Развитие методов построения рамочных магических квадратов

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2014
Вып.1(24)
УДК 51(092)
Развитие методов построения
рамочных магических квадратов
А. Е. Малых
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24
malyсh@pspu.ru; (342) 280-37-55
А. А. Галиаскарова
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24
arina galiaskarova@mail.ru; (342) 212-75-73
Приведено краткое описание развития учения о магических квадратах. Каждый из методов
построения рамочных магических квадратов нечетного, нечетно-четного и четно-четного
порядков представлен пошаговым описанием и наглядным изображением.
Ключевые слова: магические квадраты; магическая постоянная; рамочный квадрат; методы построения.
Введение
ступали в качестве талисманов, их носили как
обереги; имеющим выгравированные м.к. на
пластинке или вышитые на шелке, сопутствовала удача, успех. Определенные виды м.к.
использовали в медицине, а другие связывали
с астрологическими свойствами планет. Создатели дорого продавали полученные квадраты, поэтому все открытые методы держались в строжайшем секрете. Именно из-за
этого учение об их структуре, методах построения, математических свойствах и практическом применении не развивалось.
Впоследствии наиболее легкие и часто
встречающиеся на разных континентах методы построения м.к. были реконструированы.
Часть же их еще ожидает раскрытия своих
тайн. Наиболее сложными для построения
являются рамочные, составные, а также панмагические квадраты. Представляет интерес и
построение магических конструкций, отличных от м.к.
В статье освещен исторический процесс
развития м.к., указаны основные методы их
построения для каждого из трех классов, реконструированы приемы составления рамочных квадратов разных порядков, показана
структура некоторых из них.
Тематика магических квадратов, как
показывает анализ доступных историкоматематических первоисточников, во все времена привлекала интерес многочисленных
знаменитых и безвестных исследователей. К
их числу относились и те, творчество которых
не получило еще должного освещения, а также любители, ценители привлекательной красоты числовых конструкций. Возможно, в силу особой красоты своих свойств, кажущейся
мистической, удалось сохранить за ними
древнее название – магические квадраты.
Исследование исторического процесса
формирования этих конструкций затрудняет
тот факт, что первоначально магические
квадраты (ниже м.к.) изучали в теории чисел,
и лишь с формированием комбинаторного
анализа они стали составной частью одного из
его направлений – теории блок-схем. Сложность исследования связана еще с тем, что,
создавая методы построения м.к., ученые разных времен и народов держали, как правило,
свои открытия в тайне. Объяснить это можно
тем, что на начальном этапе развития м.к. вы© Малых А. Е., Галиаскарова А. А., 2014
87
А. Е. Малых, А. А. Галиаскарова
залива. В своей энциклопедии они построили
рамочные м.к. порядков 4–9.
С Х–ХI вв. м.к. стали появляться в Индии, потом в Японии, а затем и в других странах, приобретя необычайную популярность.
Вскоре магия чисел проникла в феодальную
Западную Европу. Первое сочинение о м.к.,
появившееся около 1300 г., было написано
византийским грамматистом и лексикографом
Мануэлем Мосхопулосом (XIII–XIV вв.). Он
опубликовал многие построенные им м.к.
разных порядков. За его работой последовали
труды сотен ученых, в том числе основоположников современной науки (П. Ферма,
Л. Эйлер, К.Ф. Гаусс и др.).
В начале XVI в. м.к. появился в искусстве. Немецкий художник, ученый, географ
Альбрехт Дюрер в гравюре (1514), названной
"Меланхолия", на заднем плане за фигурой
женщины поместил м.к. порядка 4.
В средневековой Западной Европе считали, что люди различных темпераментов
находятся под влиянием разных планет. В сочинении о магии чисел немецкого гуманиста
Генриха Корнелия Агриппы (1486–1535) изложено построение семи м.к. порядка n
( n  3; 9 ), которые он связывал, соответственно, с астрологическими свойствами планет: Сатурна, Юпитера, Марса, Солнца, Венеры, Меркурия, Луны. Агриппа назвал эти
квадраты "планетными таблицами", но не дал
никакого объяснения по поводу построения,
зато подробно описал их волшебные свойства.
