Исследовательский проект ученицы 5 «В» класса МБОУ Лицея №185 Пикула Светлана Павловна

Исследовательский проект ученицы 5 «В» класса
МБОУ Лицея №185
Выполнила ученица 5 класса
Пикула Светлана Павловна
Руководитель проекта: учитель
высшей категории Белина Л.И.
Новосибирск 2014
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
умственную гимнастику,
развивающую способность
понимать идеи размещения,
сочетания и симметрии».
Леонард Эйлер

Цель исследования: изучить историю
появления и один из способов заполнения
магических квадратов, а также области их
применения.






Задачи исследования:
познакомиться с историей появления
магических квадратов;
выяснить виды магических квадратов и
способы их заполнения;
провести исследование о утверждение
Пифагора о том, что судьба человека
зависит от числа его рождения;
выявить области применения магических
квадратов.
Провести анкетирование пятиклассников
Лицея № 185.
В познавательных книгах, в журналах и на математических олимпиадах,
очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить
цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и
диагоналям была одной и той же, постоянной.
На уроки математики я узнала, что это называется магическим квадратом.
Конечно, имея время и терпение, можно решить эту задачу, методом подбора.
Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя
и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня
заняться исследовательской работой.
Из литературы я узнала, что для заполнения магического квадрата существуют
специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.
И мне стало интересно есть ли научное объяснение этим квадратам, и
захотелось узнать историю их происхождения.
В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из
вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей
магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не
нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия
математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других
разделов математики. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришла
к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко
применяются различные частные алгоритмы.

квадратная таблица из целых чисел, в
которой суммы чисел вдоль любой строки,
любого столбца и любой из двух главных
диагоналей равны одному и тому же числу

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится
легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на
берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок
из белых и черных кружков . Если заменить каждую фигуру числом,
показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица:



У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого
столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел
второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении
чисел любой из трех строк.
Тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух
диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.

Минимальный нетривиальный случай имеет
порядок n = 3. Сумма чисел в каждой
строке, столбце и на диагоналях,
называется магической константой.

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты
распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их
считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при
заклинаниях. На рисунке изображен магический квадрат 4-го порядка, известный
еще древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим
после последовательной перестановки строк (столбцов).






Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются
различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости
от того, каков порядок квадрата:
четный, порядок которого равен степени числа 2;
четный, порядок которого равен удвоенному нечетному;
четный, порядок которого равен учетверенному нечетному;
Изучая литературу по теме, я установила факт, что с увеличением размеров квадрата
быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3
порядка - единственный, для 4 - 880, для 5 - приближается к четверти миллиона.
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3*3порядка
8
1
6
4
9
2
3
5
7
3
5
7
4
9
2
8
1
6
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Такой магический квадрат был у древних китайцев
символом огромного значения. Цифра 5 в середине
означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии
располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8),
металл (4 и 9).

называется квадрат n*n клеток, в которых
написаны числа от 1, до n, притом так, что в
каждой строке и каждом столбце встречаются
все эти числа по одному разу. Изображены два
таких квадрата3*3. Они обладают интересной
особенностью: если один квадрат наложить на
другой, то все пары получившихся чисел
оказываются различными. Такие пары
латинских квадратов называются
ортогональными.
1
2
3
1
2
3
11
22
33
2
3
1
3
1
2
23
31
12
3
1
2
2
3
1
32
13
21
Портрет 1753 г.,
Впервые задачу отыскания
ортогональных латинских квадратов
поставил Л. Эйлер, причём в такой
занимательной формулировке:
«Среди 36 офицеров поровну
уланов, драгунов, гусаров,
кирасиров, кавалергардов и
гренадеров и, кроме того, поровну
генералов, полковников, майоров,
капитанов, поручиков и
подпоручиков, причем каждый род
войск представлен офицерами всех
шести рангов. Можно ли выстроить
всех офицеров в каре 6 * 6 так,
чтобы в любой колонне и любой
шеренге встречались офицеры всех
рангов?»
Эйлер не смог найти решения
этой задачи. В 1901 г. было
доказано, что ортогональных
квадратов 6*6 не существует

Шифруемый текст вписывали в магические
квадраты нужного размера в соответствии с
нумерацией их клеток. Если затем выписать
содержимое такой таблицы по строкам, то
получится шифртекст, сформированный
благодаря перестановке букв исходного
сообщения.


ПРОВОЖАЮ СЕДЬМОГО
Шифртекст, получаемый при считывании
содержимого правой таблицы по строкам,
имеет вид: оорм оедю сжаь вгоп.

Магический квадрат Пифагора. Изучая
магические квадраты, я обнаружила еще
один занимательный квадрат - квадрат
Пифагора, представляющем исторический
интерес и, возможно, полезном для
составления психологического портрета
личности по дате его рождения.



Цифра, которая встречается только один раз
(или не встречается вообще), говорит о том,
что человеку в данной области необходимо
приложить некоторые усилия, чтобы улучшить
ситуацию.
Две одинаковые цифры свидетельствуют о том,
что это качество развито у него сильнее, чем у
большинства людей. Это - его изюминка,
козырь.
Три и более одинаковых цифр - показатель
самой яркой черты характера, доминирующей
и определяющей жизненную позицию.










Расшифровка цифр:
1 - личностные характеристики.
2 - эмоциональная сфера.
3 - гармония между чувством и разумом, некая точка
равновесия. Эта характеристика не имеет отрицательного
значения.
4 - выживаемость в экстремальных ситуациях.
5 - интуиция, шестое чувство. Умение разбираться в людях.
6 - логическое мышление.
7 - талант, понимаемый как умение делать что-то
значительно лучше окружающих.
8 - целеустремленность, сила воли.
9 - способность к обучению, постижению материала и
применению его на практике.

большинство учащихся 5-х классов в основном
слышали о магических квадратах, но не могли
дать точного определения и не умели составлять
магические квадраты высших порядков.
10
Ничего не слышали
10
Умеют строить магические
квадраты четвертого порядка
Знают о латинских квадратах
20
60
Слышали но не строили
квадраты пятого порядка




1.В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития магических квадратов
которые, на протяжении тысячелетий занимают умы великих людей. Изучая теорию заполнения
квадратов, я пришла к выводу, что существует несколько алгоритмов их построения. Можно
сказать, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике.
2.Из литературы я выделила следующее схемы составления магических квадратов: а) чётные,
чётно-нечётные(диагональный метод, порядок 2n), б)нечётные (метод достроения, метод А.де
Лубера) а так же латинские квадраты.
3.Изучая магические квадраты, я выяснила, что существует занимательный квадрат - квадрат
Пифагора, который можно использовать для составления психологического портрета личности
человека. Я построила магические квадраты для всех членов моей семьи. И в результате анализа, я
поняла, что его магические свойства совпадают на 68%. Можно сказать, что не следует слепо
верить всему магическому. Ведь некоторые черты характера возможно и заложены в дате
рождения человека, но мы всегда можем найти способы что-то изменить в своей судьбе.
4. Был проведен опрос учащихся пятых классов Лицея №185 города Новосибирска. В результате
анкетирования большинство учащихся 5-х классов в основном слышали о магических квадратах,
но не могли дать точного определения и не умели составлять магические квадраты среднего и
высшего порядков.
 Спасибо
за внимание!
В магических квадратах можно увидеть красоту геометрической
фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.