V klkl

XI. Одночастичная функция Грина. (Взаимодействующие фермионы.)
-Смотрите, это месяцЗевнув, сказал один.
Другой сказал: - Тарелка!А третий крикнул: - Блин!
С.Маршак.
11.1 Определение одночастичной функции Грина математическим
выражением.
Вспомним определение операторов рождения и уничтожения
ci = qki-kF ai +qkF-ki bi+,
ci+ = qkF-ki ai+ +qki-kFbi.
(11.1)
В представлении Гейзенберга:
ci1+(t1) = exp(iHt1) ci1+ exp(-iHt1),
ci2(t2) = exp(iHt2) ci2 exp(-iHt2);
(11.2)
Чтобы заменить словесное выражение формулой, нам придется ввести
еще один новый оператор –оператор упорядочения во времени:
T[A(t1) B(t2)…] = (-1)P * Произведение операторов перегруппированных так,
что время уменьшается слева направо (если никакие времена не совпадают)
P – число перестановок, требующихся для установления операторов в
нужном порядке.
T[A(t1) B(t2)…] = (-1)P * Произведение операторов перегруппированных так,
что в случае совпадающих времен операторы c+ стоят слева от операторов c.
Задача: Выписать T[ck2(t2) ck1+(t1)] для случаев t2>t1 и t2 t1.
G(k2,k1, t2-t1) = -i < y0| T[ck2(t2)ck1+(t1)] |y0 >.
(11.3)
Здесь y0 точная волновая функция системы из N взаимодействующих частиц.
G = G+(k2,k1, t2-t1) = -i < y0| ck2(t2)ck1+(t1) |y0 >,
G = G-(k2,k1, t2-t1) = i < y0| c+k1(t1)ck2 (t2) |y0 >,
t2>t1.
t2  t1. (11.4)
Определение (11.3) эквивалентно данному ранее словесному:
G+(k2,k1, t2-t1) = -i < y0|exp(iHt2) ck2exp(-iH(t2-t1) ck1+exp(-iHt1) |y0 >.
exp(-iHt1) |y0>
волновая функция основного состояния в момент времени t1
ck1+exp(-iHt1) |y0 > состояние, полученное добавлением к основному в момент t1
избыточной частицы.
волновая функция системы в момент t2 при
exp(-iH(t2-t1) ck1+exp(-iHt1) |y0 >
условии, что в t1 к основному состоянию добавлена избыточная частица.
ck2+ exp(-iHt2) |y0 > волновая функция системы с избыточной частицей в
состоянии k2 в момент времени t2.
< y0|exp(iHt2) ck2 комплексно сопряженная функция.
11.2 Гамильтониан и графическое представление взаимодействия.
H1 = ½ Sklmn>kF Vklmn al+ ak+am an + ½ Sklm>kF ,n<kF Vklmn al+ ak+am bn+ +…
+ ½ Sklmn<kF Vklmn bl+ bk+bm bn
(11.7)
Vklmn = Vlknm=  d3r d3r’ f*k(r ) f*l(r ) V|r-r’| fm(r') fn(r').
l
l
(-i) 1/2
Vklmn
(11.8)
n
n
n
l
m
k
.......
=
k
m
а)
m
k
б)
в)
Необходимо помнить порядок индексов: m -линия, входящая в нижнюю
вершину, n –линия входящая в верхнюю вершину; соответственно, k- линия,
выходящая из нижней вершины, а l –из верхней.
Импульс, втекающий в точку взаимодействия, равен импульсу, вытекающему
из нее.
Закон сохранения импульса вместе с требованием о невозможности
существования частицы и дырки в одном состоянии (частицы только выше, а
дырки – только ниже ферми уровня) накладывает сильные ограничения на
число и форму возможных диаграмм. В первом порядке (один акт
взаимодействия) возможны всего четыре диаграммы, показанных в верхней
части рисунка.
k
k
l
k
l
k
k
l
k
k
k
l
k
l
l
l
l
k
l
k
k
k
l
k
l
k
k
l
Закон сохранения импульса удобно включить в диаграммы
k
n+q
= -i/2
k
k
k
Vm-q,n+q,m,n
l
m
m-q
l
Возможные вклады в функцию
Грина от процессов первого
порядкаk
k
n
q
l
k
l
l
k
k
l
k
l
k
k
l
t
Частица с импульсом k в результате взаимодействия выбивает частицу из
состояния l под уровнем ферми и мгновенно возвращает ее в то же состояние.