С XVI в. ученые стали проявлять интерес к структуре м.к., изучать их математические свойства, осуществлять поиски приложений. В сочинении Михаэля Штифеля
"Полная арифметика" (1544) в Европе впервые был выполнен анализ математической
структуры м.к. Век спустя ими стали интересоваться Френикль де Бесси, Блез Паскаль,
Пьер Ферма, Баше де Мезириак и многие
другие ученые.
Начиная с XVIII столетия было рассмотрено не только большое число конкретных м.к., но и предприняты попытки распространения правил их построения на квадраты
более высоких порядков. XIX и XX вв. особенно богаты исследованиями о м.к., были
разработаны десятки остроумных способов их
составления. Анализ таких квадратов расширялся и углублялся.
1. Основные понятия и определения
Магическим квадратом порядка n
называется такое расположение первых n2 чисел натурального ряда в таблице размера n×n
(n > 2), что сумма чисел, стоящих в каждой
строке, каждом столбце и на каждой из двух
диагоналей, постоянна и равна одному и тому
же значению S 


n n2 1
, называемому ма2
гической постоянной. В зависимости от количества элементов в строке он бывает нечетным (n = 2k+1), нечетно-четным n = 2∙(2k + 1)
и четно-четным (n = 4k). По внутренней
структуре м.к.
могут
быть 40 38 2 6 1 42 46
рамочными,
41 20 17 37 19 32 9
составными,
совершенными
3 16 26 21 28 34 47
и др.
М.к.
39 36 27 25 23 14 11
называется ра43 35 22 29 24 15 7
мочным, если в
нем отбросить
5 18 33 13 31 30 45
окаймляющие
4 12 48 44 49 8 10
полосы шириной в одну или
Рис. 1
несколько клеток. В этом
случае оставшийся квадрат не утратит своих магических
свойств. Так, на рис. 1 приведен м.к. порядка 7,
имеющий 2 рамки и внутренний м.к. порядка 3.
2. Сведения из истории
Принято считать, что первые м.к. появились в древнем Китае. Одна из сохранившихся легенд повествует нам о том, что когда
император Ю из династии Шан
(ок. 2000 до н. э.) стоял на бере4 9 2
гу Ло, притоке Желтой реки,
3 5 7
вдруг появилась огромная че8 1 6
репаха, на панцире которой
был рисунок из двух мистических символов, – черных точек
Рис. 2
и белых кружков. Эта диаграмма, представленная на рис. 2, стала известна под названием "Ло – шу" (документ
реки Ло).
К м.к. проявили глубокий интерес ученые стран ислама "Чистые братья и Верные
друзья". Это был союз математиков, возникший около Х века в Басре – богатом торговом
и культурном городе на берегу Персидского
88
Развитие методов построения рамочных магических квадратов
чек, расположенных в диагональА
ных клетках, в B
14
15
1
4
направлении АВ
записывают (в со9
7
6 12
ответствии со способом письма) их
5 11 10 8
номер;
затем,
16 2
3 13
начиная с конца, в
D
C
направлении CD в
Рис.
5
каждую клетку с
номером х помещают дополнительное число,
равное (42+1) – х (рис. 5).
Другой метод заполнения принадлежит
союзу ученых "Чистые братья и Верные друзья". Квадрат заполняют ходом вола, симметрично относительно прямой l в направлении
CD – по ячейкам, заполненным точками, а в
направлении AB – треугольниками (рис. 6а).
Относительно
прямой m в верхней В
А
части квадрата меняют местами числа,
стоящие в ячейках с
точками, а в нижней
– числа в ячейках с
треугольниками
(рис. 6б).
С
Еще один ме- D
а)
тод заполнения такого квадрата принадлежит
выдаю4 9
5 16
щемуся японскому
15 7 11 2
ученому Секи Кове
(ХVI в.). Он совпа16 6 10 3
дает с точечным методом арабов, толь1 12 8 13
ко построение начинается (в соответб)
ствии с принятой у
японцев записью) с
Рис. 6
первого
нижнего
угла в направлении
AС (рис. 7а). После расположения восьми чисел, заполнение остальных осуществляется
аналогичным образом, но в направлении DВ
(рис. 7б).
