Босяк Г.Нx

УДК 004.9
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Босяг Г.Н.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук, доцент Баранова И.В.
МАОУ Гимназия №13, Красноярск
Введение
Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблиц n*n, заполненная
n^2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих
диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то
он называется полумагическим. О них и идет речь в данной работе.
Магические квадраты имеют довольно узкую применимость на практике, но не
стоит преуменьшать их значимости. Свойства магических квадратов позволяют использовать
их для получения качественного изображения при конструировании мониторов и
телевизоров. Они обеспечивают плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые
границы на больших однотонных полях изображения.
Особую ценность магические квадраты представляют в криптографии. Они позволяют
создать алгоритм перевода зашифрованного текста в изображение и наоборот. Буквы
сообщения расставляются в порядке, заданном магическим квадратом. Затем каждой букве
сообщения ставится в соответствие цвет, тем самым в итоге получается изображение.
Целью работы является изучение и применение наиболее популярных методов
построения магических квадратов. Рассматриваются: метод квадратных рамок и метод
террас. В программном обеспечении также реализован метод четырех квадратов.
Постановка задачи.
Пусть дан двумерный массив n*n элементов и n 2 последовательных натуральных
чисел, начинающихся с единицы. Необходимо сформулировать способ присвоения каждому
значению своего адреса в массиве.
Стоит отметить, что способов решения данной задачи существует великое множество.
Для n>4 на данный момент известны не все комбинации, поэтому особую ценность обретают
частные решения. В работе же будут рассматриваться общие подходы, позволяющие
гарантировано получить наибольшее количество решений.
Метод террас (Баше)
Этот метод предложенный Баше де Мезириаком используется для построения
Магических квадратов нечетного порядка, т.е. квадратов с нечетной длиной.
С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы
получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный
В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми
(диагональными) рядами снизу вверх или сверху вниз. Числа в террасах, не попавшие в
квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к
противоположным сторонам квадрата
Таким образом можно заполнять не только обычные волшебные квадраты, но и
нетрадиционные, если использовать вместо исходных чисел элементы арифметической
прогрессии.
Метод квадратных рамок
Используется для построения магических квадратов четно-четного порядка.
Рассмотрим построение данным методом магического квадрата восьмого порядка. На
матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные
рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата с шагом в
одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок
расставляются числа от 1 до n2 по порядку, начиная с левой верхней ячейки исходного
квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с
верхней свободной справа ячейки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д.
Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к
противолежащим сторонам квадрата
Заключение
В работе были изучены и реализованы два метода построения магических квадратов.
Написано программное обеспечение, реализующее два рассмотренных и один
дополнительный метод.
Список литературы
1 http://www.natalimak1.narod.ru
2 Ю. В. Чебраков «Теория магических матриц».