Такие процессы называются процессами рассеяния вперед.
py

(-1) Sl<kF - dt [iG+0(k, t-t1)][-i/2Vklkl] [iG-0(l, t-t)]*
[ iG+0(k, t2-t)]
(11.9)
l
px
k
Дополнительный множитель (-1) соответствует
каждой фермионной петле на диаграмме!
k
l
Предпоследний
сомножитель
в (11.9) также равен (-1). Действительно,
l
iG-0(l, t-t) = i*i exp(-iel*0) = -1.
Не представляет труда выписать выражение для фурье-образа добавки
lот пузыря
функции Грина
l
(-1) [iG+0(k, w)]2Sl<kF [-i/2*Vklkl] (-1)
l
l
k
k
Из двух пузырьковых диаграмм мы можем учитывать только одну, опуская
Vlklk=Vklkl
множитель ½ перед матричным элементом!
k
k
Открытые устрицы
k
k
k
l
l
l
k
k
k
l
k
k
l
Такие диаграммы называют обменными.
Мгновенные дырочные линии в пузырях и в
открытых устрицах называются
нераспространяющимися.
k
py
l
k
px
Поскольку гамильтониан взаимодействия не зависит от времени, то
энергетический параметр, фигурирующий в фурье-образе функции Грина
сохраняется. Энергия частиц не сохраняется!
Сохранение энергетического параметра удобно учесть на диаграммах в (k,w)
пространстве:
l+q
e
k,w
qe
l,
qe
k,w
k-q
we
Введенная в замкнутую систему энергия, естественно, сохраняется и даже если
дробится, то сумма частей равна исходной избыточной энергии (этому
утверждению и соответствует сохранение энергетического параметра. Энергия
же виртуальных частиц, рождаемых под воздействием заданной частоты, никак
не связана с этой частотой. Именно в этом смысле нужно понимать
утверждение о несохранении энергии.
Таблица-шпаргалка:
±
Функция Грина
Свободная iG =q t2-t1
0
+
i G (k, t -t )
2 1
t2
e -iek(t2-t1)
-
iG 0 = -qt1-t2e
±
i G (k,w)
t1
iG 0(k,w) =
k
t1
-iek(t2-t1) t2
Нераспространяющаяся линия
w-ek+i
i
-
iG 0(k,w) =
k
k,w
i
+
k,w
w-ek-i
k
-
iG 0(k,t2-t2) = -1 k<kF
0 k>kF
k
-iVklmn или -iV
q
Множитель (-1) от каждой фермионной петли.
n
n
l
l
q
k
m
Суммирование по промежуточным k
и интегрирование по промежуточным временам.
qw
k
m
Суммирование по промежуточным k
и интегрирование по промежуточным
частотам (dw/2).
11.3 Квазичастицы в приближении Хартри-Фока.
Система фермионов, у которых максимальны два типа матричных элементов
взаимодействия
Vklmn = mknlVklkl + ml nk Vkllk+ малые члены.
(11.10).
Для плоских волн первый член связан с нулевой передаче импульса, а во
втором, n+q=m.
Приближение Хартри-Фока соответствовало учету только рассеяния вперед
(первый член в (11.10)) и обменного взаимодействия (второй член в (11.10)), но
не сводилось к первому порядку теории возмущений.
На диаграммном языке
это означает, что нам
нужно для нахождения
функции Грина
просуммировать
бесконечный ряд
диаграмм, содержащий
«пузыри» и открытые
устрицы.
+
G =
+
+
+
+
+
...
=
2
[
=
* 1+
=
1-
*
(
*
+
+
)
*
=
2
+
2
+
*
.
