α V m

Задача 2.
Полупространство, заполненное вязкой средой, пронизывает постоянное магнитное поле
B, имеющее составляющую только вдоль плоскости границы раздела. Перпендикулярно
границе в среду влетает частица c зарядом q. Сила сопротивления в среде
пропорциональна скорости. Найти, при каком коэффициенте сопротивления в силе трения
частица уже больше не покинет среду.
Решение: Изобразим всё в сечении, перпендикулярном магнитному полю. Тогда частица
будет двигаться именно в этой плоскости, поскольку сил,
уводящих ее из этой плоскости, нет и не возникнет.
Второй закон Ньютона: ma = −αV + q[V; B] .
B
dV
dr
dr
Перепишем в виде: m
= −α
+ q[ ; B] .
dt
dt
dt
Проинтегрируем: m(V − V0 ) = −α∆r + q[∆r; B] .
∆r
Рассмотрим в качестве конечной точки случай, при
V
котором частица успевает повернуть так, чтобы остаться в
среде, т.е. находится предельно близко к границе, а
скорость ее параллельна границе. Тогда при меньшем
m, q
коэффициенте в силе сопротивления частица улетает, при
V0
большей – остается.
Изобразим полученные векторы на рисунке. В правой
q[∆r; B]
части уравнения в силу свойств векторного произведения
векторы ортогональны.
Тогда, исходя из равенства соответствующих компонент,
получаем:
− α∆r
mV
mV = α∆r ; mV0 = q∆rB . Избавимся от радиус-вектора:
− m V0
V / V0 = α /(qB) .
Скорость изменения угла поворота частицы не зависит от
скорости и определяется циклотронной частотой
вращения: ω = qB / m . Частица за время движения между указанными точками совершила
поворот на угол 3π / 2 . Это означает, что прошло время t = 3πm /(2qB) .
За изменение модуля скорости отвечает только сила вязкого трения. Рассмотрим
dV
движение вдоль траектории: m
= −αV , решением этого уравнения будет:
dt
V = V0 ⋅ exp(−αt / m) . Подставим найденное время и приравняем отношения скоростей.
α /(qB) = exp(−3πα /(2qB)) . Искомое пограничное значение коэффициента:
α = qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 .
Окончательным ответом на вопрос, поставленный в задаче, является:
α ≥ qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 .
Ответ: α ≥ qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 .
Примечание: интересный факт – ответ не зависит ни от начальной скорости частицы, ни
от массы частицы, можно геометрически усложнить задачу неперпендикулярными
направлениями начальной скорости, решение по сути такое же.
Автор задачи и решения: А.В. Афанасьев.