3. Методы построения рамочных
квадратов
3.1. Построение магических квадратов
порядка 3 и 4
В м.к. при отбрасывании рамок внутренним всегда оказывается квадрат порядка 3
или 4. Поэтому, прежде всего, укажем наиболее распространенные методы их построения.
На рис. 3a, б
представлено
4 9 2
построение та3 5 7
ких
квадратов
порядка 3 с по8 1 6
мощью
ходов
а
б
фигур на шахматной
доске:
Рис. 3
начало помещалось в среднюю нижнюю клетку, затем осуществлялся двойной ход коня, ход пешки,
дважды ход ферзя, вновь ход пешки, снова
двойной ход коня до средней верхней клетки
(X в.).
Следующий метод заполнения центрального квадрата принадлежит византий8 1 6
скому лексикографу М. Мос3 5 7
хопулосу и назван им диаго4 9 2
нальным. Его суть заключается в следующем: число 1 помещается в среднюю клетку
Рис. 4
верхней строки (рис. 4). Другие числа последовательно
размещаются вдоль диагонали, идущей вверх
направо от данной клетки. При этом необходимо учитывать особые правила:
 если достигнута строка, следующая за
верхней, то следующее число записывается в
нижнюю строку так, как если бы она располагалась над первой строкой;
 при достижении крайнего правого
столбца следующее число записывается в
первый левый столбец так, как если бы он
был помещен рядом с крайним правым столбцом;
 если заполняемая клетка уже занята
или достигнута верхняя клетка крайнего правого столбца, то очередное число помещается
в клетке под той, где расположено предшествующее число.
Для м.к. порядка 4 существуют свои методы заполнения. Один из них принадлежит
ученым стран ислама, разработанный в XI–
XII вв. и названный "точечным". Вместо то-
3.2. Рамочные квадраты порядка n = 2k+1
В странах арабского халифата накопились методы построения рамочных квадратов,
зависящие от порядка n. Один из простейших
для квадратов нечетных порядков принадлежит ал-Караджи (Х в.).
89
А. Е. Малых, А. А. Галиаскарова
Ниже приведено описаВ
А
ние метода в
общем виде,
в скобках же
произведены
l
расчеты для
квадрата порядка
5
D
С
(5=2k+1, ота)
куда k=2).
В общем слуm
чае построе16 3 2 13
ние
рамки
начинается
9 6 7 12
слева от пра5 10 11 8
l
вого верхнего угла, в ко4 15 14 1
торый записывают число
б)
1 (рис. 8).
Число 2 поРис. 7
мещают
в
клетку, расположенную под правой верхней; 3 – слева от
1; 4 – под 2 и т.д. до числа 2(k – 1) (в случае
n = 5, k = 2, то есть до числа 2). Число 2k – 1
(для n = 5 это число равно трем) записывают
под предыдущим; 2k (4) – в левом верхнем
углу; 2k+1 (5) – в
середине нижней
4 19 21 1 20
части рамки; число
24 16 9 14 2
2(k + 1) (в данном
случае 6) помеща23 11 13 15 3
ют в левый нижний
8 12 17 10 18
угол, а следующее
6 7 5 25 22
– справа от него.
Число 4k (8) располагают над 2(k + 1).
Рис. 8
Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом
верхнем углу. Последним записывают число
в соответствии с правилом, отмеченным выше.
Другой метод принадлежит «Чистым
братьям и Верным друзьям». Поскольку в рукописи описания построения не было, то ниже
представлена его реконструированная версия,
рассмотренная в общем случае и показанная
на примере построения м.к. порядка 7 (n = 7,
k = 3). Поскольку все рамки заполняются одинаково, то рассмотрим метод в общем случае;
по мере описания в скобках будут указаны
расчеты для конкретного примера. При заполнении квадрата важно учитывать его порядок: если это внутренний квадрат, то n = 3;
если у квадрата одна рамка, то n = 5 и так далее.
