2 3m 4m 4EI H/3 H/3 H/3 Определить частоты и формы собственных колебаний J1= 1 d11 d12 d13 m y1 m 4m y3 J2 d21 d22 J2= 1 d31 J3 n=3 H d23 d33 d32 2H / 3 0 0 0 1/4 m0= m a =8 1 3 45 M2 H/3 M3 y1 d 11J 1 d 12 J 2 d 13 J 3 , k = 1 k=2 k=3 y2 d 21J 1 d 22 J 2 d 23 J 3 , d11 37 ; d12 d 21 31 ; d13 d 31 1 ; Mi Mk 324 EI 648 EI 81 EI y3 d 31J 1 d 32 J 2 d 33 J 3 . d ik l EI j dx j 5 d 22 1 ; d 23 d 32 ; d 33 1 1 1 j 1 1 2 2 36 EI 648 EI 324 EI J1 d12 d0ω ω2 m d J2m a 0 , m1 = m 13J3 dd11dm ω Уравнение частот СК: 1 8 31 8 d11 d123 d133 (74 λ) 31 3 74 74 31 8 1 0 0 3 H 31 181 5 1 0 1/3 0 H H 5 18 50 λ/3) 31 d11 d2 23J 3 0 , m2 = 3mDet(δd) J0d21648 d22EI d13 31 0 d(18 d 21J648 1 2 2 Jm EI ω 648 EI d d d 8 5 (2 8λ/4)5 2 8 m52ω2 0 0 0 1/4 31 32 33 74 31 8 1 0 0 (74 λ) 31 8 d JH 3 d J d 648 1 EI J 0 . m = 4m H 3 648 EI 31 1 3231 2 18 5 11 2 2 30 1/3 0 3 31 (18 λ/3) 5 3 m 648 EI 648 EI H 3ω m ω H 3m ω2 8 5 2 M1 J3= 1 (2 λ/4) Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) Пример J1 y2 3m 4EI 2EI EI H/3 H/3 H/3 Определить частоты и формы собственных колебаний J1= 1 d11 d12 d13 y1 m 4m y3 d21 J2 d22 J2= 1 d31 J3 n=3 H d23 d33 d32 2H / 3 H/3 M3 y1 d 11J 1 d 12 J 2 d 13 J 3 , k = 1 k=2 k=3 y2 d 21J 1 d 22 J 2 d 23 J 3 , d11 37 ; d12 d 21 31 ; d13 d 31 1 ; Mi Mk 324 EI 648 EI 81 EI y3 d 31J 1 d 32 J 2 d 33 J 3 . d ik l EI j dx j 5 1 1 d d ω m d m0ω 2 1 2 1 1 j a M1 J3= 1 d 22 36 EI M2 ; d 23 d 32 Уравнение частот СК: 648 EI ; d 33 324 EI 3 (74 λ) 31 8 74 31 8 1 0 0 3 H H 1 Det(δ) 0 31 (18 λ/3) 5 0 31 18 5 0 1/3 0 648 EI 8 5 2 m0ω2 0 0 1/4 648 EI 8 5 (2 λ/4) 74 31 8 1 0 0 31 8 (74 λ) 3 3 648 EI EI H H 31 18 5 3 5 648 31 (18 λ/3) 2 0 1/3 0 3 2 648 EI 8 5 2 H m0ω 0 0 1/4 648 EI H m ω 8 5 (2 λ/4) 3 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) Пример EI 2EI 4EI H/3 H/3 H/3 Определить частоты и формы собственных колебаний J1= 1 d11 d12 d13 y1 m J1 y2 3m 4m y3 J2 J3 d21 d22 J2= 1 d31 n=3 H d23 d33 d32 2H / 3 H/3 M3 y1 d 11J 1 d 12 J 2 d 13 J 3 , k = 1 k=2 k=3 y2 d 21J 1 d 22 J 2 d 23 J 3 , d11 37 ; d12 d 21 31 ; d13 d 31 1 ; Mi Mk 324 EI 648 EI 81 EI y3 d 31J 1 d 32 J 2 d 33 J 3 . d ik l EI j dx j 5 1 1 j 1 1 0,5552 b y (1) 0,4899 ; b y (2) 0,5294 ; b y (3) 0,7299 0,1294 0,4286 1 1 = 126,64; 2 = 7,865; 3 = 1,494 0,6804 0,5833 0,1388 bJ (1) 1 ; bJ (2) 0,9265 ; bJ (3) 0,5474 0,3521 1 1 M1 J3= 1 d 22 36 EI M2 ; d 23 d 32 Уравнение частот СК: 3 Det(δ) 0 H 648 EI 3 648 EI ; d 33 324 EI (74 λ) 31 8 31 (18 λ/3) 5 0 8 5 (2 λ/4) – 0,0833 3 + 11,3333 2 – – 99,7497 + 124 = 0 EI 648 3 H mω2 Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс Формы собственных колебаний ( главные формы колебаний ) n=3 y1(1) H/3 m 0,53y1(2) 0,73y3(3) H/3 0,49y1(1) H/3 4m ω1 648 EI m0 H 3λ1 0,14J1(3) 0,93J3(2) 0,55J3(3) J2(1) 3m 0,56y3(3) y1(2) 0,68J2(1) 0,58J3(2) 0,35J2(1) J3(2) J3(3) 0,13y1(1) 0,43y1(2) y3(3) Главные формы, соответствующие частотам w1 w2 w3 w1 < w2 < w3 E H 39ρ Проверка ортогональности главных форм: Для башни: EI 1 EH , ω1 1 m0 200 ρ Для стальной башни высотой Н = 200 м H / 10 ω1 4,1 c1 ( 0,65 Hz ; T 1,5 c) b т J (2) 0,5552 b y (3) 0,5833 0,9265 1 0,7299 0,0001 0 1 Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 33» ) 1. Какими должны быть массы системы, чтобы число их степеней свободы n было конечным? От чего зависит и как определяется число n? ( 2 ) 2. Исходные предпосылки и рабочие гипотезы линейной теории расчёта систем с конечным числом степеней свободы масс (КЧССМ) в случае свободного движения. ( 3 ) 3. Как при использовании кинетостатического метода формируется расчётная схема заданной системы при её свободном движении? ( 4 – 6 ) 4. На описании каких величин строится вывод дифференциальных уравнений свободного