Глава 5 Фильтрация изображений в когерентной оптике

Глава 5
Фильтрация изображений в
когерентной оптике
5.1 Процессор с двумя линзами
Рассмотрим схему оптической системы процессора с двумя линзами, изображенную на рис. 5.1.
y0
y0
y1
z
x1
x2
z
Т
f
z
y2
Л1
Н
f
f
Л2
П
f
z
Рис. 5.1. Схема оптической системы процессора с двумя линзами: T-транспарант, Л 1 и Л 2 линзы с одинаковым
фокусным расстоянием f, Н - плоскость фильтрации, П - плоскость наблюдения (входная плоскость).
Система включает в себя две линзы с равными фокусными расстояниями f. Входной плоскостью
оптической системы является передняя фокальная плоскость линзы Л1, а выходной плоскостью
- задняя фокальная плоскость линзы Л2. Если во входную плоскость поместить транспарант и
осветить его плоской монохроматической световой волной, то в выходной плоскости
наблюдается изображение транспаранта в масштабе 1:1, которое повернуто относительно
исходного транспаранта на 180  .
На рис. 5.1 процесс формирования изображения можно проиллюстрировать с помощью
стрелки, как это принято в геометрической оптике. Указанный известный результат с позиций
фурье-оптики может быть получен в два этапа. На первом этапе в задней фокальной плоскости
линзы Л1 происходит изменение комплексной амплитуды волны, пропорциональное
преобразованию Фурье. Комплексная амплитуда в этой частотной плоскости будет равна
exp(i 2kf )
exp(i 2kf )  x1 y1 
F a0t ( x0 , y0 )  a0
T , 
(5.1)
if
if
 f f 
где F - оператор преобразования Фурье, T - фурье-образ коэффициента пропускания
транспаранта, a 0- амплитуда плоской волны, падающей на транспарант, x1 и y1- координаты
частотной плоскости, x1 /  f и y1 /  f - пространственные частоты.
На втором этапе происходит аналогичное преобразование, причем исходной (входной)
комплексной амплитудой волны следует считать p1  x1 , y1  :
p1 ( x1 , y1 ) 
exp i 2kf 
 
p2  x2 , y2  
F p1  x1 , y1 . (5.2)


i f
Пространственные частоты после указанного преобразования Фурье будут равны x 2
где x2 и y2- координаты выходной плоскости. Подставив (5.1) в (5.2), имеем
 


x




exp
i
4
kf
x
y
y


1
1
2
2
 exp  i 2 
p2  x2 , y2   a0
T 
,
x1 
y1  dx1dy1.


2 2



  f     f  f     f  f 

 f и y 2  f
(5.3)
После замены переменных интегрирования x1 и y1 на пространственные частоты в частотной
плоскости, т.е. на   x1  f и   y1  f , получаем
 
 


p2  x2 , y2   a0 exp i 4kf     T  ,  exp  i 2   x2   y2 d d 





  
(5.4)
 
 a0 exp i 4kf  




 T  , exp  i 2  x2   y2  d d.
 
Интеграл, входящий в последнее выражение, определяет обратное преобразование
Фурье. Поэтому
 


p2  x2 , y2   a0 exp4ikf t   x2 , y2 ,
(5.5)




т.е. при использовании аппарата преобразования Фурье получен известный результат:
изображение транспаранта в выходной плоскости повернуто на 180 . Общий фазовый сдвиг, не
зависящий от координат ( x, y), описывается множителем exp i 4kf   exp i4kf   . Подчеркнем,
что линзы Л1 и Л2 и прилегающие к ним слои пространства на каждом из двух этапов
производят одно и то же преобразование комплексной амплитуды волны, пропорциональное
прямому преобразованию Фурье. Если в выходной плоскости рассматриваемой оптической
системы перейти к системе координат ( x2 , y2 ) , повернутой на180  относительно системы ( x2 , y 2 )
или ( x1 , y1 ) , то можно считать, что на втором этапе производится преобразование,
пропорциональное обратному преобразованию Фурье в соответствии с его определением,
t x2 , y2  
 
  T  , expi 2 x2  y2 d d
(5.6)
Итак, этапу перехода от "частотной" плоскости к "координатной" можно сопоставить
обратное преобразование Фурье, если координатные системы в этих плоскостях повернуть
относительно друг друга на 180 . Примем систему ( x2 , y2 ) в качестве основной координатной
системы выходной плоскости.