1. Независимо от порядка, заполнение
начинают с наименьшего внутреннего квадрата, то есть с м.к. порядка 3 (n = 3). Первое
число помещают во вторую сверху ячейку,
его крайнего
правого столб- 16 17 18 19 20 21
ца, в котором
7 8 9 10
11
заполняется
2 3
4 12
n–2
ячейки
(для наимень1 5 13
шего квадрата
6 14
в этом столбце
заполняют од15
ну ячейку), до
предпоследней
(рис. 9).
2. СлеРис. 9
дующее число
помещают в левую ячейку первой строки, и
заполняют строку полностью, до ее предпоследней ячейки (для n = 3 заполняются две
ячейки).
3. Оставшиеся рамки заполняют аналогично пунктам 1–3 приведенного выше описания.
4. Заполняют ячейки главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке (рис. 10).
5. Пустые 16 17 18 19 20 21 28
ячейки рамки
7 8 9 10 27 11
заполняют дополнительными
2 3 26 4 12
числами, т. е.
25 1 5 13
такими, которые
в сумме с про24
6 14
тивоположны23
15
ми дают число
2
n + 1 (так как
22
n = 7, то допол-
m
2k  1  4  4  4k
2
(для рассматриваемого
примера оно равно восьми). При заполнении
оставшихся клеток рамки из (2k + 1)2 + 1 (26)
вычитают числа, стоящие в соответствующих
клетках – углах рамки.
Следующая
рамка
(2k – 3)×(2k – 3)
строится аналогичным образом, начиная с
числа 4k + 1 и т.д. Наконец, внутри рамки
остается м.к. порядка 3, который заполняется
Рис. 10
90
Развитие методов построения рамочных магических квадратов
няют до числа 50).
6. Следующим шагом транспонируют
k – 1 (2) число, стоящее в правом столбце, через ячейку, считая от предпоследней снизу, с
соответствующими ячейками левого столбца.
7. Далее транспонируют k чисел верхней строки, через одно, считая от первой
ячейки, с соответствующими ячейками нижней строки.
В результате
выполне16 33 18 31 20 29 28
ния пунктов
39 7 42 9 40 27 11
1–7 получают
рамочный м.к.
12 46 2 47 26 4 38
порядка
44
37 5 49 25 1 45 13
n = 2k + 1 (рис.
7
11).
14 44 24 3 48 6 36
Одна из семи
35 23 8 41 10 43 15
книг (1661)
Секи Ковы
22 17 32 19 30 21 34
посвящена
м.к. и окружРис. 11
ностям. Он
рассматривал
не только м.к. с нечетным, но и четным числом клеток. Ему принадлежит метод, описанный ниже; в отличие от арабских энциклопедистов, он не только описал, но и сопроводил
его изображением.
5. Затем продолжают заполнение вдоль
верхней строки до достижения левого верхнего угла.
6. Описанная выше процедура позволяет
заполнить как левый столбец, так и нижнюю
строку; она проводится для всех ячеек строки
и столбца, кроме угловых нижнего ряда.
7. Остальные ячейки рамки заполняют
дополнительными числами.
8. При следующем шаге следует транспонировать k чисел
верхней 12 11 10 45 46 49 2
строки (1, 4, 5)
после правой 47 20 19 35 37 14 3
верхней угло44 34 2 2 2
16 6
вой клетки, с
8 1 6
7 17 2 2 2
33 43
соответству3 5 7
ющими чис8 18 2 2 2
32 42
лами нижней
4 9 2
9 36 31 15 13 30 41
строки (рис.
13).
Анало48 39 40 5 4
1 38
гичное выпол8
няют с k чисРис. 13
лами (7, 8, 9),
стоящими в правом столбце, над нижней угловой ячейкой.
В
результате вы- 12 11 10 45 46 49 2
полнения
47 20 19 35 37 14 3
пунктов
1–7
получается
44 34 24 28 22 16 6
первая рамка.