движения масс? ( 6 ) 5. Понятие об общем решении системы дифференциальных уравнений свободного движения с учётом и без учёта сил сопротивления. ( 9 – 12 ) 6. Частный случай свободного движения – собственные колебания системы с КЧССМ: особенности записи закона инерции ( 16 ) и уравнений относительно функций перемещений масс. ( 13 – 15 ) 7. Какой смысл имеет характеристика массы mk в зависимости от того, каким является перемещение yk(t) – линейным или угловым? ( 9 ) 8. Как соотносятся при собственных колебаниях направления перемещений масс и соответствующих им инерционных силовых факторов? ( 16 ) 9. Как получаются уравнения собственных колебаний в амплитудах перемещений масс ( 16 – 18 ) и в амплитудах инерционных силовых факторов? (18 – 19 ) 10. Основные ( канонические ) уравнения собственных колебаний системы с конечным числом степеней свободы в амплитудах перемещений масс ( 17 ) , ( 20 ) и инерционных силовых факторов ( 19, 20 ) , ( 21 ) ; их физический смысл. 11. Что такое матрица динамической податливости системы и какие свойства заданной системы она отражает? Почему эта матрица является, по существу, комплексной характеристикой движущейся заданной системы? ( 21, 22 ) *) Только в режиме «Показ слайдов» Контрольные вопросы см. [ 3 ] из списка рекомендуемых учебно-методических изданий ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 34» ) 12. Какие существуют варианты решения системы уравнений собственных колебаний? ( 22 ) 13. Почему тривиальное решение системы уравнений не представляет интереса? 14. Какое условие ( требование ) используется для получения уравнения частот собственных колебаний из основных уравнений? ( 23 ) 15. Как записывается уравнение частот собственных колебаний системы с конечным числом степеней свободы? ( 23 ) 16. Что называется спектром частот собственных колебаний сооружения? Сколько частот входит в спектр? ( 23 ) Как называются первая и последующие частоты? ( 23 ) 17. Какие характеристики системы оказывают наибольшее влияние на частоты собственных колебаний ( как именно )? – по аналогии с формулой для w системы с n = 1 18. Как сказываются на частотах собственных колебаний ошибки в определении числа степеней свободы масс? Что опаснее – завышение или занижение n в сравнении с истинным? – объяснить. 19. Если в найденном спектре частот собственных колебаний обнаружатся бесконечно большие значения, то чем это можно объяснить? 20. Почему даже при известной частоте собственных колебаний невозможно определить числовые значения сил инерции и перемещений масс? – дать физическое и математическое объяснения. 21. Что такое главные формы колебаний? – см. лекцию 1 22. Основные свойства главных форм. ( 26 ) 23. Каков физический смысл свойства ортогональности главных форм? ( 26 ) 24. Варианты записи условия ортогональности главных форм. ( 27 ) 25. Как найти собственные векторы сил инерции и перемещений масс, соответствующие некоторой частоте собственных колебаний системы? ( 24 ) *) Только в режиме «Показ слайдов» Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 35» ) *) Только в режиме «Показ слайдов» см. [ 3 ] из списка рекомендуемых учебно-методических изданий 26. Как строятся схемы главных форм колебаний? ( 31 ) Что можно использовать для уточнения этих схем? 27. Как отличить по виду главные формы, соответствующие более высоким частотам, от низкочастотных форм? ( 26 ) 28. Какое практическое значение имеет знание форм собственных колебаний сооружения? 29. Каков смысл кинематической проверки результатов расчёта сооружения на собственные колебания и как она выполняется? 30. Изложить общий алгоритм решения задачи о собственных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы масс.