1
-1
+
(
+
)
*
*
+
...] =
Бросается в глаза сходство изображенных выше диаграмм с уже
встречавшимися диаграммами, описывавшими взаимодействие с внешним
полем. Сходство это не случайно и означает, что приближение Хартри-Фока
эквивалентно введению некоторого эффективного поля, создаваемого всеми
частицами системы в точке расположения пробной частицы.
G+(k,w)= {w –ek -Sl<kF (Vklkl-Vlkkl) +i}-1.
(11.11)
ek’ = ek +Sl<kF (Vklkl-Vlkkl)}
(11.12)
Для тех, кто помнит! Выражение (11.12) есть не что иное, как (7.13) из первой
части.
Для кулоновского взаимодействия Vklkl=0. В (11.12) остается только вклад от
обменного члена и масса квазичастиц обращается в нуль (см. п.7.2).
Задача: На диаграмме, изображенной ниже, вдоль всех линий проставить
значения импульса и энергетического параметра.
11.4
Еще раз о квазичастицах.
Мы пользуемся понятием «квазичастица» в фермиевской жидкости в двух
несколько различных смыслах. Во-первых, в случае квазичастиц ферми
жидкости Ландау. При этом число квазичастиц равно числу исходных частиц и
при нуле температуры они заполняют все состояния внутри ферми сферы. Тем
не менее, предполагается, что реально наблюдаемы такого рода квазичастицы
только вблизи ферми-поверхности (из-за конечности времени жизни).
Ландаувские квазичастицы могли переходить в результате возбуждения в
состояния над ферми-сферой, образуя пустые места внутри ее. При этом
появляются возбуждения электронного и дырочного типа – квазичастицы во
втором смысле. Описание на языке электронно-дырочных возбуждений имеет
смысл только пока число квазичастиц мало по сравнению с числом частиц в
системе, и оно справедливо только вблизи ферми-уровня и на сравнительно
больших временах (голая частица одевается облаком за конечное время).
Простой пример, возможно, реализуемый в ядерной материи.
Примем, что только рассеяние вперед дает заметный вклад в энергию
взаимодействия между частицами (хартриевский член во взаимодействии
доминирует).
l
-
G=
k
l
+
l
k
l
+
+
k
l
k
k
k
+
k
k
k
......
k
Следует суммировать диаграммы, изображенные выше. На всех суммируемых
диаграммах kl. (Проверьте это утверждение.)
Согласно (11.12):
ek’ = ek +S’l<kF Vklkl .
(11.13)
Модельный гамильтониан может быть представлен в виде:
H = H0 + Sk>kF (ek +Sl<kF Vklkl) A+kAk - Sk<kF (ek +S’l<kF Vklkl )B+kBk +f(…Ak..A+k..Bk…).
(11.14)
Квазичастичный подход будет справедлив только , если последний член мал.
<y| (Sk>kF e’k A+kAk )| y> = n (<ek>+ N<V>).
<y|f| y> = n2<V>.
(11.15)
(11.16)
Если в (11.15) можно пренебречь средней энергией частиц <ek> по сравнению с
энергией взаимодействия, то из (11.15) и (11.16) следует
n<<N.
Второе ограничение на картину квазичастиц.
tk-1<<e’k-eF.
Оценим время жизни квазичастицы в рзультате столкновений
Например, столкновение с частицей в состоянии |k2|  kF и переход в состояния
k3 и k4 (|k3|>kF, | k4|>kF).
k4 = k1 + k2 - k3 .
(11.17)
W   d3k2d3k3|Vk3,k1+k2-k3,k1,k2|2.
(11.18)
Вследствие сохранения энергии
k21+k22 = k23 +k24
следовательно, k21+k22 2 k2F.
Пусть k1= kF+, где kF>>>0, тогда k2 kF-.
(11.19)
Чтобы выполнялся закон сохранения энергии, необходимо импульсы рассеянных
частиц также расположить в шаровом слое толщины  вблизи фермиевского
импульса. Каждый из интегралов по k2 и k3 в (11.18) дает множитель,
пропорциональный k2F.
tk-1 2 (e’k-eF)2.
(11.20)
В приближениях Хартри и Хартри-Фока k1=k3 и область интегрирования в (11.18)
обращается в нуль. аВремя жизни квазичастиц бесконечно!