7 17 23 25 27 33 43
9. Заполнение
ячеек
8 13 28 21 26 32 42
следующей
внутренней
9 36 31 15 13 30 41
рамки прово48 39 40 5 4
1 38
дится
Секи
8
Ковой аналоРис. 14
гичным образом,
только
теперь оно начинается с числа 13 (рис. 14).
Рассмотрим метод в общем виде для
n = 7, с выполненными расчетами.
1. Начинают с клетки,
12 11 10 5 4 1 2
предшествующей верхней 47 1 3 3 1 3 3
6 1 3 3 2
правой угловой
44 3 2 2 2 1
6
(рис. 12).
6 8 1 6 4
43 3 2 2 2 1
7
2. Следуют
5
3
5
7
5
к
угловой
42 2 2 2 2 3
8
клетке и вниз
0 4 9 2 0
41 1 1 1 3 3
9
вдоль правого
8 9 7 7 4
48 39 40 45 46 49 38
столбца до до8
стижения чисРис. 12
ла k (3).
3. Переходят от числа k к ячейке слева от 1 и заполняют
первую строку до тех пор, пока не достигнут
числа 2k–1 (5).
4. Продолжают движение вдоль правого
столбца, начиная с ячейки, расположенной
ниже ячейки с числом k, до предпоследней
ячейки этого столбца.
3.3. Рамочные квадраты порядка =2∙(2k+1)
Описание алгоритма построения еще
одного такого квадрата приведено в общем
виде, в скобках указаны расчеты для квадрата
порядка n=6, т. е. k=1:
1. В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 размещают в правый верхний
угол, как если бы он был под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока
не достигнут числа 2(2k + 1) – 1 (5) (рис. 15).
91
А. Е. Малых, А. А. Галиаскарова
2. Число
2(2k + 1) (6) по- 36 6 7 8 10 2
мещают в предпо34 2 1 1
3
следнюю
слева
6 7 5 6
33 1 3 3 1
4
ячейку
первой
2
0
4
6
строки и заполня32 2
2
5
ют в направлении 3 1 3 7 5
28 3 2 2 1
9
к числу 2 последо1 2 0 1
вательно числами 35 31 30 29 27 1
до (2k + 1) (для
n = 6 – три ячейки).
Рис. 15
3. Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под
числом 2(2k + 1) – 1 (5), в направлении к 1,
полностью заполняют правый столбец.
4. Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют ее
полностью, двигаясь к 2; пустые ячейки нижней строки, крайнего левого столбца и угловые ячейки заполняются дополнительными
числами.
5. Транспонируют (2k + 1) (3) числа
правого столбца,
стоящие в ячей36 31 7
8 27 2
ках под верхней
3 2 1
1
34
угловой, с соот6 7
5
6
ветствующими
4 1 3
3
1
34
ячейками левого
2 0
4
6
5 2
2
32
столбца (рис. 16).
1 3
7
5
Аналогично по28 3 2
2
1
9
ступают с 2k (2)
1 2
0
1
35 6 30 29 10 1
числами первой
строки, располоРис. 16
женными во второй и предпоследней ячейках, с числами соответствующих
ячеек нижней строки. Таким образом, получают внешнюю рамку квадрата.
6. Остальные рамки заполняют аналогично. М.к. порядка 6, построенный по данному методу, изображен на рис. 17.
Для м.к. нечетночетного порядка
36 31 7
8 27 2
Секи Кова пред3 26 13 12 23 34
ложил еще один
метод построения:
4 19 16 17 22 34
1. С третьей
5 15 20 21 18 32
справа от верхнего правого угла
28 14 25 24 11 9
ячейки
вдоль
35 6 30 29 10 1
верхней строки
до ее конца запиРис. 17
сываются по по-
рядку числа (рис. 18).
2. Следующее число запи4 3 2 1
9 5
сывается в пра31 2 1 1
6
вый
верхний
6
7
5
6
угол, с последу30 1 3 3
1
7
ющим заполне2 0 4
6
29 2
2
9
нием
правого
столбца до треть- 27 31 23 27 15 10
ей ячейки снизу
1 2
0
1
32 34 35 36 28 33
включительно.