Представим теперь, что в плоскости пространственных частот (плоскость Н на рис. 5.1)
помещен модулятор, например, амплитудный транспарант с функцией пропускания H( x1 , y1 ) .
Такой транспарант является фильтром пространственных частот, поскольку он по-разному
изменяет амплитуду p1 ( x1 , y1 ) в разных точках плоскости ( x1 , y1 ), соответствующих разным
частотам. Непосредственно за фильтром комплексное поле волны описывается произведением
функции p1 ( x1 , y1 ) , определяемой выражением (5.1), и функции пропускания H ( x1 , y1 ) . По
аналогии с выражением (5.2) можно записать комплексную амплитуду в выходной плоскости.
Если использовать систему координат ( x2 , y2 ) , то оператор прямого преобразования Фурье F
заменяется оператором обратного преобразования Фурье F 1 . В результате получаем
expi 2kf  1
p2 x2 , y2  
F p1  x1 , y1 H x1 , y1 .
i f
(5.7)
Если в выражение (5.7) подставить A1 ( x1 , y1 ), используя (5.1), перейти к переменным
интегрирования  и  , то получим
p2  x2 , y2   a0 exp i 4kf  
 
(5.8)
Интегральное преобразование в этой формуле является обратным преобразованием

Фурье от произведения двух фурье-образов. Если фурье-образу T  ,  соответствует
координатная функция t ( x2 , y2 ) в выходной плоскости, то функции H  ,  можно привести в
соответствие некоторую функцию
 
(5.9)
h x2 , y2    f   H  , expi 2  x2   y2 d d
Согласно теореме о свертке, обратное
преобразование Фурье от произведения двух фурье
образов равно свертке этих функций. Поэтому

