Малые колебания системы с двумя степенями свободы
advertisement
Малые колебания системы с двумя степенями свободы Из дифференциальных уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия в случае двух степеней свободы имеем Квадратичные формы для потенциальной и кинетической энергии положительно определенные. По теореме Сильвестра Решение системы дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия может быть записано в виде Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю или Это биквадратное уравнение называется уравнением частот. При ограничениях, накладываемых на обобщенные коэффициенты инерции и жесткости теоремой Сильвестра, оно имеет два положительных корня которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний Таким образом, закон изменения каждой обобщенной координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебаниями. Амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом где коэффициенты формы главных колебаний. В итоге уравнения малых колебаний механической системы с двумя степенями свободы имеют вид Амплитуды A1, A2 и начальные фазы δ1, δ2 соответствующих колебаний определяются из начальных условий.