3. В свободную ячейку перРис. 18
вой строки помещается
следующее число, вслед за ним заполняется
клетка над нижней правой угловой.
4. Оставшиеся свободные ячейки правого
столбца, левый столбец и нижняя строка заполняются дополнительными числами к 4(n + 1)2 + 1
так же, как и рамка м.к. 2(n + 1) в соответствии с
процедурой для м.к. нечетного порядка.
5. При следующем шаге транспонируют
(2n + 1)
чисел
первой строки,
4
3 35 36 28 5
начиная со вто6 2
1
1
31
рой
ячейки
6
7
5
6
справа, с числа30 1
3
3
1
7
ми, стоящими в
2
0
4
6
соответствую8 2
2
29
щих
ячейках
1
3
7
5
нижней строки 10 3 2 2 1 27
1
2
0
1
(рис. 19). Анало32 34 2
1
9 33
гично
(2n + 1)
числа
правого
Рис. 19
столбца, начиная
со второй ячейки
сверху, через число – еще 2n чисел последовательно транспонируются с соответствующими
числами левого
крайнего столб4
3 35 36 28 5
ца. Центральный
6
4
9
5 16 31
квадрат заполняется в соответ30 15 7 11 2
7
ствии с одним из
описанных выше
8 36 6 10 3 29
методов
для
квадратов
4-го 10 1 12 8 13 27
порядка. В ре- 32 34 2 1 9 33
зультате квадрат
порядка 6 имеет
Рис. 20
вид, изображенный на рис. 20.
92
Развитие методов построения рамочных магических квадратов
Заключение
Список литературы
Вопросами развития м.к. ученые занимаются уже не одно столетие. К настоящему
времени установлена их предыстория и периоды формирования, выяснена структура на
каждом из этапов развития, достаточно полно
представлены методы их составления, изучены структура, установлены связи между различными видами числовых конструкций и
классы изоморфизма, а также группы автоморфизмов м.к. В конце XIX в. учение о магических конструкциях получило практическое применение в дисперсионном анализе
(П.А. МакМагон 70-е гг. XIX в.), а в 30-х годах XX в. Рональд Фишер использовал конструкции в широком круге задач планирования экспериментов. С развитием науки и техники, запуском космических ракет и спутников Земли, их стали применять при создании
помехоустойчивых кодов, обнаруживающих и
исправляющих ошибки.
1. Camman S. Old Chinese magic squares. Chinologica. 1962. № 7. Р. 14–53.
2. Carra de Vaux. Une solution Arabe du problem
des carres magiques. Rev. d’Hist. des Sci.,
1948, V.I. P. 206–212.
3. Hermelink H. Die ältesten magischen Quadrate höherer Ordnung und ihre Bildungsweise.
Sudhoffs Arch. Med. Naturwiss, 1953. № 42.
S. 199–214.
4. Singh A.N. The history of magic squares in India. Proceedings of the International Conference of Mathematicians, 1936. P. 275–276.
5. Smith D.E., Mikami Y. The history of Japanice
Mathematics. Chicago, 1914.
6. Sesiano J. Herstellungsverfaren magischer
Quadrate aus in islamischer Zeit (II), –Sudhoff
Arhiv, 1981. V. 65. S. 251–265.
7. Малых А.Е. Магические квадраты. Пермь:
ПГПИ, 1992.
Development of bordered magic squares
construction methods
A. E. Malykh
Perm State Humanitarian Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja st., 24
malych@pspu.ru; (342) 280-37-55
A. A. Galiascarova
Perm Stale Humanitarian Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja st., 24
arina galiaskarova@mail.ru; (342) 212-75-73
Brief description development of knowledge about magic squares is considered. Each of construction methods of bordered magic squares of odd, odd-even and even-even orders was presented step by step description and obvious representation.
Key words: magic squares; magic constant; bordered squares; construction methods.
93