  T  , H  , expi 2  x2   y2  d d
 
  T  , H  , expi 2  x2   y2 d d 

(5.10)
1 
1

t  x, yh x2  x, y2  ydxdy 
t  x , y   h  x2 , y 2 


 f 
f 2 2
где  - символ операции свертки. Имеем
a
(5.11)
p 2  x2 , y 2  
expi4kf    t  x2 , y2   hx2 , y2 
f
Функция h( x2 , y2 ) называется безразмерным импульсным откликом фильтра, а функция
H(  , ) - передаточной функцией. Название "импульсный отклик" обусловлено тем, что
функция h( x2 , y2 ) может быть получена на выходе оптической системы, если в качестве
источника использовать не плоскую волну, a - точечный источник сферической волны,
расположенный на оси Z на расстоянии f от первой сферической линзы (транспарант T не
нужен). Тогда на фильтр, находящийся в плоскости H, будет падать плоская волна, а в
выходной плоскости получается распределение комплексных амплитуд, пропорциональное h( x2 , y2 )
Таким образом, результат фильтрации пропорционален свертке функции пропускания
входного транспаранта и импульсного отклика фильтра.
Если в системе, изображенной на рис. 5.1, фильтр отсутствует, то это означает, что
передаточная функция равна единице. Импульсным откликом, соответствующим такой
передаточной функции, является  f  x2 , y2  , где   x2 , y2  дельта-функция Дирака. Свертка
какой-либо функции с  - функцией Дирака равна самой функции, т.е. в системе ( x2 , y2 )
выходной плоскости, согласно (5.11), должно наблюдаться изображение входного
транспаранта.
Примером простейших фильтров могут служить фильтры низких и высоких
пространственных частот.
Фильтром низких частот может являться "бесконечный" экран с вырезанным
прямоугольным отверстием размерами 2b  2c . Если этот фильтр разместить в частотной
плоскости так, чтобы его центр совпал с осью Z, то фильтр будет пропускать пространственные
частоты, лежащие в области    max  b  f и   max  c  f , и не пропускать более высокие
частоты. Фильтр высоких частот не пропускает низкие частоты и представляет собой
прямоугольный непрозрачный экран размерами 2b  2c , размещенный на оси оптической
системы в плоскости пространственных частот.
5.2. Пространственно-частотные фильтры
Пространственно-частотные фильтры (ПЧФ) осуществляют модуляцию оптического
сигнала по амплитуде, фазе или одновременно по амплитуде и фазе в частотной плоскости
процессора пространственно-частотной фильтрации. На рис. 3.4 приведена классификация
передаточных функций ПЧФ. Различают амплитудные (5.18), фазовые (5.19) и комплексные
(5.20) передаточные функции (ПФ):
A( x , y )  a ( x , y )
(5.18)
F  x , y   expi  x , y 
(5.19)
H  x , y   a x , y  expi  x , y 
(5.20)
В классе амплитудных ПФ можно выделить бинарные a  0,1 , приведенные 0  a  1 ,
знакопеременные ПФ. Бинарные и приведенные нормированные ПФ реализуются в виде
поглощающих фильтров (диафрагм, амплитудных транспарантов и пр.). Знакопеременные
фильтры требуют применения специальных методов кодирования.
Рис. 5.2. Классификация передаточных функций пространственно-частотных фильтров
В классе фазовых ПФ можно выделить бинарные   0,   и приведенные ПФ 0    2  .
Фазовая ПФ общего вида сводится к частному случаю приведенных ПФ путем вычитания 2 m
радиан ( m - целое число), поскольку expi 2 m . Типовые фазовые модуляторы (линзы, призмы
и др.) описываются уравнениями вида (5.19). Бинарные и приведенные фазовые ПФ
реализуются в виде рельефно-фазовых фильтров (фазовых транспарантов).
В классе комплексных ПФ выделим ПФ приведенного вида
H  x , y   a  x , y  expi  x , y 
(5.21)
где 0  a   1 ;      . Можно показать, что любую ПФ общего вида (3.20) с точностью до
постоянного множителя можно привести к виду (3.21). Это означает, что любую ПФ можно
представить в виде произведения амплитудной неотрицательной нормированной ПФ и фазовой
приведенной ПФ.
Различают два метода физической реализации комплексных фильтров, соответствующих
комплексной передаточной функции (5.20) или (5.21): метод голографической записи и синтез
фильтров с помощью ЭВМ (рис. 5.3). Голографические фильтры можно разделить на
поглощающие, рельефно-фазовые и объемные фазовые.
Рис. 5.3. Классификация комплексных фильтров по методам их изготовления
Фильтры, синтезированные на ЭВМ, делятся на два класса. Если результатом синтеза
является транспарант с модулированным поглощением света, то такой фильтр называется
поглощающим. При синтезе может быть реализован и транспарант с модулированным
рельефом, т.е. рельефно-фазовый фильтр. Если фильтр обеспечивает два уровня амплитудной
или фазовой модуляции, то такой фильтр называется бинарным, в противном случае многоуровневым.
Все методы физической реализации комплексных фильтров имеют некоторую общность.
Требуемая комплексная передаточная функция преобразуется в действительную
неотрицательную функцию, которая по воздействию на оптический сигнал эквивалентна
требуемой передаточной функции. В голографических фильтрах преобразование производится
на этапе голографической записи, в фильтрах, синтезированных на ЭВМ, при кодировании
комплексных ПЧФ.
5.3. Голографические пространственно-частотные фильтры
5.3.1. Запись фильтров
Передаточная функция пространственно-частотного фильтра в общем случае является
комплексной. На первых этапах разработки фильтров основную трудность представляла запись
фазовой характеристики передаточной функции.
Рис. 5.4. Схема записи фурье-голограммы с делителем светового пучка: Т- транспарант; Л - линза; ФДфотодетектор; СД -cветоделительный кубик; З и З’-зеркала.
Фазовой характеристике соответствует изменение толщины подложки, а амплитудной
характеристике - изменение прозрачности фотопленки. Сочетание (наложение) амплитудного и
фазового фильтров давало комплексный фильтр-модулятор. Из-за больших трудностей,
связанных с созданием сложных рельефов подложек, удавалось получить ограниченный класс
фильтров с простейшими передаточными функциями. Положение изменилось после того, как в
1963г. Вандер-Люгт предложил голографический метод синтеза комплексных
пространственных фильтров.
Представим себе голограмму, на которой зарегистрирован результат
интерференции опорной плоской волны и предметной волны, несущей
информацию о фурье-образе какого-либо транспаранта. Предметная волна
формируется с помощью линзы, транспаранта с функцией амплитудного
пропускания h( x, y ) и исходной плоской волны с амплитудой a0 . Один из вариантов
оптических схем для записи таких голограмм, называемых фурье-голограммами,
приводится на рис. 5.4. Фурье-голограммы и являются фильтрами Вандер-Люгта.
Опорная плоская волна, падающая под углом  к оси z, в плоскости регистрации
голограммы описывается выражением
aon expi k y y     aon expi exp  ik sin  y  
(5.22)
 2

 aon expi exp  i
f sin  y   aon expi exp i 2 b 
 f

aon - амплитуда;  -фаза, не зависящая от координат x и y. Величины b и  соответственно
равны
(5.23)
b  f sin  ,;   y  f 
Предметная волна в задней фокальной плоскости линзы имеет комплексную амплитуду,
пропорциональную фурье-образу H  x  f , y  f  транспаранта:
a exp i 2kf   x y  a0 exp i 2kf 
 
A x, y   0
H 
,
H  , 
(5.24)
i f

f

f
i

f


Комплексная амплитуда результирующего светового поля в плоскости регистрации будет равна
A  x, y   aon exp i  exp  i2 b  

 aon exp i 2kf  
H  ,   f
2
(5.25)
Интенсивность I  A A в этой плоскости имеет следующее распределение:
H  , 

H  , 


 aon a0 exp i 2kf     expi 2 b 

2

f
 f





(5.26)

H  , 
 

 aon a0 exp  i 2kf     expi 2 b 
2
f

 
I a a
2
on
2
0
2
2
2
Пусть в качестве фотодетектора выбрана фотопластинка. В условиях линейной записи
амплитудное пропускание обработанной фотопластинки можно выразить в виде
2
H  ,  
H  ,  
H   c0  c1

c
expi2 b   1  
2
2 f 2
f
(5.27)
H   ,  
 c2
exp i2 b   1 
f
2 2
где  1  2kf     / 2 . В формуле (5.27) сохранены множители 1 / f и 1  f , поскольку
размерность фурье-образа соответствует квадрату длины. Запись фильтра Вандер-Люгта
возможна в том случае, когда известен импульсный отклик h( x , y ) передаточной функции
H ( , ) требуемого фильтра. При этом импульсный отклик должен быть представлен на
физическом носителе в виде транспаранта. Из выражения (5.27) следует, что требуемая
передаточная функция H ( , ) пропорциональна одному из слагаемых суммарной функции
пропускания H  , которая имеет сложный вид и содержит "лишние" составляющие. Однако,
как будет показано ниже, функцию H ( , ) , входящую в третий член выражения (5.27), можно
выделить и использовать для фильтрации входных сигналов.
Если функция пропускания транспаранта T пропорциональна  -функции Дирака, то
фильтром Вандер-Люгта будет гармоническая решетка. Физически -функция соответствует
очень малому отверстию в непрозрачном экране. Дифракция на этом отверстии приводит к
образованию расходящейся сферической волны, которая после линзы превращается в плоскую.
5.3.2. Структура выходного изображения при использовании фильтра
Вандер-Люгта
Пусть фильтр с функцией пропускания H  , определяемой формулой (5.27), помещен в
плоскость фильтрации когерентного оптического процессора, схема которого приведена на
рис. 5.1. Во входной плоскости процессора установлен транспарант с функцией пропускания
t ( x0 , y0 ) . В выходной плоскости процессора, т.е. в плоскости x2 , y2 , распределение
комплексных амплитуд пропорционально свертке функции пропускания t ( x2 , y2 ) и импульсного
отклика фильтра. Обозначим импульсный отклик через h ( x2 , y2 ) . Согласно формуле (5.9),
безразмерный импульсный отклик, соответствующий фильтру Вандер-Люгта, описывается
выражением
h x2 , y2    f
 
  H   ,  expi 2  x2   y2 d d
(5.28)

В формуле (5.28) опущены дополнительные фазовые множители, не зависящие от x2 и y2 .
Легко видеть, что формула (5.28) фактически описывает обратное преобразование Фурье,
которое может быть реализовано оптическим путем. Для этого транспарант с функцией
пропускания H(,) необходимо разместить в передней фокальной плоскости линзы и
осветить его плоской волной, распространяющейся по оси z. Из рис. 5.1 видим, что такая
плоская волна образуется после первой линзы, если в качестве источника используется
сферическая волна, испускаемая из точки, находящейся на оси z и отстоящей от первой линзы
на расстоянии f.
Таким образом, искомый импульсный отклик h - это результат восстановления изображения с
фурье-голограммы в условиях, когда плоская волна единичной амплитуды (a B  1) направлена
нормально к поверхности голограммы. При этом направление восстанавливающей волны не
совпадает с направлением опорной волны, использованной при записи фурье-голограммы.
С целью нахождения импульсного отклика h подставим выражение (5.27) в формулу
(5.28). В результате получаем
 
h  x2 , y2   c0  f
  expi 2  x2   y2 d d 
 
c1

f
 
  H  , 
2
expi 2  x2   y 2 d d 
 
 
 c2 exp i 1    H  , expi 2 b expi 2  x2   y 2 d d 
 
 
 c2 exp  i 1    H   , exp i 2 b expi 2  x2   y2 d d
 
(5.29)
Выражение (5.29) можно переписать в виде
h ( x2 , y2 )  h1  h 2  h3  h 4
(5.30)
где hn - соответствующие слагаемые, входящие в выражение (5.29). Интеграл, которому
пропорциональна величина h1, является -функцией Дирака. Поэтому
h1  c0 f ( x2 , y2 )
(5.31).
Интеграл во втором слагаемом дает автокорреляции функции h( x2 , y2 ) в плоскости x2 , y2 , т.е.
h 2  c1
1
h x 2 , y 2   h x 2 , y 2 
f
(5.32)
Функция h 2 , как и h1 , явяляется безразмерной. Используя теорему смещения, можно
показать, что третье слагаемое h 3 пропорционально функции h( x2 , y2 ) , сдвинутой по оси y2
на расстояние (b) , т.е.
h 3  c2 exp( i )h( x2 , y2  b)
(5.33)
Что касается четвертого слагаемого h 4 , то его можно представить в виде
h 4  c2 exp  i 1  

 

 H  , expi 2 b expi 2  x2   y2 d d

(5.34)
Если теперь перейти от координат x 2 и y 2 к координатам x 2 и y 2, то интеграл в скобках
будет совпадать с интегралом, входящим в третье слагаемое. Отсюда следует, что
h 4  c2 exp(i )h ( x2 , y2  b)
(5.35)